125直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、125直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系及其判定方法2一元二次方程根的判別式及韋達(dá)定理的應(yīng)用3中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題的求解4進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想【典型例題】例1（1）過點(diǎn)（2，4）作直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ）一條兩條三條四條（2）直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）（，）（，）（3）以圓錐曲線過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線無交點(diǎn)，則此圓錐曲線是( )A不能確定 B橢圓 C雙曲線 D拋物線（4）斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)，則 （5）雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為左支下半支上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線的斜率的范圍是 例2 在橢圓內(nèi)

2、，求通過點(diǎn)（，）且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程例3 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，它的離心率為，與直線x+y1=0相交于兩點(diǎn)、，且求橢圓的方程例4 如圖，在ABC中，C=90°，BC=2AC，A、B、C都是橢圓上的點(diǎn)，其中A是橢圓的左頂點(diǎn)，直線BC經(jīng)過橢圓中心（即原點(diǎn)O）（1）求證：無論AC的長(zhǎng)取何正實(shí)數(shù)，橢圓的離心率恒為定值，并求出該 定值；（2）若PQ是橢圓的一條弦，PQAB，求證PCQ的平分線垂直于AO 【課內(nèi)練習(xí)】1平面內(nèi)有一線段，其長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）2已知方程，它們所表示的曲線可能是（ ）3設(shè)A為雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點(diǎn)，連AF

3、交雙曲線于B，過B作直線BC垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線，垂足為C，則直線AC必過定點(diǎn)( )A（）B（）C（4，0）D（）4若直線與橢圓有且只有一公共點(diǎn)，那么 （ ）5過原點(diǎn)的直線l，如果它與雙曲線相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 6直線y=x3與拋物線y2=4x交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積是 7若曲線y2=|x|1與直線y=kxb沒有公共點(diǎn)，則k,b應(yīng)滿足的條件是 8已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè).

4、（1）證明：1e2； （2）若，PF1F2的周長(zhǎng)為6；寫出橢圓C的方程9已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。10拋物線C的方程為，過拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（3）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)

5、的取值范圍.125直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組1過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（ ）A有且僅有一條 B有且僅有兩條 C有無窮多條 D不存在2過點(diǎn)（1，0）且與雙曲線x2y2=1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 （ ） A1 條 B2條 C3 條 D4條3直線l是雙曲線=1(a>0，b>0)的右準(zhǔn)線，以原點(diǎn)為圓心且過雙曲線的焦點(diǎn)的圓，被直線l分成弧長(zhǎng)為21的兩段圓弧，則該雙曲線的離心率是（ ）A.B.C.D.4過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則 5雙曲線2x23y2=6的一條不過原點(diǎn)的弦AB恰被直線y=2x平分，則AB所

6、在直線的斜率是 6設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)確定的取值范圍，并求直線AB的方程 7討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)8已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。B組1拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則的值為 （ ）A5 B6 C8 D102點(diǎn)P(-3,1)在橢圓的左準(zhǔn)線上.過點(diǎn)P且方向?yàn)閍=(2,5)的光線,經(jīng)直線=2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為( ) A B C D 3已知雙曲線中

7、心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是 （ ）A B C D4設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D45直線y=x3與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 6橢圓與過點(diǎn)A（2，0），B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率e=，求橢圓的方程 7、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值8如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明

8、PFA=PFB.125直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典型例題】例1 （1）B提示：注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的情況（2）A提示：直線恒過點(diǎn)（0，1），只要該點(diǎn)在橢圓內(nèi)（3）B提示：聯(lián)想到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是某一中圓錐曲線，常數(shù)的大小決定曲線的類別（4）4提示：用弦長(zhǎng)公式（5）（，0）（1，）提示：數(shù)形結(jié)合例2、解法一 設(shè)所求直線的方程為，由消去y得由已知得解得因此，所要求的直線方程為即x+4y-5=0解法二：設(shè)，顯然，因?yàn)锳B都在橢圓上，所以有得將，代入得即直線的斜率為因此，所要求的直線方程為即x+4y-5=0例3、設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為離心率e=

9、 a=2b橢圓的方程可化為設(shè)，由于點(diǎn)、都在直線x+y1=0上，因此，即即將直線x+y1=0與橢圓的方程聯(lián)立消取y，得、是直線與橢圓的兩交點(diǎn)，代入得解得，所要求的橢圓方程為例4、（1）設(shè)橢圓方程為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0)，在ABC中，C=90°，BC=2AC 直線BC經(jīng)過橢圓中心（即原點(diǎn)O）AC=OC AOC為等腰直角三角形，C（ ， ），點(diǎn)B坐標(biāo)為（，）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得b2= a2,c2= a2,離心率e=是定值 （2）由（1）得直線AB的斜率為，設(shè)直線PQ的方程為y= xm 將直線PQ的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得x22xm3m2a2=0 由題知PQ存在，0且xPxQ = =

10、m xP·xQ= (3m2a2) (xPm)(xQ)(xQm)(xP)= xPxQ( xPxQ)(m)( xPxQ)a(m)=(m) a(m) =0kPC與kQC互為相反數(shù)。PCQ的平分線垂直于AO 【課內(nèi)練習(xí)】1A提示：點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，取最小值時(shí)點(diǎn)P恰好是雙曲線的頂點(diǎn)2B提示：注意a,b的取值符號(hào)3A提示：可以用特殊值方法，考慮AB與x軸垂直的情況4A提示：直線過定點(diǎn)（0，1），a=1符合題意，數(shù)形結(jié)合從變化趨勢(shì)的角度看k±5（，）（，）提示：數(shù)形結(jié)合648提示：直接求交點(diǎn)坐標(biāo)，求直角梯形的面積7k=0,1b1提示：數(shù)形結(jié)合8（1）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x

11、軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由即 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 即 解得 （2）當(dāng)時(shí)，所以 由MF1F2的周長(zhǎng)為6，得 所以 橢圓方程為9（1）設(shè)雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（2）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即 設(shè)，則而于是 由、得 故k的取值范圍為10（1）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得，于是，故又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得于是，故由已知得，則設(shè)點(diǎn)的坐

12、標(biāo)為，由，則將式和式代入上式得，即線段的中點(diǎn)在軸上（3）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，于是，因?yàn)殁g角且、三點(diǎn)互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即125直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組1B提示：用韋達(dá)定理2C提示：數(shù)形結(jié)合3D提示：數(shù)形結(jié)合將幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成a，c之間的關(guān)系4提示：用韋達(dá)定理5提示：設(shè)直線方程，用韋達(dá)定理6解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)的兩個(gè)不同的根， 是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=-1，代入得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB

13、的方程為解法2：設(shè)依題意，7聯(lián)列直線與雙曲線方程，消去y得，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由得；由得；由得所以當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線相交于兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線相切于一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線相交于一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)，直線l與雙曲線相離8（1）設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為，代入，化簡(jiǎn)得.令A(yù)（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（2）證明：（1）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，即由（1）知又，代入得故為定值，定值為1B組1C提示：聯(lián)想定義2A提示：將點(diǎn)在準(zhǔn)線上及有關(guān)對(duì)稱關(guān)系轉(zhuǎn)化成關(guān)于a,c之間的聯(lián)系3D提示：依據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)曲線方程，再用韋達(dá)定理確定系數(shù)4B提示：數(shù)形結(jié)

14、合考慮將直線平移適當(dāng)?shù)膯挝唬ㄈ切蔚母撸?，看其與橢圓有沒有公共點(diǎn)53提示：分類討論并畫圖6提示：依據(jù)離心率設(shè)橢圓方程，與直線方程聯(lián)列，令=07如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則 QPNMFO從而亦即(1)當(dāng)0時(shí)，MN的斜率為，同上可推得令=得=2當(dāng)=±1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為8解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為