一元微分學的概念性質(zhì)與計算

1、一元微分學的概念、性質(zhì)與計算一、考試內(nèi)容導數(shù)和微分的概念函數(shù)的可導性、可微性與連續(xù)性之間的關(guān)系基本初等函數(shù)的導數(shù) 導數(shù)和微分的四則運算復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)、積分變限函數(shù)的微分法高階導數(shù) 一階微分形式的不變性（一）導數(shù)與微分的概念與性質(zhì) ，可導是可微的充要條件，其皆為連續(xù)的充分條件.（三）基本函數(shù)的導數(shù)及高階導數(shù)表； ，.（四）導數(shù)與微分的運算法則；，對冪指函數(shù)也可用對數(shù)求導法，其適用于冪指函數(shù)、連乘、連除、開方、乘方等；設二階可導，且，則，；設二階可導，若由所確定，則 ，；.二、典型例題題型一 可導性的判定1、設函數(shù)在處連續(xù)，則是的(A)(A) 充分非必要條件 (B)

2、 必要非充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也非必要條件注：2、設（或函數(shù)在處連續(xù)），則是的(B)(A) 充分非必要條件 (B) 必要非充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也非必要條件注：是的(A) ，但是的(B) 提示：取,則，但在處非右連續(xù)3、設存在但不相等，則下列命題正確的是(B)(A) 在處不連續(xù) (B) 在處連續(xù)但不可導 (C) 為的跳躍間斷點 (D) 為的跳躍間斷點注1：為的跳躍間斷點存在但不相等注2：設在處左（右）連續(xù)，（）4、設在處連續(xù)，則下列命題正確的個數(shù)為(D)(1) 若在處可導，則 (2) 若在處連續(xù)，則 (3) 若，則 (4) 若，則(A) (B) (C

3、) (D) 5、函數(shù)不可導點的個數(shù)為提示：6、求證：若，則 .提示：若，且函數(shù)在處連續(xù)，則在的某鄰域內(nèi)不變號.注1：若，且函數(shù)在處連續(xù)，則.注2： ；在處的連續(xù)在處連續(xù).7、設，在連續(xù)，但不可導，又存在，求證：是在可導的充要條件提示：若，則； 反之，用反證法，假設，則在的某鄰域內(nèi)，用定義（或商的求導法則）可證可導，與假設矛盾，從而題型二 求導（微）的計算例1、設，求解：， 則注：該題也可用導數(shù)定義求解例2、設，求解：，則 注：該題也可用對數(shù)求導法例3、設，求解：，則注：例4、函數(shù)可導，當自變量在處取得增量時，相應的函數(shù)增量的線性主部為，則提示：例5、設是方程所確定的函數(shù)，求及解： 而 易知 例

4、6、 求解：， 則，化簡得 注：微分運算法則在隱函數(shù)求微中相當重要，同時要注意湊微分法的使用，如：例7、設嚴格單調(diào)函數(shù)具有二階導數(shù)，其反函數(shù)為且滿足，則提示： 例8、設二階可導，且，求 求解：，則 例9、設是由方程組所確定的隱函數(shù)，求解（一）因，有 而 ，故 解（二） 注意到，有 例10、設，求解：，則不存在，而 ， 例11、求函數(shù)的導數(shù)解： 當時，；當時，當時，故當時，；當時，在分段點-1處， 不存在在分段點1處， 例12、對于函數(shù) ,問選取怎樣的系數(shù)才能使得處處具有一階連續(xù)導數(shù)，但在處卻不存在二階導數(shù)解：由 又，且而此時，則在處具有一階連續(xù)的導數(shù)，從而處處具有一階連續(xù)的導數(shù)因，且有，綜上所

5、述，當，時，滿足題意例13、求注：，其中是連續(xù)函數(shù)，存在例14、設是連續(xù)函數(shù)，（1）令，則；（拆）（2）令，則（令，換）例15、是由確定的函數(shù)，求 解：對求導得，有在中令時，有，即，代入上式得例16、，求，.解：由（1） 得由（2） 得則，將代入易得例17、設是連續(xù)函數(shù)，且，則解：將兩端同時對求導得，令得，代入上式有題型三 高階導數(shù)的計算例1、求下列高階導數(shù)：（1）設，求（2）設，求解： （3）設，求（4）設，求，解： 三、課后練習1(A)、若，且,則2(A)、設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是(D)(A)若存在，則 (B)若存在，則 (C)若存在，則存在(D)若存在，則存在3(B)、設，則在=

6、0處可導(C)(A) 存在 (B) 存在 (C)存在 (D) 存在注：設，在=0處具有右導數(shù)存在；不存在，因取（充分大）時，4(B)、設在內(nèi)有定義，且恒有，則必是的(C)(A) 間斷點 (B) 連續(xù)而不可導點 (C) 可導點，且 (D) 可導點，且提示：，用夾逼定理可求出5(A)、函數(shù)不可導點的個數(shù)是6(A)、設可導，則是在處可導的(A)(A) 充要條件 (B)充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D)即非充分也非必要條件7 (B)、在點處不可導的充分條件為(B)(A) (B)(C) (D)8(A)、設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則是函數(shù)的(B)(A)跳躍間斷點 (B)可去間斷點 (C)無窮間斷點

7、(D)振蕩間斷點9(A)、設，其中是有界函數(shù)，則在處(D)(A)極限不存在 (B) 極限存在，但不連續(xù) (C) 連續(xù)但不可導 (D) 可導點10(B)、設在處連續(xù)，則下列命題正確的個數(shù)為(D)(1) 若，則 (2) 若，則 (3) 若，則 (4) 若，則(A) (B) (C) (D) 11(A)、設函數(shù)，其中為正整數(shù)，則=(A) (A) (B) (C) (D) 12 (B)、若，求證：.13、計算下列導數(shù)（微分）：（1）(A)設，則.（2）(A)設，求.（3）(A)若，則.（4）(A)若由確定，則.（5）(B)設，其中具有二階導數(shù)，且，求.（6）(A)設，其中可導，且，則.（7）(A)設由所確定，則.（8）(B)設函數(shù)則.（9）(B)設，則.（10）(A)設，則.（11）(B)設函數(shù)，則當，.（12）(A)的反函數(shù)在處的導數(shù)（13）(A)設連續(xù)，且，令，則.（14）(B)設連續(xù)，則 .（15）(A)由（）確定是的函數(shù)