chapter 11李亞普諾夫穩(wěn)定性分析v3

1、第十一章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性是對控制系統(tǒng)最基本，同時也是最重要的要求。經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論對于穩(wěn)定性有不同的理解和定義，也存在較多的穩(wěn)定性判據(jù)。經(jīng)典控制理論中的勞斯判據(jù)和乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等，只適用于線性定常系統(tǒng)。本章介紹的李亞普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定性判定定理，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，并且還是一些先進的控制系統(tǒng)設(shè)計方法的基礎(chǔ)。本章首先給出李亞普諾夫穩(wěn)定性的定義，并在此基礎(chǔ)上討論了李亞普諾夫第一方法和第二方法在判定系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的有關(guān)結(jié)論，最后討論了線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析。11.1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義設(shè)系

2、統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中，是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；是以狀態(tài)和時間t為變量的n維函數(shù)向量。假設(shè)在給定的初始條件下，式有唯一解，且其中分別為初始時刻和初始狀態(tài)向量。在式所描述的系統(tǒng)中，對所有t，如果總存在 則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。可見若已知狀態(tài)方程，令所求出的解就是系統(tǒng)的平衡態(tài)。對于線性定常系統(tǒng)，當A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，即原點；當A為奇異矩陣時，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)?。對于非線性系統(tǒng)，可以有一個或多個平衡狀態(tài)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。由于任意一個平衡狀態(tài)都可以通過坐標變換轉(zhuǎn)移到原點，因此為了研究方便，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性一律認為平衡狀態(tài)為系統(tǒng)原點。以平衡狀態(tài)為中心，半徑為

3、k的球域可用下式表示 式中稱為歐幾里德范數(shù)，其表達式為設(shè)是由滿足的所有點構(gòu)成的一個球域；而是由所有滿足的點構(gòu)成的一個球域，其中是給定的常數(shù)。分別為初始時刻和初始狀態(tài)向量。定義一 如果系統(tǒng)對于任意選定的，存在一個，使得當時，恒有，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。此定義說明，對于每一個球域，若存在一個球域，在的過程中，從球域出發(fā)的軌跡不離開球域，則稱此系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的（如圖11-1(a)）。圖 11-1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義二 如果平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的，即從球域出發(fā)的每一條運動軌跡，當時，都不離開球域，且最后都能收斂于附近，即其中為任意選定的小量。則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是

4、漸近穩(wěn)定的。圖 11-1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性是個局部穩(wěn)定的概念，圖11-1(b)中的球域是漸近穩(wěn)定的范圍。定義三 對所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間的所有點），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。即，如果狀態(tài)方程在任意初始條件下的解，當時都收斂于，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)稱為大范圍漸近穩(wěn)定，見圖11-1(c)中的軌跡曲線(1)。圖 11-1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性大范圍穩(wěn)定是全局性的穩(wěn)定，其必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則必為大范圍漸近穩(wěn)定的。對于非線性系統(tǒng)，一般能使平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的球域是不大的，稱為小范圍漸近穩(wěn)定。圖 11-

5、1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義四 如果從球域出發(fā)的軌跡，無論球域取得多么小，只要其中有一條軌跡脫離球域，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。見圖11-1(c)中的軌跡曲線(2)。11.2 李亞普諾夫第一方法李亞普諾夫第一方法又稱為間接法。它適用于線性定常系統(tǒng)和非線性不很嚴重的實際系統(tǒng)。對于非線性系統(tǒng)，首先要進行線性化，得到一個線性化模型，然后按線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件分析穩(wěn)定性。李亞普諾夫第一方法的主要結(jié)論如下：(1) 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部。(2) 若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部，則實際系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。線性化過程中忽略的高階導數(shù)項對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有

6、影響。(3) 如果系統(tǒng)矩陣A的特征值中，只要有一個實部為正的特征值，則實際系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，并且與被忽略的高階導數(shù)項無關(guān)。(4) 如果系統(tǒng)矩陣A的特征值中，即使只有一個實部為零，其余的都具有負實部，那么實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不能由線性化模型的穩(wěn)定性判定。這時系統(tǒng)的穩(wěn)定性將與線性化過程中被忽略的高階導數(shù)項有關(guān)。為了判定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須分析原始的非線性模型。 可見，李亞普諾夫第一方法是通過判定系統(tǒng)矩陣的特征值實部的符號來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此又稱為特征值判據(jù)。11.3 李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二法是基于：若系統(tǒng)的內(nèi)部能量隨時間推移而衰減，則系統(tǒng)最終將達到靜止狀態(tài)這個思想而建立起來的穩(wěn)定判據(jù)。

7、即如果系統(tǒng)有一個漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當系統(tǒng)向平衡狀態(tài)附近運動時，系統(tǒng)儲存的能量隨時間的推移應逐漸衰減，到達系統(tǒng)平衡狀態(tài)處時，能量衰減到最小值。因此，如能找到系統(tǒng)的能量函數(shù)，只要能量函數(shù)對時間的導數(shù)是負的，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)就是漸近穩(wěn)定的。由于系統(tǒng)的形式是多種多樣的，難于找到一種定義“能量函數(shù)”的統(tǒng)一形式和簡單方法。為克服這一困難，李亞普諾夫引入一個虛構(gòu)的能量函數(shù)稱為李雅普諾夫函數(shù)，簡稱李氏函數(shù)。此函數(shù)量綱不一定是能量量綱，但反映能量關(guān)系。李氏函數(shù)是標量函數(shù)，用表示，必須是正定的，通常選用狀態(tài)變量的二次型函數(shù)作為李亞普諾夫函數(shù)。一、 標量函數(shù)的正定性和負定性李亞普諾夫穩(wěn)定性定理是以標量函數(shù)的正定

8、和負定為基礎(chǔ)的。設(shè)是向量的標量函數(shù)，是狀態(tài)空間中包含原點的封閉有限區(qū)域。(1) 正定性如果對于所有域中非零的，有，且在處有，則稱標量函數(shù)在域內(nèi)是正定的。例如，。只有時，；其他情況，所以是正定的。(2) 半正定性如果在域內(nèi)，標量函數(shù)除在狀態(tài)空間原點和某些狀態(tài)處外，對于其他所有狀態(tài)均有，則稱是半正定的。例如，當或時，其余情況都有，因此是半正定的。(3) 負定性如果是正定的，則稱為負定的。(4) 半負定性 如果是半正定的，則稱為半負定的。(5) 不定性如果無論域取多么小，標量函數(shù)可正可負，則稱這類標量函數(shù)為不定的。例如，為不定的。因為對于一類狀態(tài)，在和時，分別為負數(shù)和正數(shù)。設(shè)為一個二次型函數(shù)，則其可

9、表示為式中，P為實對稱矩陣，即。根據(jù)線性代數(shù)知識，當P的順序主子式全大于零，即成立時，稱矩陣P是正定矩陣，并可以證明是正定的。如果P的所有主子行列式為非負時，則是半正定的。二、 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫第二法的基本思想是用能量變化的觀點分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)儲存的能量在運動過程中隨時間的推移逐漸減少，則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，若系統(tǒng)在運動過程中，不斷從外界吸收能量，使其儲能越來越大，則系統(tǒng)就不能穩(wěn)定。用一個大于零的標量函數(shù)表示系統(tǒng)的“能量”，稱為李亞普諾夫函數(shù)。用就可表示系統(tǒng)能量的變化率，并且當時，表明系統(tǒng)的能量在運動中隨時間的推移而減少；當時表明能量在運動過程中隨時間的推移而增加。李亞普諾夫

10、函數(shù)最簡單的形式為二次型，但也不一定都是二次型。任何一個標量函數(shù)，只要滿足李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)所假設(shè)的條件，都可以作為李亞普諾夫函數(shù)。對于給定的系統(tǒng)，不是唯一的。所以，正確地確定李亞普諾夫函數(shù)是利用李亞普諾夫直接法的主要問題。李亞普諾夫直接法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)可以敘述如下：定理11-1（李亞普諾夫穩(wěn)定性定理）設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，且 當選定（相當于系統(tǒng)受到擾動后的初始狀態(tài)），后(1) 若，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（如果隨著，有，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的）；(2) 若，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；(3) 若，但不恒等于零（除了以外），則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；但是若恒等于零，按照李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義，系統(tǒng)是穩(wěn)定的

11、，但不是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)將保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)。 例11-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 先構(gòu)造一個正定的能量函數(shù)，例如則有顯然，所以系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。而且選擇的確實是一個李亞普諾夫函數(shù)。需要指出的是，關(guān)于李亞普諾夫第二法的穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件，而不是必要條件。關(guān)于這一點可以解釋如下：構(gòu)造一個能量函數(shù)，令，若，系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的；若，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，這個能量函數(shù)可以作為李亞普諾夫函數(shù)。如果構(gòu)造的能量函數(shù)不滿足上述定理的假設(shè)條件（例如是不定的），那么就不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因為很可能是還沒有構(gòu)成李亞普諾夫函數(shù)。此時，一方面可以繼續(xù)尋求合適的李亞普諾夫函數(shù)，另一方面應考慮

12、采用其他的方法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例11-2 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷其穩(wěn)定性。解 假設(shè)選擇能量函數(shù)為它是正定的，但是是不定的, 因此不能立刻判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 繼續(xù)尋找李亞普諾夫函數(shù)，假設(shè)選它是正定的，而是一個半負定的標量函數(shù)，即，但是不恒等于零，因為對于的有和由狀態(tài)方程有可知，只要，即使，也不會等于零。即在時，不會恒等于零，則不恒等于零。根據(jù)定理11-1的條件（3）可確定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。假設(shè)選取正定標量函數(shù)則有因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。另外，根據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征值，由李亞普諾夫第一方法可知系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。(若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部，則實際系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的)上述例子表明

13、，應用李亞普諾夫第二方法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于如何找到李亞普諾夫函數(shù)。但是李亞普諾夫穩(wěn)定性理論并沒有提供構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的方法。上面的例子還說明，對于給定系統(tǒng)，如果存在李亞普諾夫函數(shù)，它不是唯一的。11.4 線性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫第二方法是分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效方法，它不僅對于線性定常系統(tǒng)，而且對于線性時變系統(tǒng)及離散系統(tǒng)均能給出相應的穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)將分別介紹線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 設(shè)所選取得李亞普諾夫函數(shù)為二次型函數(shù)，即其中，P為實對稱矩陣，x為列向量。則有其中則

14、有 如果能夠找到滿足式的正定矩陣P和Q，那么有，系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。式是一個矩陣代數(shù)方程，稱為李亞普諾夫方程。根據(jù)上面的推導可知，判斷線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟應該是：(1) 先假定一個正定的實對稱矩陣P，(2) 然后利用式計算Q，如果Q是正定的則表明系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但是上述的計算步驟在實際使用中是比較麻煩的，所以在應用時通常是：(1) 先取一個正定的實對稱矩陣Q，而且為了簡便，常取QI，(2) 然后根據(jù)式()求出矩陣P（求解時可設(shè)P為對稱矩陣），(3) 最后判斷P是否為正定來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此有如下定理。定理11-2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個正定對稱矩陣Q，

15、存在一個正定對稱矩陣P，使其滿足李亞普諾夫方程，即式且標量函數(shù)是系統(tǒng)的一個李亞普諾夫函數(shù)。 例11-3 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 選QI，設(shè)P為對稱矩陣。根據(jù)式有展開求解上述矩陣方程可得(待定系數(shù)方法)，因為矩陣P的各階主子行列式均大于零，所以P是正定的，從而給定的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 例11-4 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 選QI，設(shè)P為對稱矩陣。根據(jù)式可求得因為矩陣P為非正定的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定（P的一階主子行列式小于零，而二階主子行列式大于零，因此P是負定的）。上面的例子也可以用系數(shù)矩陣A的特征值來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 線性定常離散系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析對于線性定常離散系統(tǒng)也可以用李亞普諾夫第二方法

16、分析其穩(wěn)定性。設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 取正定二次型函數(shù)設(shè)對于離散系統(tǒng)，用代替連續(xù)系統(tǒng)中的，只要是負定的，系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。令 則有Q矩陣正定意味著負定，即系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。并稱為系統(tǒng)的一個李亞普諾夫函數(shù)，式稱為離散的李亞普諾夫方程。定理11-3 線性定常離散系統(tǒng)（）漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個正定對稱矩陣Q，存在一個正定對稱矩陣P，使其滿足離散的李亞普諾夫方程，即式。例11-5 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 選QI，設(shè)P為對稱矩陣。根據(jù)式可求得顯見，矩陣P是正定的。從而系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。小 結(jié)本章進一步討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，采用李亞普諾夫方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫?qū)⑴袛嘞到y(tǒng)穩(wěn)定性的方法分為兩類：第一方法（間接法）和第二方法（直接法）。本章就系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題研究了以下主要內(nèi)容：1. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的含義。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實質(zhì)上是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。在李亞普諾夫意義下，系統(tǒng)穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定指的是系統(tǒng)在平衡點受到一定程度的擾動以后，恢復到平衡點的能力大小。工程上的穩(wěn)定都指的是漸近穩(wěn)定。2. 李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。李亞普諾夫第一方法是通過系統(tǒng)的特征根實部的符