2.2直接證明與間接證明學(xué)案(含答案)

1、x 2.2直接證明與間接證明學(xué)案審核簽名：編制：編制時(shí)間：3 月 4 日完成所需時(shí)間：40 分鐘班級(jí)姓名第小組自主測(cè)試1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.2.若 a b 0,則 a+丄b+丄.(用“ ”,“V”,“=”填空)ba3. 要證明.、3+、.7V2.,5，可選擇的方法有以下幾種，_其中最合理的是(填序號(hào)).1反證法分析法綜合法4. 用反證法證明命題： 若整系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0(0)有有理數(shù)根，那么 a、b、c 中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是.1假設(shè) a、b、c 都是偶數(shù)2假設(shè) a、b、c 都不是偶數(shù)3假設(shè) a、b、c 至多有一個(gè)偶數(shù)4假設(shè) a

2、、b、c 至多有兩個(gè)偶數(shù)5. 設(shè) a、b、c ( 0, +s), P=a+b- c, Q=b+c-a, R=c+a- b,則“ PQR 0” 是“ P、Q R冋時(shí)大于零”的條件.二.典例分析例 1(1)設(shè) a, b, c 0,證明:2 .2 2abc a+b+c.bca(2)已知 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2 .abc ( .a +. b +. c)(1)求證：一3 .7 2.5。(2)已知 a 0,求證:dfd-2-72 a+ 2.a2ax例 3 若 x, y 都是正實(shí)數(shù)，且 x+y 2,求證：1_xV2 與1_- V2 中至少有一個(gè)成立2三鞏固練習(xí)1.用反證法

3、證明如果 a b,那么3a3b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是3. 設(shè) S 是至少含有兩個(gè)元素的集合.在 S 上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“* ”(即對(duì)任意的 a,b S,對(duì)于有序元素對(duì)(a, b),在 S 中有唯一確定的元素a*b 與之對(duì)應(yīng)).若對(duì)任意的 a, b S,有a*( b*a)= b,則對(duì)任意的 a,b S,下列恒成立的等式的序號(hào)是_ ( a*b) *a=aa*( b* a): *( a*b)=a b*( b*b)=b(a*b)* : b*( a* b): =b4. 如果 ABC 的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于厶A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則ABG 是三角形， A2B2C2是_ 三角形(用“銳角”、“鈍角”

4、或“直角”填空)5. 已知三棱錐 S ABC 的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：1BC 丄平面 SAC 平面 SBCL 平面 SABSB 丄 AC其中正確命題的序號(hào)是.6. 對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b 定義運(yùn)算 a*b= (a+1) (b+1)-1,給出以下結(jié)論：1對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b, c,有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c);2對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b, c,有 a*( b*c)=( a* b)* c;3對(duì)于任意實(shí)數(shù) a,有 a*0=a,則以上結(jié)論正確的是 _._(寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào))7. (教材)在厶 ABC 中，三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,

5、 b, c 且 A,B,C 成等差數(shù)列，a, b, c 成等比數(shù)列，求證 ABC 為等邊三角形。8.(教材)已知1 tan1,求證3sin 24cos22 tan9.已知 a、b、c ( 0, 1),求證：(1-a)b,(1- b) c,(1- c) a 不能同時(shí)大于 -.2.已知 a b 0，且 ab=1,若 Ovcv1, p=logca2b2q=logc1“a b，則 p, q 的大小關(guān)系左視圖24參考答案一，自主測(cè)試1. 分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的 _條件答案充分2. 若 a b 0,則 a+1b+1.(用 “”,“v”,“ = ”填空)ba答案 3. 要證明,3+ ._7

6、V2.5，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是 _ (填序號(hào))反證法分析法綜合法答案4. 用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 工 0)有有理數(shù)根，那么 a、b、c 中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是.1假設(shè) a、b、c 都是偶數(shù)2假設(shè) a、b、c 都不是偶數(shù)3假設(shè) a、b、c 至多有一個(gè)偶數(shù)4假設(shè) a、b、c 至多有兩個(gè)偶數(shù) 答案5. 設(shè) a、b、c(0,+s),P=a+b-c,Q=b+c- a,R=c+a-b，則“ PQR0”是“ P、Q R 同時(shí)大于零”的_條件.答案充要二.典例分析a2b2c2例 1 設(shè) a, b, c 0,證明： 一 - a+b+c

7、.b c a證明/ a, b, c 0，根據(jù)基本不等式，2b22有叟+b2a, +c 2b, +a 2c.bcaa2b2c2三式相加： + + +a+b+c 2( a+b+c).b c aa2b2c2即+ + a+b+c.b c a變.已知 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2、abc(a+、.b+ . c ).2 2 2 2 2 2證明 / a +b 2ab, b +c 2bc, a +c 2ac.又 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù)，上面三個(gè)式子中都不能取“=”，2 2 2 a +b +c ab+bc+ac,/ ab+bc 2Jab2c, bc+ac 2Jabc2,

8、ab+ac 2 ,a2bc,又 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù)，ab+bc+ac. abc( .a+. b+. c),/ a2+b2+c2. abc ( . a + . b + . c).證明假設(shè)J v2 和J v2 都不成立,yx則有 2 和 J 2 同時(shí)成立，yx因?yàn)?x 0 且 y 0,所以 1+x 2y，且 1+y 2x,兩式相加，得 2+x+y 2x+2y,所以 x+yw2,這與已知條件 x+y 2 相矛盾,因此匕丄v2 與 Lv2 中至少有一個(gè)成立yx一、填空題1. （2008 南通模擬）用反證法證明如果 ab,那么3a3b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是例 2（1）略（2）已知 a 0,求證:

9、a2:-,2 a+丄 2a2 a證明要證嚴(yán)212-、2a+-2,a2a只要證a+a+2a0,故只要1a+-a+、.2)2,a2a4a丄 +2,a從而只要證 2a21a2只要證 4a2$a故原不等式成立例 3 若(a?+2+ 冷),即a2a2+冷 2,而該不等式顯然成立,a22 分6 分8 分10 分14 分求證:x, y 都是正實(shí)數(shù)，且 x+y 2,v 2 與 J v 2 中至少有一個(gè)成立.yx答案Va=3b或3avVb22 .22._已知 a b 0,且 ab=1,若 Ovcv1, p=logca_ _2是_._答案pvq3. 設(shè) S 是至少含有兩個(gè)元素的集合 .在 S 上定義了一個(gè)二元運(yùn)算

10、“ * ”(即對(duì)任意的 a,b S,對(duì)于有序元素對(duì)(a, b),在 S 中有唯一確定的元素 a*b 與之對(duì)應(yīng)).若對(duì)任意的 a, b S,有 a*( b*a)= b,則對(duì)任意的 a,b S,下列恒成立的等式的序號(hào)是_ ( a*b) *a=aa*( b*a): *( a* b)= a b*( b*b)=b(a*b)* : b*( a* b): =b答案4. 如果 AiBC 的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于厶A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則ABG 是三角形， A2B2C2是_三角形(用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空)答案銳角鈍角5. 已知三棱錐 S ABC 的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題

11、：BC 丄平面 SAC；平面 SBCL 平面 SABSB 丄 AC其中正確命題的序號(hào)是.答案6. 對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b 定義運(yùn)算 a*b= (a+1) (b+1)-1,給出以下結(jié)論：1對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b, c,有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c);2對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, b, c,有 a*( b*c)=( a* b)* c;3對(duì)于任意實(shí)數(shù) a,有 a*0=a,則以上結(jié)論正確的是 _ ._ (寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào))答案二、解答題7. 略，8 略9.已知 a、b、c ( 0, 1),求證：(1- a)b,(1- b) c,(1- c) a 不能同時(shí)大于 -.4證明 方法一 假設(shè)三式同時(shí)大于1,4111即(1- a)b1,(1- b) c1,(1- c)a -,444/ a、b、c(0,1),q=logc則 p, q 的大小關(guān)系BC左槪用21三式同向相乘得 (1- a) b(1- b) c(1- c)a 一