復(fù)合函數(shù)的定義域詳細(xì)講義和練習(xí)詳細(xì)答案解析

1、 .wd. 復(fù)合函數(shù)一， 復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y是u的函數(shù)，即y=f(u),u是x的函數(shù)，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u)，u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=fg(x),其中u稱為中間變量。二， 對(duì)高中復(fù)合函數(shù)的通解法綜合分析法1、 解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫出復(fù)合過程例1：指出以下函數(shù)的復(fù)合過程。1y=2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos1-x2解：() y=2-x2是由y=u,u=2-x2復(fù)合而成的。 2y=sin3x是由y=sinu,u=3x復(fù)合而成的。 3y=

2、sin3x=(sinx)-3y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復(fù)合而成的。4y=3cos1+x2是由y=3cosu,u=r,r=1+x2復(fù)合而成的。2、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之二是正確理解復(fù)合函數(shù)的定義?？聪吕}：例：f(x+3)的定義域?yàn)?、2,求f(2x-5) 的定義域。經(jīng)典誤解：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復(fù)合而成的。F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復(fù)合而成的。由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11f(u1)的定義域?yàn)?、2x2-92x-11-6 即：y=f(u2)的定義域?yàn)?9、-6f(2x

3、-5)的定義域?yàn)?9、-6經(jīng)典誤解：解：f(x+3)的定義域?yàn)?、21x+32-2x-1-42x-2-92x-5-7f(2x-5)的定義域?yàn)?9、-7下轉(zhuǎn)2頁注：通過以上兩例誤解可得，解高中復(fù)合函數(shù)題會(huì)出錯(cuò)主要原因是對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=fg(x),其中u稱為“中間變量。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成x+3的取值范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復(fù)合函數(shù)的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(

4、x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其定義域是x的取值范圍。正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1x2)復(fù)合而成的。 f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復(fù)合而成的x124u154u2542x2-552x25f(2x-5)的定義域?yàn)椤?結(jié)論：解高中復(fù)合函數(shù)題要注意復(fù)合函數(shù)的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關(guān)系的，在解題時(shí)，一定是同層考慮，不可異層考慮，假設(shè)異層考慮那么會(huì)出現(xiàn)經(jīng)典誤解與的情況。三、高中復(fù)合函數(shù)的題型不包括抽象函數(shù)題型一：單對(duì)單，如：f(x)的定義域?yàn)?1,4,求f(x2

5、)的定義域。題型二：多對(duì)多，如：f(x+3)的定義域?yàn)椤?求f2x-5的定義域。下轉(zhuǎn)3頁題型三：單對(duì)多，如：f(x)的定義域?yàn)?、1,求f(2x-1)的定義域。題型四：多對(duì)單，如：f(2x-1)的定義域?yàn)?、1,求f(x)的定義域。注：通解法綜合分析法的關(guān)鍵兩步：第一步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。 第二步：找出復(fù)合函數(shù)定義域所真正指代的字母最為關(guān)鍵下面用綜合分析法解四個(gè)題型題型一：單對(duì)單：例3：f(x)的定義域?yàn)?1、4,求f(x2)的定義域。 第1步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：f(x2)是由y=f(u),u=x22復(fù)合而成的。由于要同層考慮，且u與x的取值范圍一樣，故可這樣變形f(x)是由y=f

6、(u),u=x1復(fù)合而成的。f(x)的定義域?yàn)?1、4 第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域的真正對(duì)應(yīng)-1x14 即-1u4 又u=x22-1x224(x2是所求f(x2)的定義域，此點(diǎn)由定義可找出) -2x22f(x2)的定義域?yàn)?-2,2)結(jié)論：此題中的自變量x1,x2通過u聯(lián)系起來，故可求解。題型三：單對(duì)多：例4：f(x)的定義域?yàn)?,1,求f(2x-1)的定義域。 第1步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：f(x)是由y=f(u),u=x1復(fù)合而成的。 f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1復(fù)合而成. 第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域的真正對(duì)應(yīng)：0x110u102x2-11x21f(2x-1)的定義域?yàn)?/p>

7、，1結(jié)論：由此題的解答過程可以推出：f(x)的定義域可求出y=g(x)的定義域。 下轉(zhuǎn)4頁題型四：多對(duì)單：如：例5：f(2x-1)的定義域?yàn)?、1,求f(x)的定義域。 第1步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復(fù)合而成的。 f(x)是由f(u),u=x2復(fù)合而成的。 第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域?qū)?yīng)的真正值：0x1102x12-12x1-11-1u1-1x21f(x)的定義域?yàn)?1、1結(jié)論：由此題的解答過程可以推出：y=fg(x)的定義域可求出f(x)的定義域。小結(jié)：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關(guān)鍵在于通過u這個(gè)橋梁將x1與x2聯(lián)系起來解

8、題。題型二：多對(duì)多：如例6：f(x+3)的定義域?yàn)?、2,求f(2x-5)的定義域。解析：多對(duì)多的求解是比擬復(fù)雜的，但由解題型三與題型四的結(jié)論： f(x)的定義域可求出y=fg(x)的定義域y=fg(x)的定義域可求出f(x)的定義域可以推出f(x)與y=fg(x)可以互求。假設(shè)y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，y1=f(x+3)的定義域，故這里f(x)成為了聯(lián)系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一個(gè)橋梁，其作用與以上解題中u所充當(dāng)?shù)淖饔靡粯?。所以，在多?duì)多的題型中，可先利用開場給出的復(fù)合函數(shù)的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復(fù)合函數(shù)的定義域，具體步驟

9、如下：第一步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復(fù)合而成的。 f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復(fù)合而成的。第二步：求橋梁f(x)的定義域：1x24x+354u5 設(shè)：函數(shù)y3=(u),u=x 下轉(zhuǎn)4頁y3=f(x)的定義域?yàn)?、5第三步：通過橋梁f(x)進(jìn)而求出y2=f(2x-5):f(x) 是由y3=f(u),u=x復(fù)合而成的4x54u542x-55x25f(2x-5)的定義域?yàn)椋?小結(jié)：實(shí)際上，此題也可以u(píng)為橋梁求出f(2x-5), 詳參照例2的解法。四、將以上解答過程有機(jī)轉(zhuǎn)化為高中的標(biāo)準(zhǔn)解答模式。如：例7：函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?、1，求函數(shù)y

10、=f(x2+1)的定義域。 解：函數(shù)f(x2+1)中的x2+1相當(dāng)于f(x)中的x(即u=x2+1,與u=x)0x2+11-1x20x=0定義域?yàn)?小結(jié)：此題解答的實(shí)質(zhì)是以u(píng)為橋梁求解。例8：y=f(2x-1)的定義域?yàn)?、1,求函數(shù)y=f(x)的定義域。解：由題意：0x1即略去第二步，先找出定義域的真正對(duì)象。-12x-11(即求出u,以u(píng)為橋梁求出f(x) 視2x-1為一個(gè)整體即u與u的交換那么2x-1相關(guān)于f(x)中的x(即u與u的交換，f(x)由y=f(u),u=x復(fù)合而成，-1u1, -1x1) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1、1總結(jié)：綜合分析法分了個(gè)步驟 寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。 找出復(fù)

11、合函數(shù)定義域所指的代數(shù)。 找出解題中的橋梁u或f(x)可為橋梁淺析復(fù)合函數(shù)的定義域問題一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當(dāng)取遍中的元素時(shí)，取遍，那么就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。 說明：復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)中的取值范圍。稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。與表示不同的復(fù)合函數(shù)。例1設(shè)函數(shù)，求假設(shè)的定義域?yàn)椋敲磸?fù)合函數(shù)中，注意：的值域例2：假設(shè)函數(shù)的定義域是0，1，求的定義域；假設(shè)的定義域是-1，1，求函數(shù)的定義域；定義域是，求定義域要點(diǎn)1：解決復(fù)合函數(shù)問題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的解答

12、：函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是0，1，B=0,1，即函數(shù)的值域?yàn)?，1，即，函數(shù)的定義域0，函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定義域是-3，1要點(diǎn)2：假設(shè)的定義域?yàn)?，那么的定義域就是不等式的的集合；假設(shè)的定義域?yàn)?，那么的定義域就是函數(shù)的值域。函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，而,從而的值域的定義域是1，例3：函數(shù)定義域是a,b，求的定義域解：由題，當(dāng)

13、，即時(shí)，不表示函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，表示函數(shù)，其定義域?yàn)檎f明： 的定義域?yàn)?a,b)，求的定義域的方法：的定義域?yàn)?，求的定義域。實(shí)際上是中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。的定義域?yàn)?a,b)，求的定義域的方法：假設(shè)的定義域?yàn)?，求的定義域。實(shí)際上是復(fù)合函數(shù)直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，那么的范圍即是的定義域,即使函數(shù)的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應(yīng)以的值域做為所求的定義域，因?yàn)橐_保所求外含數(shù)與條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù)，否那么所求外含數(shù)將失去解決問題的有效性。換元法其實(shí)質(zhì)就是求復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)，如果外函數(shù)的定義域不等于內(nèi)函數(shù)的值域，那么就確定

14、不了的最值或值域。例4：函數(shù),求的值域。分析：令，； 那么有，復(fù)合函數(shù)是由與復(fù)合而成，而，的值域即的值域，但的本身定義域?yàn)?其值域那么不等于復(fù)合函數(shù)的值域了。例5：函數(shù)，求函數(shù)的解析式，定義域及奇偶性。 分析：因?yàn)槎x域?yàn)榛?令，；那么，且 所以 ，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù)。1在等比數(shù)列中，那么n為 A2B3C4D52設(shè)是公差為2的等差數(shù)列，假設(shè)，那么 等于 A82B82C132D1323數(shù)列中以后各項(xiàng)由公式給出，那么 ABCD4成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，那么等于 ABC8D85在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)成等比數(shù)列，后三個(gè)成等差數(shù)列，那么這兩個(gè)數(shù)的和是 ABCD96等差數(shù)列

15、的前項(xiàng)和為，假設(shè)，那么= A190B95C170D857是等比數(shù)列，對(duì)恒成立，且，那么等于 A36BC6D68等差數(shù)列中，公差；是數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么 ABCD9一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，那么這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 A2B4C8D1610數(shù)列滿足：，定義使叫做希望數(shù)，那么區(qū)間1，2010內(nèi)所有希望數(shù)的和 A2026B2036C2046D204811數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，那么數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于 A65B75C85D9512等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，,那么 A38 B20 C10 D9 . 二、填空題：本大題共4小題，每題4分，

16、共16分把答案填在橫線上13數(shù)列前4項(xiàng)為4,6,8,10，那么其一個(gè)通項(xiàng)公式為_.141, a1, a2, 4成等差數(shù)列，1, b1, b2, b3, 4成等比數(shù)列，那么_15數(shù)列的前n項(xiàng)的和滿足,那么=16甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的細(xì)胞內(nèi)的，假設(shè)該細(xì)胞開場時(shí)2個(gè)，記為，它們按以下規(guī)律進(jìn)展分裂，1 小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1 個(gè)，,記n小時(shí)后細(xì)胞的個(gè)數(shù)為，那么=_(用n表示) 三、解答題：本大題共6小題，共74分解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17本小題總分值12分?jǐn)?shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且， 1求的通項(xiàng)； 2求前n項(xiàng)和的最

17、小值18本小題總分值12分是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；假設(shè)數(shù)列滿足，. 1求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2求證：.參考答案一、選擇題1C；解析：等比數(shù)列中，；2B；解析：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，；3A；解析：因?yàn)?，所以，?D；解析：9，a1，a2，1成等差數(shù)列，所以；成等比數(shù)列，所以；5A；解析：設(shè)中間兩數(shù)為，那么；解得，所以；6B；解析：；7D；解析：；，；8D；解析：，且，；9C；解析：設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n，那么有，q2；又，2n8，故這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為8；10A；解析：，由為整數(shù)得為整數(shù)，設(shè)為，那么，；因?yàn)?，區(qū)內(nèi)所有希望數(shù)為，其和；11C；解析：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得數(shù)列 也

18、是等差數(shù)列，且前10項(xiàng)和為；12C；解析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，由，得：20，所以2，又，即38，即2m1238，解得m10二、填空題13；解析：該數(shù)列的前項(xiàng)分別可寫成：，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；14；解析：1, a1, a2, 4成等差數(shù)列，；1, b1, b2, b3, 4成等比數(shù)列，又，；15；解析：由得，；=；16；解析：按規(guī)律，；，即是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公比為2，故，=此題也可由，猜測(cè)出=三、解答題17解：1設(shè)的公差為，由條件，解出，所以 6分 2所以時(shí)，取到最小值12分18解：1由得.從而，即.2分. 6分2因?yàn)椋? 12分19解：1由得，當(dāng)時(shí)，；，即，當(dāng)時(shí)，；數(shù)列為等比數(shù)列，且

19、公比； 4分又當(dāng)時(shí)，即，；. 6分 2，； 9分的前項(xiàng)和. 12分1.等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且=2，=1，那么= A. B. C. D.2 【解析】設(shè)公比為,由得,即,又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B3.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.假設(shè)是的等比中項(xiàng), ,那么等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90【解析】由得得,再由得 那么,所以,.應(yīng)選C4.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么等于( )A13 B35 C49 D 63 【解析】應(yīng)選C.或由, 所以應(yīng)選C.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 那么公差d等于A1 B C.- 2 D 3解析且.應(yīng)選C6.為等差數(shù)列，且21

20、,0,那么公差dA.2 B. C. D.2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d7.等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，那么數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【解析】設(shè)公差為，那么.0，解得2，100然而只就解析式而言，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，且，所以是奇函數(shù)。就此題而言就是外函數(shù)其定義域決定于內(nèi)函數(shù)，的值域，而不是外函數(shù)其解析式本身決定的定義域了。2求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，例6求；，求例7 ，求；，求要點(diǎn)3：求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出即用表示，再把關(guān)于的式子直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數(shù)的原那么。例8是一次函數(shù)，滿足，求；，求要點(diǎn)4：當(dāng)函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。假設(shè)抽象的函數(shù)表達(dá)式，那么常用解方程組、消參的思想方法 求函數(shù)的解析式。滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。二、練習(xí)：，求和解：令，設(shè)，令，設(shè)，求分析：是用替換中的而得到的，問題是用中的替換呢