高等代數(shù)(北大版)第2章習(xí)題參考題答案

1、第二章 行 列 式1. 求以下9級(jí)排列的逆序數(shù),從而決定它們的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序數(shù)為:，所以此排列為偶排列。 2) 所求排列的逆序數(shù)為:， 所以此排列為偶排列。 3) 所求排列的逆序數(shù)為:， 所以此排列為偶排列。2.選擇與使1) 1274569成偶排列；2) 1254897成奇排列。解: 1) 當(dāng)時(shí), 所求排列的逆序數(shù)為:， 故當(dāng)時(shí)的排列為偶排列.。2)當(dāng)時(shí), 所求排列的逆序數(shù)為:，故當(dāng)時(shí)的排列為奇排列。 3.寫出把排列12345變成排列25341的那些對(duì)換

2、。解: 12345。 4.決定排列的逆序數(shù),并討論它的奇偶性。 解: 因?yàn)?與其它數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序,2與其它數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序,構(gòu)成1個(gè)逆序,所以排列的逆序數(shù)為 5.如果排列的逆序數(shù)為,排列的逆序數(shù)是多 少? 解: 因?yàn)楸却蟮臄?shù)有個(gè),所以在與這兩個(gè)排列中,由與比它的 各數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和為.因而,由構(gòu)成的逆序總數(shù) 恰為 。而排列的逆序數(shù)為,故排列的逆序數(shù)為。6.在6階行列式中, 這兩項(xiàng)應(yīng)帶有 什么符號(hào)? 解: 在6階行列式中,項(xiàng)前面的符號(hào)為 。 同理項(xiàng)前面的符號(hào)為 。 所以這兩項(xiàng)都帶有正號(hào)。 7寫出4階行列式中所有帶有負(fù)號(hào)并且因子的項(xiàng)。 解： 所求的各項(xiàng)應(yīng)是 ， ， 。 8按定義計(jì)算行列式： 1） 2）

3、 3） 。 解：1）所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)， 它前面的符號(hào)應(yīng)為 ， 所以原行列式=。 2）所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)， 它前面的符號(hào)應(yīng)為 ， 所以原行列式=！。 3）所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)， 它前面的符號(hào)應(yīng)為 ， 所以原行列式=！。 9由行列式定義證明： 解：行列式展開的一般項(xiàng)可表示為，列標(biāo)只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三個(gè)下標(biāo)中至少有一個(gè)要取3，4，5列中之一數(shù)，從而任何一個(gè)展開式中至少要包含一個(gè)0元素，故所給行列式展開式中每一項(xiàng)的乘積必為0，因此原行列式值為0。 10 由行列式定義計(jì)算 中與的系數(shù)，并說明理由。 解：含有的展開項(xiàng)只能是，所以

4、的系數(shù)為2；同理，含有的展開項(xiàng)只能是，所以的系 數(shù)為-1。 11.由 ， 證明：奇偶排列各半。 證：由題設(shè)，所給行列式的展開式中的每一項(xiàng)的絕對(duì)值等于1。 而行列式的值為0，這說明帶正號(hào)與帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)相等.根據(jù)行列式的定義，其展開式中的每一項(xiàng)的符號(hào)是由該乘積中各因子下標(biāo)排列的逆序數(shù)所決定的，即當(dāng)該乘積中各因子的第一個(gè)下標(biāo)排成自然順序，且第二個(gè)下標(biāo)所成排列為偶排列時(shí)， 該項(xiàng)前面所帶的符號(hào)為正，否則為負(fù)號(hào)，所以，由帶正號(hào)的項(xiàng)與帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)數(shù)相等即說明奇偶排列各半。 12設(shè)， 其中是互不一樣的數(shù)。1） 由行列式定義，說明是一個(gè)次多項(xiàng)式；2） 由行列式性質(zhì)，求的根。解：1）因?yàn)樗o行列式的展開式中只有

5、第一行含有，所以若行列式的第一行展開時(shí)，含有的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)恰為乘一個(gè)德蒙行列式于是，由為互不一樣的的數(shù)即知含有的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不為0，因而為一個(gè)次的多項(xiàng)式。2） 若用分代替時(shí)，則由行列式的性質(zhì)知所給行列式的值為0，即.故至少有個(gè)根.又因?yàn)槭且粋€(gè)次的多項(xiàng)式，所以必是的全部根。 13計(jì)算下面的行列式： 1） 2） 3） 4） 5） 6） 解：1） 原式= = 。 2）原式= =。3）原式=。 4） 原式= =20 。5） 原式=6） 原式=0 。 14.證明 。 證明：由行列式的性質(zhì)，有 左邊=2 =2 =2右邊 。 15算出下列行列式的全部代數(shù)余子式： 1） 2） 解：1）， ， ， ， 。 2）

6、， 。 16計(jì)算下面的行列式： 1） 2） 3） 4） 解：1）原式= = 。 2）原式= =-=- 。3） 原式= =- =3 。4） 原式= = =- =- 。 17計(jì)算下列階行列式： 1） 2） 3） 4） 5） 解：1）按第一列展開，原式=。 2）從第2列起各列減去第1列 原式= 當(dāng)時(shí)，原式=0； 當(dāng)時(shí)，原式=； 當(dāng)時(shí)，原式=。3）原式= 。4）原式= =！。5） 各列加到第1列得到 原式= = 。18.證明： 1） 。 2）。 3） 。 4） 。 5） 。 證明：4）分別將第行乘以-加到第1行，得 左邊= = = 右邊。 4）從最后一行起，分別將每一行都乘以后加到其前一行，得 左邊=

7、 =右邊。 4）將所給行列式記為，按第1列展開得， 即， 此式對(duì)一切都成立.故遞推得， 在中的地位是一樣的，故同理可得， 所以 ， 從而 =右邊。4）對(duì)2階行列式，有， 此時(shí)結(jié)論成立。 假設(shè)對(duì)階數(shù)小于的行列式結(jié)論皆成立，則對(duì)階行列式按最后一行展開，得，因?yàn)椋?代入可得 故對(duì)一切結(jié)論成立，即證。4）左邊= = =右邊。 19用克拉默法則解下列方程： 1） 2） 3）4） 解：1） 。 所以方程組有唯一解： 。 2） 。 所以方程組有唯一解： 。 3） 。 所以方程組有唯一解： 。 4） . 所以方程組有唯一解：。 20設(shè)是數(shù)域中互不一樣的數(shù)，是數(shù)域中任一組給定的數(shù)，用克拉默法則證明：有唯一的數(shù)域上 的多項(xiàng)式 使。 證明：由得 這是一個(gè)關(guān)于的線性方程組，且它的系數(shù)行列式 為一個(gè)得蒙行列式.由已知該行列式不為0，故線性方程組 只有唯一解，即所求多項(xiàng)式是唯一的。 21設(shè)水銀密度與溫度的關(guān)系為， 由實(shí)驗(yàn)測定得以下數(shù)據(jù)：102