導數(shù)在設(shè)計研究函數(shù)中的應(yīng)用

1、 .wd.導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用編稿；周尚達 審稿：張揚 責編：嚴春梅目標認知學習目標：1會從幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 多項式函數(shù)一般不超過三次. 2了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件(導數(shù)在極值點兩端異號)和充分條件；會用 導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值多項式函數(shù)一般不超過三次.3會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值多項式函數(shù)一般不超過三次.重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；會求一些函數(shù)的極值與最值。難點：函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.利用導數(shù)在解決函數(shù)問題時有關(guān)字母討論的問題.學習策略：理解導函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的必然關(guān)系。數(shù)形結(jié)合，體會函

2、數(shù)極值與最值的含義。緊緊抓住導函數(shù)為0的點，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值。知識要點梳理知識點一：函數(shù)的單調(diào)性(一) 導數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，那么在這個區(qū)間上，假設(shè)，那么在這個區(qū)間上為增函數(shù)；假設(shè)，那么在這個區(qū)間上為減函數(shù)；假設(shè)恒有，那么在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，假設(shè)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上有恒成立但不恒等于0；假設(shè)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在該區(qū)間上有恒成立但不恒等于0注意：1因為導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數(shù) 在這個區(qū)間上為增函數(shù)；當在某區(qū)間上，即切線斜率為負時，函數(shù)在這個區(qū) 間上為減函數(shù)；即導函數(shù)的正負

3、決定了原函數(shù)的增減。2假設(shè)在某區(qū)間上有有限個點使，在其余點恒有，那么仍為增函數(shù)減函數(shù)的 情形完全類似。即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數(shù)； 在這個區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間； 在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。在區(qū)間(a,b)內(nèi)，或是在 區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增或減的充分不必要條件！ 例如：而f(x)在R上遞增.3只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個函數(shù)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).4注意導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.二利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的根本步驟：1. 確定函數(shù)的定義域；2. 求導數(shù)；3. 在定義域內(nèi)解不等式，解出相應(yīng)的x的范圍；當時，在相應(yīng)區(qū) 間上為增函數(shù)；當時在相應(yīng)區(qū)間上為減函

4、數(shù). 或者令，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根。把這些實數(shù)根和函數(shù)的連續(xù)點即的無 定義點的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成假設(shè)干個小 區(qū)間，判斷在各個小區(qū)間內(nèi)的符號。4. 寫出的單調(diào)區(qū)間.注意：1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集。2求單調(diào)區(qū)間常常通過列表的方法進展求解，使解題思路步驟更加清晰、明確。知識點二：函數(shù)的極值一函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，1假設(shè)對于附近的所有點，都有，那么是函數(shù)的一個極大值， 記作；2假設(shè)對附近的所有點，都有，那么是函數(shù)的一個極小值， 記作.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點

5、，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.注意：由函數(shù)的極值定義可知：1在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，否那么無從比擬.2函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可 能有多個極值，也可能無極值.由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比擬是最大 或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.3極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值.極小值不一定是整 個定義區(qū)間上的最小值.4函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最小值 的點可能在

6、區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.二求函數(shù)極值的的根本步驟：確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)；求方程的根；檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)注意：可導函數(shù)的極值點一定是導函數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點.即是可導函數(shù)在點取得極值的必要非充分條件.例如函數(shù)y=x3，在x=0處，但x=0不是函數(shù)的極值點.可導函數(shù)在點取得極值的充要條件是且在兩側(cè)，的符號相異。知識點三：函數(shù)的最值一 函數(shù)的最大值與最小值定理假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與

7、最小值.如.注意：函數(shù)的最值點必在函數(shù)的極值點或者區(qū)間的端點處取得。函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個。二求函數(shù)最值的的根本步驟：假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，那么求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：1求函數(shù)在內(nèi)的導數(shù)；2求方程在內(nèi)的根；3求在內(nèi)使的所有點的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；4比擬上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù) 在閉區(qū)間上的最小值.注意：求函數(shù)的最值時，不需要對導數(shù)為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導數(shù)為0的點和端點的函數(shù)值進展比擬即可。假設(shè)在開區(qū)間內(nèi)可導，且有唯一的極大小值，那么這一極大小值即為最大小值.三最值理論的應(yīng)用解決

8、有關(guān)函數(shù)最值的實際問題，導數(shù)的理論是有力的工具，根本解題思路為：1認知、立式： 分析、認知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系；2探求最值： 立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；3檢驗、作答： 利用實際意義檢查2的結(jié)果，并答復(fù)所提出的問題，特殊地，如果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個 點滿足，并且在點處有極大小值，而所給實際問題又必有最大小 值，那么上述極大小值便是最大小值.規(guī)律方法指導1利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D，并且解決問題的過程中始終立足于定義域D.假設(shè)由不等式確定的x的取值集合為A，由確定的x的取值范圍為B，那

9、么應(yīng)有.如.在區(qū)間(a,b)內(nèi)，或是在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增或減的充分不必要條件！即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數(shù)；在這個區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。2最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)的最大值和最小值是比擬整個定義域上的函數(shù)值得出的具有絕對性，是整個定義域上的整體性概念。最大值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最小值.函數(shù)的極大值與極小值是比擬極值點附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的具有相對性，是局部的概念；極值可以有多個，最大(小)值假設(shè)存在只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點取得；最大小

10、值可能是某個極大小值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值.經(jīng)典例題透析類型一：利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題1設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點1，11.1求a，b的值；2討論函數(shù)的單調(diào)性.思路點撥：先求函數(shù)的表達式，再利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析：1的圖象與直線相切于點1，11. ，即 解之得a=1，b=3.2由1，得. 令，解得x3或x1. 令，解得1x3. 當x，1和x3，+時，是增函數(shù). 當x1，3時，是減函數(shù).總結(jié)升華：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的根本步驟： 確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)；在定義域內(nèi)解不等式，解出相應(yīng)的x的范圍；當時，在相

11、應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當時在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).寫出的單調(diào)區(qū)間.舉一反三：【變式1】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】 令，解得：或， 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.【變式2】當時，求證：函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】， 故函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).【變式3】在以下所給區(qū)間中，使函數(shù)是增函數(shù)的區(qū)間為 .A B C D【答案】B ；解析：，假設(shè)在某區(qū)間是增函數(shù)，只需在此區(qū)間大于等于 0不恒等于0即可.只有當時恒成立. 只有B符合題意，2aR，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.思路點撥：函數(shù)解析式中含字母，需分類討論.解析：.1當a=0時， 假設(shè)x0，那么；假設(shè)x0，那么. 所以，當a=0時， 函數(shù)在區(qū)間，0內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間0

12、，+內(nèi)為增函數(shù).2當a0時， 由2x+ax20，解得或x0；由2x+ax20，解得. 所以，當a0時， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)， 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間0，+內(nèi)為增函數(shù).3當a0時， 由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或. 所以，當a0時， 函數(shù)在區(qū)間，0內(nèi)為減函數(shù)， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).舉一反三：【變式1】設(shè)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.【答案】1當時，那么恒成立， 此時f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，只有一個單調(diào)區(qū)間為，不合題意；2當時， ， 當時，函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間， 增區(qū)間為：； 減區(qū)間為：，.【變式2】f(x)=x2+1, g(x)=

13、x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 試問：是否存在實數(shù)l，使F(x)在(-,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù).【答案】假設(shè)存在實數(shù)l滿足題設(shè). F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l), F(x)=4x3-2(l-2)x, 令4x3-2(l-2)x=0, 1假設(shè)l2，那么x=0. 當x(-,0)時，F(xiàn)(x)0；當x(0,+)時，F(xiàn)(x)0. F(x)在(-,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增，顯然不符合題設(shè). 2假設(shè)l2，那么x=0或， 當時，F(xiàn)(x)0；當時，F(xiàn)(x)0； 當時，F(xiàn)(x)0；當時，F(xiàn)

14、(x)0. F(x)的單調(diào)增區(qū)間是， 單調(diào)減區(qū)間是，. 要使F(x)在(-,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù)， 那么，即l=4. 故存在實數(shù)l=4，使F(x)在(-,-1)上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù).類型二：利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題3求函數(shù)的極值.解析：令，解得，或當x變化時，與的變化情況如下表：3(3，+)+00+ 極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.總結(jié)升華：利用導數(shù)求函數(shù)極值的的根本步驟：確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)；求方程的根；列表，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.

15、舉一反三：【變式1】函數(shù)的定義域為區(qū)間a，b，導函數(shù)在a，b內(nèi)的圖如下圖，那么函數(shù)在a，b內(nèi)的極小值有 A1個 B2個 C3個 D4個【答案】由極小值的定義，只有點B是函數(shù)的極小值點，應(yīng)選A?！咀兪?】求函數(shù)的極值.【答案】 令，解得或 當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)+00+極大值極小值在處取得極大值， 在處取得極小值.4. 函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)以及的極大值和極小值.思路點撥： 先求函數(shù)的表達式，再求極值.解析：依題意，即，令，得x=-1或x=1，當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.總結(jié)升華：利用“在處取得極值，那么

16、必有導數(shù)是此題的破題關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a,b的值.【答案】依題意得方程組解得.當a=-3,b=3時，令得x=1.x(-,1)1(1,+)+0+無極值顯然a=-3, b=3不合題意，舍去.當a=4, b=-11時，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或 x=1.x11，+0-0+極大值極小值f(x)在x=1處有極小值10，合題意，a=4, b=-11.【變式2】函數(shù)，當且僅當時，取得極值，并且極大值比極小值大4.1求常數(shù)的值；2求的極值.【答案】，令得方程在處取得極值 或為上述方程的根， ，即當時，不符合

17、題意 當時，當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值. 由題意得， 整理得，又 聯(lián)立，解得， 由表知道：，當時，當x變化時，與的變化情況如下表： 當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+)-0+0-極小值極大值在處取得極小值，在處取得極大值. 由題意得， 整理得，又 聯(lián)立，解得， 綜上可得： ，或， 當，時， 當，時，【變式3】函數(shù)，其中aR.1當a=1時，求曲線在點處的切線方程；2當a0時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】1當a=1時， 又，. 所以，曲線在點處的切線方程為， 即6x+25y32=0.2. 由于a0，令，得到x1=a，

18、以下分兩種情況討論. 當a0時，當x變化時，的變化情況如下表：x，aa00極大值極小值 所以在區(qū)間，a，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 函數(shù)在處取得極小值且. 函數(shù)在x=a處取得極大值，且. 當a0時，當x變化時，的變化情況如下表：x00極小值極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù). 函數(shù)在處取得極小值且. 函數(shù)在x=a處取得極大值，且.類型三：利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題5求函數(shù)在0，2上的最大值和最小值.解析：，令，化簡為x2+x2=0.解得x=2舍去或x=1.，又因為，所以為函數(shù)在0，2上的最小值，為函數(shù)在0，2上的最大值.總結(jié)升華：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在上必有最大值和最小值

19、，且最值一定在極值點或端點處取得，因此，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間最值的一般步驟可簡化為：1求；2令，解出在上的點，求出其相應(yīng)的函數(shù)值；3求兩個區(qū)間端點所對應(yīng)的函數(shù)值；4比擬這些函數(shù)值的大小，最大的是函數(shù)的最大值，最小的是函數(shù)的最小值.假設(shè)在開區(qū)間內(nèi)可導，且有唯一的極大小值，那么這一極大小值即為最大小值.舉一反三：【變式1】求函數(shù)f(x)=3x-x3在閉區(qū)間的最大值和最小值.【答案】f(x)=3-3x2, 令f(x)=0,那么x=-1或x=1. 又 f(-1)=-2, f(1)=2, , f(x)max=2, f(x)min=-18.【變式2】f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間-1,1上的最大值是

20、(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4【答案】f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0可得x0或22舍去。 又f(-1)=-2；f(1)=0；f(0)=2； 所以當x0時，f(x)取得最大值為2，選C【變式3】設(shè)函數(shù)求的最小值;【答案】函數(shù)fx的定義域為0，1 令 當時，, 在區(qū)間是減函數(shù)； 當時，, 在區(qū)間是增函數(shù). 在時取得最小值且最小值為類型四：導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用6設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx+c(a0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1)處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導函數(shù)的最小值為-12()求a,b,c的值；()求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在

21、-1,3上的最大值和最小值.解析：()f(x)為奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0的最小值為-12，b=-12且又直線x-6y-7=0的斜率為因此，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x3-12x，列表如下：x+0-0+極大極小所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(-1)=10， ， f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是舉一反三：【變式1】，函數(shù)在-1，1上有最大值1，最小值，求常數(shù)a,b的值.【答案】f(x)=3x2-3ax=3x(x-a). 令f(x)=0得x=0或x=a.x-1(-1,0)0(0,a)a

22、(a,1)1+0-0+極大值b極小值 函數(shù)f(x)最大值只可能在x=0或x=1處獲得。 由， ， ， f(0)-f(1)0, 即f(0)=b是f(x)最大值 b=1 函數(shù)f(x)最小值只可能在x=-1或x=a處獲得. ，a-20, a(a+2)+10. f(a)-f(-1)0，即是最小值， ， 綜上，b=1.【變式2】是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。I求的解析式；II是否存在實數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？假設(shè)存在，求出的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由。解析：I是二次函數(shù)，且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是 由，得II方程等價于方程設(shè)那么當時，是減函數(shù)；當時，是

23、增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根。7設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，假設(shè)對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對函數(shù)g(x)求導數(shù)：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， (i)當a1時，對所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對x0，都有g(shù)(x)g(0)，即當a1時，對于所有x0，都有f(x)ax (ii)當a1時，對于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當a1時，對所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立 對函數(shù)g(x)求導數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 當x ea11時