數(shù)學(xué)建模入門練習(xí)題北京石油化工學(xué)院

1、數(shù)學(xué)建模入門練習(xí)題練習(xí)題1：發(fā)現(xiàn)新大陸！發(fā)現(xiàn)新大陸！人人都能做到，可是最終哥倫布做到了。為什么哥倫布能做到呢？(參考答案： 有興趣、能想到、去做了、堅(jiān)持到底。) 答：哥倫布對待有想別人所不敢想，做別人所不敢做的這種能力。練習(xí)題2：棋盤問題有一種棋盤有64個(gè)方格，去掉對角的兩個(gè)格后剩下62個(gè)格（如下圖），給你31塊骨牌，每塊是兩個(gè)格的大小。問能否用這些骨牌蓋住這62個(gè)方格？答：不能。對剪掉對角格以后的棋盤進(jìn)行黑白涂色(相鄰的涂不同的顏色,就好像國際象棋棋盤一樣).這樣,由于剪掉的兩格恰好是同色的(你可以自己驗(yàn)證下),因此剩下的黑格和白格不等,但是每個(gè)骨牌必然同時(shí)覆蓋一黑一白兩個(gè)格子(相鄰的嘛.)

2、,因此無法完全覆蓋練習(xí)題3：硬幣游戲如果你和你的對手準(zhǔn)備依次輪流地將硬幣放在一個(gè)長方形桌子上，使得這些硬幣不重疊。最后放上硬幣的人為勝者，在開始時(shí)你有權(quán)決定先放還是后放。為了能贏得這場比賽，你決定先放還是后放呢？答：首先將硬幣放在長方形桌子的中心，然后根據(jù)對手所放 的硬幣，找一桌子中心為對稱中心的位置，直至對方?jīng)]有地方放硬幣為止，由長方形的對稱 性，只有中心不存在對稱位置，故先放者必定會贏。練習(xí)題4：高速問題 一個(gè)人從 A 地出發(fā)，以每小時(shí)30公里的速度到達(dá) B 地，問他從 B 地回到 A 地的速度要達(dá)到多少？才能使得往返路程的平均速度達(dá)到每小時(shí)60公里？答：模型假設(shè)：設(shè) AB 相距 S，B

3、到 A 的速度為 v，往返平均速度為 v 模型建立：A 到 B 的時(shí)間為 t1=s/30,B 到 A 的時(shí)間為 t2=s/v 往返總時(shí)間為 t1+t2=s/30+s/v 平均速度為 v=2s/t1+t2=2s/(s/30+s/v) 模型求解：令 v=60,分析得，只有 v 趨于無窮大時(shí)，才能使 v的極限值等于 60練習(xí)題5：登山問題某人上午八點(diǎn)從山下的營地出發(fā)，沿著一條山間小路登山，下午五點(diǎn)到達(dá)山頂；次日上午八點(diǎn)又從山頂開始下山（沿同一條小路）返回，下午五點(diǎn)又到達(dá)了山下的營地。問：是否能找到一個(gè)地點(diǎn)來回時(shí)刻是相同的？答：假如我們換一種想法，把第二天的返回改成另一個(gè)人在同一時(shí)間由山頂開始下山，

4、并且也在下午五點(diǎn)到達(dá)山下，這樣，只要兩人在途中相遇，該地點(diǎn)就是上山下山來回時(shí)刻相 同的地點(diǎn)。練習(xí)題6：兄弟三人戴帽子問題 解放前，在一個(gè)村子里住著聰明的三兄弟，他們除惡殺了財(cái)主的兒子，犯了人命案?？h太爺有意想免他們一死，決意出一個(gè)難題測測他們是否真的聰明，如果他們能在一個(gè)時(shí)辰內(nèi)回答出來，就免他們一死，否則就被處死。題目如下： 兄弟三人站成一路縱隊(duì)(老三選擇了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分別被蒙住了眼睛，縣太爺說我這里有兩頂黑帽子和三頂紅帽子，接著分別給他們頭上各帶了一頂帽子，然后又分別把被蒙住的眼睛解開。此時(shí)，老大只可以看見老三和老二頭上的帽子,老二只可以看見老三頭上的帽

5、子，老三看不見帽子。 只有一個(gè)時(shí)辰的時(shí)間，看誰能說出自己頭上帽子的顏色，第一句聲音有效。現(xiàn)在開始！ (縣太爺有多少種帶帽子的方案，那一種最難？你能回答嗎？)答：（1）7種。 （2）首先肯定是老大猜，因?yàn)樗芸吹嚼隙先拿弊宇伾?，如果老二老三帽子都是黑的，那么老大馬上就能判斷自己帽子是紅的，這就是1紅2黑的3種中的一種情況。共1種，這種情況最簡單。但是萬一老大猜不出來呢？那就是老二老三帽子要么1黑1紅， 要么2紅，這個(gè)時(shí)候，該讓老二猜了，如果老二看到老三的帽子是黑的，他馬上就可以猜到自己帽子是紅的。（因?yàn)槔洗蟛荒懿鲁鰜?，則肯定老二老三的帽子1紅1黑或2紅）如果讓老二猜，并且猜出來，這是較難的戴

6、帽方法，包括2紅1黑3種中的一種，1紅2黑3種中的一種。共2種，這2種較難。但是萬一老二也猜不出來呢？那就是老三的帽子是紅的，老二不能猜出來，老三要經(jīng)過老大老二都不能猜出來分析來判斷自己的帽子是紅的。包括3紅情況下的1種，2紅1黑3種情況下中的2種，1紅2黑3種情況中的一種，共4種。這4種是最難的。練習(xí)題7：做出空間圖形做出由曲面與相交的空間曲線和所圍成的立體的圖形。練習(xí)題8：之事，知多少？關(guān)于圓周率的事，你們知道多少？答：實(shí)際上=C/2R， 式中圓的周長 C 是可以用圓內(nèi)接正多邊形的周長 Pn 來近似代替的， 當(dāng)圓內(nèi)接正 n 邊行的邊數(shù)不斷地成倍增大時(shí)，它的周長 Pn 就不斷地增大，并且越來

7、越接近 圓的周長 C，于是 Pn/2R 的值就越來越接近 C/2R 的值。練習(xí)題9：身高和年齡的關(guān)系你不認(rèn)為“身高和年齡之間有關(guān)系嗎？”請你們?nèi)齻€(gè)人分別按照每人從出生到現(xiàn)在每年的身高和對應(yīng)的年齡記錄下來（在你本人的寶寶成長紀(jì)念冊中），制成表（注明：男生、女生，籍貫），然后分別找到它們之間的關(guān)系，用數(shù)學(xué)（函數(shù)和圖形）的方法表示出來。答： 年齡身高（趙天樂）身高（陳廣芮）身高（王靜）1707573282838439392934979596510099996108105101711611210581201191099134129118101381351231114113913412145144139

8、1314814614214153151147151571561521615815815417159159155181601601561916216115720164163158籍貫黑龍江北京江蘇由圖意得y=35.377ln(x)+67.59練習(xí)題10：過三峽大壩請你說明船舶是如何從上游通過長江三峽大壩去下游的，又是如何從下游通過長江三峽大壩去上游的。 換句話說，船舶是如何通過長江三峽大壩的。答： 上下游各有一個(gè)閘門，中間形成一個(gè)閉合河道 AB 上游到下游，打開上游的閘門，使得 AB 段與上游的水位一樣，船舶駛?cè)耄箨P(guān)上上游閘門，打開下游閘門，使得 AB 段與下游水位一樣，駛出，進(jìn)入下游。 下游

9、到上游，關(guān)閉閘門順序相反。練習(xí)題11：你如何解釋？首都博物館里有一個(gè)展品是一個(gè)出土的石盒子容器（見下圖），它的外側(cè)表面的石刻畫中，有一個(gè)佛的頭像是一個(gè)方形的洞，這如何解釋呢？答：仔細(xì)看那幾個(gè)佛像的頭部，好像和身體并不是一體雕刻成的，也就是說頭部是單獨(dú)雕刻然后安裝上去的，那么這個(gè)洞就是安裝佛頭用的，現(xiàn)在這個(gè)佛頭丟失了，就露出了這個(gè)洞。如果把其它幾個(gè)佛像(特別是頭部后面帶圓圈的那幾個(gè)佛像)的頭也去悼，后面很可能也會有洞。練習(xí)題12：海盜分金幣有五個(gè)海盜在海上搶得了100枚金幣，上岸后他們要分贓。 他們五個(gè)人排了個(gè)順序，第一個(gè)人先制定一個(gè)分配方案，如果第一個(gè)人的方案被通過并執(zhí)行，此次分金幣的事結(jié)束，

10、如果第一個(gè)人的方案被否決，把第一個(gè)人殺掉。 100枚金幣由其余的四個(gè)人分，再由第二個(gè)人制定一個(gè)分配方案，依次類推，直到金幣被分完。 請你替第一個(gè)人制定一個(gè)合適的分配方案。（注：分配方案被通過是指同意的人數(shù)大于反對的人數(shù)，否則方案被否決。）答：假設(shè)對這五個(gè)海盜編號為1,2,3,4,5如果只剩下4,5兩個(gè)海盜，那么不論4號如何分配,5號都可以說不同意,那么4號的下場是死,5號的結(jié)果是獲得金幣。因此如果還剩下3,4,5三個(gè)海盜。那么不論3號如何分配，4號只能同意，因?yàn)楸Ｃo(他們都是理智的),這樣3號可以提出的分配原則是(100,0,0)。不論5號是否同意，3，4號都會贊成。最終少數(shù)服從多數(shù)，結(jié)果

11、便是3號得100金幣,4,5號沒有金幣。如果還剩下2,3,4,5四個(gè)海盜,2號可以提出的分配原則是(98,0,1,1),這樣3號肯定不同意，但是4,5號卻會同意,因?yàn)榕c前面的方案相比,4號和5號都能獲得一個(gè)金幣,這總比沒有金幣強(qiáng)，因此4,5號也一定會同意，這樣一來，結(jié)果便是2號得98個(gè)金幣,3號沒有金幣,4號和5號一人一個(gè)金幣。如果是1,2,3,4,5五個(gè)海盜,1號可以提出得分配原則是(97,0,1,0,2)或者是(97,0,1,2,0)這樣2號肯定不同意,3號不得不同意,因?yàn)?號不同意,那么等到下一輪他就沒有金幣了。至于4號和5號,只要給其中一個(gè)人兩個(gè)金幣,那么他(4或者5)便得到了比前一個(gè)

12、方案更多的甜頭。那么他們中的一個(gè)必然同意,而另一個(gè)必然反對，最后是三個(gè)人同意,兩個(gè)人反對，使得此方案通過，因此最終的分配方法是(97,0,1,2,0)或者是(97,0,1,0,2)。練習(xí)題13：學(xué)會管理工作你的公司需要確定五名員工值一個(gè)月（30天）的班，每天只需要安排這五名員工中的二名值班。請你們安排一個(gè)公平、合理、科學(xué)的值班表。答：30天可以分成6組，每5天一組，這樣循環(huán)值班。每輪值班情況如下：將5個(gè)人假設(shè)為 A,B,C,D,E。天數(shù) 值班安排1（A,B）2(C,D)3(E,A) 4(B,C)5(D,E) 注：員工順序可以調(diào)換，但是還是每5天保證2天班。這樣每個(gè)員工在五天內(nèi)都可以值兩天班，這

13、樣公平，合理又科學(xué)。練習(xí)題14：身高和鞋碼的關(guān)系你不認(rèn)為“身高和鞋碼之間有關(guān)系嗎？”請把你們?nèi)齻€(gè)班同學(xué)的身高和對應(yīng)的鞋碼記錄下來，制成表（男生、女生分開），然后分別找到它們之間的關(guān)系，用數(shù)學(xué)（函數(shù)和圖形）的方法表示出來。答：如下所示： 表格：男生身高鞋碼女生身高鞋碼11704011603521643921633731754231573641784241583651704251653961814661684071794571603881764281784191834791633510176421016238111854711160371218548121613613176481316538141

14、78481415636151914915155351619248161533517178451716237181754018160371916839191613820175402015636211784821155352218548221533523176482317038241904924167372517839251693826182432617239函數(shù)：男生身高與鞋碼關(guān)系女生身高與鞋碼的關(guān)系對數(shù) (男生身高與鞋碼的關(guān)系) 對數(shù) (女生身高與鞋碼的關(guān)系) 根據(jù)我們的觀察，我們認(rèn)為鞋碼和身高之間是一種簡單的對數(shù)函數(shù)的關(guān)系， 即鞋碼與身高滿足： f(x)=m*lnx+n 其中 f(x)表示鞋

15、碼（號），x 表示身高（cm），m 與n 是兩個(gè)參數(shù)。 從我們?nèi)齻€(gè)的數(shù)據(jù)計(jì)算可得，m=44.95，n=-188.87。 因此可得，鞋碼與身高的函數(shù)關(guān)系為： y=44.95*lnx-188.87 以上的函數(shù)是對于男生而言的，對于女生，由數(shù)據(jù)可知女生的鞋碼普遍比男生小23 碼，因此女生的函數(shù)關(guān)系為 y=44.95*lnx-190.87練習(xí)題15：近幾年北京市空氣質(zhì)量好多了!你不認(rèn)為“近幾年北京市空氣質(zhì)量好多了嗎？”請你們尋找近幾年北京市空氣質(zhì)量的數(shù)據(jù)，并用得到的數(shù)據(jù)找出年份和對應(yīng)的藍(lán)天數(shù)之間的關(guān)系，用數(shù)學(xué)模型的方法表示出來。再用你們建立的數(shù)學(xué)模型預(yù)測今年、明年北京市空氣質(zhì)量(主要指藍(lán)天數(shù))。再用你

16、們建立的數(shù)學(xué)模型預(yù)測一下，到那年北京市空氣質(zhì)量全達(dá)標(biāo)(主要指藍(lán)天數(shù)等于全年的天數(shù))。答：數(shù)據(jù)如下：年份空氣質(zhì)量指數(shù)20022122003234200424320052572006259200726520082752009282直接由圖得出在一定范圍內(nèi)，對應(yīng)的年份與藍(lán)天數(shù)的關(guān)系： 藍(lán)天數(shù) y 與年份 x 的關(guān)系為：y = 2E-29e0.0356x練習(xí)題16：為什么要更改名字？我校為了慶祝建校30周年，在校園內(nèi)立了幾個(gè)雕塑，其中一個(gè)（見下圖）剛立時(shí)名字叫“麥比烏斯環(huán)”，可是過了一段時(shí)間后就把名字改了，為什么要更改名字呢？答：麥比烏斯環(huán)有三個(gè)特征： 一、麥比烏斯環(huán)只存在一個(gè)面。 二、如果沿著麥比烏

17、斯環(huán)的中間剪開，將會形成一個(gè)比原來的麥比烏斯環(huán)空間大一倍的、具有正反兩個(gè)面 的環(huán)，而不是形成兩個(gè)麥比烏斯環(huán)或兩個(gè)其它形式的環(huán)。 三、生成的所有的環(huán)都將套在一起，永遠(yuǎn)無法分開、永遠(yuǎn)也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨(dú)立存在，與圖中雕塑不符，故要換名。練習(xí)題17：學(xué)習(xí)查資料請你們查找歷年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的題目并制成一張表。請你們查找歷年參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)校數(shù)和隊(duì)數(shù)并制成一張表。請你們查找我校歷年參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的隊(duì)數(shù)和獲獎(jiǎng)情況并制成一張表。答：（1）（2）（3） 2001 年北京大學(xué)生數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用競賽（暨 2001 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）獲獎(jiǎng)情況如下：北京市一等

18、獎(jiǎng)一個(gè)隊(duì)：隊(duì)員（閻曉華、范晚枝、時(shí)培建），指導(dǎo)教師（吳春霞）；北京市二等獎(jiǎng)一個(gè)隊(duì)：隊(duì)員（張 余、蔣春梅、王 爽），指導(dǎo)教師（吳春霞）。2002 年北京大學(xué)生數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用競賽（暨 2002 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）獲獎(jiǎng)情況如下：北京市一等獎(jiǎng)兩個(gè)隊(duì)：隊(duì)員（孫致平、李彥隆、張翠英），指導(dǎo)教師（吳國民）；隊(duì)員（張 余、蔣春梅、王 爽），指導(dǎo)教師（吳春霞）。北京市二等獎(jiǎng)兩個(gè)隊(duì)：隊(duì)員（韓 軍、劉 克、陳彥晴），指導(dǎo)教師（吳國民）；隊(duì)員（閻曉華、范晚枝、丁文輝），指導(dǎo)教師（吳國民）。2003 年北京大學(xué)生數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用競賽（暨 2003 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）獲獎(jiǎng)情況如下：國家一等獎(jiǎng)一個(gè)

19、隊(duì)：隊(duì)員（孫致平、譚芳、張翠英），指導(dǎo)教師（吳春霞）；國家二等獎(jiǎng)一個(gè)隊(duì)：隊(duì)員（時(shí)培建、徐多林、水聲建），指導(dǎo)教師（吳國民）。練習(xí)題18：典型的數(shù)學(xué)建模例子請你們闡述一下數(shù)學(xué)模型的概念，并提供一個(gè)在你們的專業(yè)課學(xué)習(xí)中遇到的“典型的數(shù)學(xué)建模例子”。答：概念：根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素 數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法。用以描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 典型例子：如圖，用一水平力 F 使質(zhì)量為 m 的物體靜止于傾角為的斜面，已知斜面 對物體的最大靜摩擦力為他們接觸面間壓力的倍，求水平力 F 的大小。 分析：物體恰向上滑，受力如圖 b，恰向下滑，受力如圖

20、 c, 不論向上還是向下，物體與斜 面間的壓力都為 N=mgcos+Fsin 要想物體不上滑：Fcos mgsin 求解：Fmg 練習(xí)題19：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？考慮椅子的四腳呈長方形的情形。答： 記四邊形四頂點(diǎn)為 ABCD,對角線交點(diǎn)為 O,當(dāng)?shù)首臃旁诘孛鏁r(shí)最少有三只腳與地面接 觸,以 O 為轉(zhuǎn)軸,AC 初始位置為極軸,當(dāng) AC 轉(zhuǎn)過 角時(shí),記 A,C 兩點(diǎn)與地面距離之和為 f(),BD 兩點(diǎn)與地面距離之和 g(),由于任意位置都有三只腳與地面接觸,所以總有 f()*g()=0,記 F()=f()-g(),顯然 F()是連續(xù)的,對于初始位置,不妨設(shè) f(0)=0,g(0)0,那么 F

21、(0)=-g(0).當(dāng)?shù)首訌?D 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 A 點(diǎn)時(shí),由對稱性知 g()=f(0)=0,所 以 f()0,那么 F()=f()0 所以 F()*F(0)=-g(0)*f()0,由連續(xù)函數(shù)介值定理知在0,上最少有一點(diǎn)使得 F(x)=0,即 f(x)=g(x)=0,所以長方形凳子總能放穩(wěn)。練習(xí)題20：商人們怎樣安全過河？四名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們怎樣才能安全渡河呢?答： 我們設(shè)商人為A,從人為B，則，由題意可知： 我們假設(shè)第一次為A+B 模式過河，到達(dá)

22、對岸以后，A 下船，B 返回；第二次為 B+B 模式過河，到達(dá)對岸以后，一個(gè)B 下船，另一個(gè)B 返回；第三次為A+B 模式過河，到達(dá)對岸以后，A 下船，B 返回；第四次為B+B 模式過河，到達(dá)對岸以后，其中一個(gè)B 下船，另一個(gè) B 則返回；第五次為 A+B 模式過河，到達(dá)對岸以后，A 下船，B 返回；至此，前五次均能安全渡河，到第六次時(shí)，無論選擇那種模式渡河都會致使還未渡河的隨從比商人多，則導(dǎo)致不能安全渡河，所以商人們不能安全渡河。 即當(dāng)m3 時(shí)， m 名商人帶著m 個(gè)隨從無法安全渡河。 練習(xí)題21：學(xué)習(xí)檢驗(yàn)問題在第三章（初等模型）第三節(jié)（劃艇比賽的成績）中利用最小二乘法和表中各種艇的平均成績

23、檢驗(yàn)公式，要求小數(shù)點(diǎn)后保留四位。答：由物理知識可知,槳手輸出的功完全用于劃艇克服阻力產(chǎn)生定常的速度:n P = k4 F v由假設(shè)得到:k1 n W = k4 k2 S v3于是得到速度模型:v = k9 (nW/S)1/3由阿基米德原理可知?jiǎng)澩潘捏w積 V 與載人艇的總重量呈正比,V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n浸沒面積與排水體積關(guān)系為 S=k7V2/3=k8n2/3代入速度模型,得到速度對人數(shù)的依賴關(guān)系: v=k9(nW/n2/3)1/3=k10n1/9最后得到比賽成績對人數(shù)的依賴關(guān)系:T=D/v=k n-1/9計(jì)算劃艇的四次成績:種類 成績(劃 2000 米

24、時(shí)間(分) 平均單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215雙人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835根據(jù)這些數(shù)據(jù),利用最小二乘法擬合可得t= 7.29 n-0.104.練習(xí)題22：設(shè)效用函數(shù)為根據(jù)(第四章微分法建模，第六節(jié)消費(fèi)者的選擇)(2)式求最優(yōu)比例,使效用函數(shù) 達(dá)到最大。答： 練習(xí)題23：航天飛機(jī)的水箱的設(shè)計(jì)考慮航天飛機(jī)上固定在飛機(jī)墻上供宇航員使用的水箱。水箱的形狀為在直圓錐頂上裝一個(gè)球體(像冰激凌的形狀，如圖)。如果球體的半徑限定為正好英尺，設(shè)計(jì)的

25、水箱表面積為平方英尺，為直圓錐的高，為球冠的高，請確定、的尺寸，使水箱容積最大。答：由題意，建立模型：我們定義如下變量 Vc=錐頂?shù)捏w積，等于 Vc=(2rx1x2-x1(x2)2)pi/3Vs=被錐所截后球體部分的體積，等于 Vs=(4r3 十(x2)3-3(x2)2r)pi/3Vw=Vc 十 Vs:水箱的體積 Vw=Vc 十 Vs=(4r3+(x2)3-3r(x2)2+2rx1x2-x1(x2)2)pi/3Sc=錐的表面積，等于 Sc=pi(2rx2-(x2)2+(x1)2)(2rx2-(x2)2)(1/2)Sc=被錐所截后球體部分的表面積，等于 Sc=4xr2 一 2pirx2St=Sc+Ss:水箱的表面積 St=4xr2-2pix2+pi(