§2.3 牛頓(Newton)法及其變形

1、2.3 牛頓（Newton）法及其變形一、Newton迭代方法l 牛頓迭代法計算公式的推導(dǎo)過程設(shè)是的根，在的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在的鄰域內(nèi)取一點，使，則在的鄰域內(nèi)連續(xù)，將它在點二階Taylor展開得 又，則有故的近似解，記類似，在點處Taylor展開，可得：，記依次往下做，可得一般的迭代格式：上述迭代格式稱為求的解的牛頓迭代法。l 幾何意義在點處作的切線，交軸于一點，求該點的橫坐標(biāo)。此切線方程為，當(dāng)時，得，正是的值。類似地，在點作函數(shù)的切線，交軸于一點，切線方程為，當(dāng)時，得，正是的值。所以，牛頓迭代法又稱為切線求根法。 例6用牛頓迭代法求方程在附近的根。解.將原方程化為，則牛頓迭代格式為取

2、，迭代得與上一節(jié)例2-4相比,牛頓法的收斂速度快。與埃特金法相當(dāng).注意：牛頓法的幾何意義說明了，迭代初值必須足夠接近，否則可能不收斂或收斂與其它的根。牛頓迭代法的流程圖輸入迭代初始值，精度，最大迭代次數(shù)T F輸出的信息，結(jié)束 T F T F輸出，結(jié)束輸出迭代次失敗信息，停。二、Newton迭代法的變形牛頓法的優(yōu)點:收斂速度快。牛頓法的缺點:每次迭代要計算一次導(dǎo)數(shù)值，當(dāng)表達(dá)式復(fù)雜或無明顯表達(dá)式時求解困難。l 簡化的牛頓迭代法1.主要思路:為了避免直接計算導(dǎo)數(shù)值，用某個定點上的值（或一常數(shù)M）取代，如，令，則牛頓迭代法的迭代格式變?yōu)椋?稱它為簡化的牛頓迭代法。只要選擇得當(dāng)，上式總是收斂的，不過其收

3、斂速度降為線性 .2.幾何意義其幾何意義可描述為用平行線代替牛頓法中的切線。過點，斜率為的直線與軸有一交點，下面求出該交點的橫坐標(biāo)。該直線的方程為當(dāng)時，即為直線與軸交點的橫坐標(biāo)值，也就是簡化的牛頓迭代方法中的的表達(dá)式：3.優(yōu)缺點優(yōu)點：計算簡單。缺點：沒有充分利用本身的特性，收斂速度慢，收斂階為1。l 割線法 1. 雙點割線法(1)基本思想:利用一階差商取代牛頓迭代法中的，則有 ，即。上式稱為雙點割線法?？梢则炞C，在滿足一定條件下，其收斂階(2) 幾何意義為過點與的割線和軸交點的橫坐標(biāo)。事實上，連接與，得到一條直線，該直線的方程為： 當(dāng)時，得到它與軸的交點的橫坐標(biāo)值，即：，每一次作迭代序列的第三

4、點時，它都是利用前面兩個已知點作曲線的割線，這正是為什么它稱為雙點割線法的原因。注意：雙點割線法必須預(yù)先給定兩個迭代初始值。2單點割線法(1)基本思想在用雙點割線法計算時，每次都必須計算相鄰兩個點的函數(shù)值，為了簡化計算，在計算的過程中固定一點，譬如說是，讓另外一點變化，即用點代替點，則有上式稱為單點割線法，其意義很明了，因為只有一點變化，故稱為單點割線法。其具體實現(xiàn)過程如下：預(yù)先給定兩點和，利用單點割線法的計算公式計算出的值，然后利用和這兩點計算的值，這么一直做下去，的值是利用和這兩點計算而得。(2) 幾何意義連接點和點，得到一條直線，它和軸的交點的橫坐標(biāo)的值就是?？梢宰C明，在一定的條件下，單

5、點割線法的收斂階為1 .三、計算重根的牛頓迭代法主要討論用牛頓迭代法解決重根的問題l 直接利用牛頓迭代法來求解設(shè)的重根（）。這時，, 若直接用牛頓迭代法計算的近似值，迭代過程的收斂速度變成線性收斂。這是因為令，則 （*）所以直接用牛頓迭代法求解，效果并不理想。提高收斂速度有兩種方法：(方法一) 將求重根的問題轉(zhuǎn)化為求單根。注意到，由于，所以是的單根。因此，求的重根等價于求的單根，而對用牛頓迭代法求根是平方收斂的，其迭代格式為：此迭代格式較復(fù)雜，應(yīng)用起來不方便。(方法二) 修改牛頓迭代法若用下述迭代函數(shù)建立迭代格式求解，則它的收斂階為2。 若收斂，即， 所以,此種改進(jìn)的牛頓迭代方法是平方收斂.確定根的重數(shù)設(shè)，使牛頓迭代格式所得的三個相鄰的迭代值，令,則由（*）式知故 因此可以用下式估計：例8 用牛頓迭代法求方程在0.95附近的根。解 直接用牛頓迭代格式 （）有如下結(jié)果成立：01234560.950.97442790.98705830.99348780.99673280.99835760.99919010.50900.50470.5