定積分習(xí)題和答案及解析

1、 .wd.第五章定積分(A層次)1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9；10； 11； 12；13； 14； 15；16； 17； 18；19； 20； 21；22； 23； 24；25。(B層次)1求由所決定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)。2當(dāng)為何值時，函數(shù)有極值？3。4設(shè)，求。5。6設(shè)，求。7設(shè)，求。8。9求。10設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。11假設(shè)，求。12證明：。13，求常數(shù)。14設(shè)，求。15設(shè)有一個原函數(shù)為，求。16設(shè)，在上，求出常數(shù)，使最小。17，求。18設(shè)，求。19。20設(shè)時，的導(dǎo)數(shù)與是等價無窮小，試求。(C層次)1設(shè)是任意的二次多項(xiàng)式，是某個二次多項(xiàng)式，求。2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的二階

2、導(dǎo)數(shù)，那么在內(nèi)存在，使得。3在上二次可微，且，。試證。4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上存在且可積，試證()。5設(shè)在上連續(xù)，求證存在一點(diǎn)，使。6設(shè)可微，求。7設(shè)在上連續(xù)可微，假設(shè)，那么。8設(shè)在上連續(xù)，求證。9設(shè)為奇函數(shù)，在內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加，證明：(1)為奇函數(shù)；(2)在上單調(diào)減少。10設(shè)可微且積分的結(jié)果與無關(guān)，試求。11假設(shè)在連續(xù)，證明：。12求曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程。13設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)有，求證。14設(shè)方程，求。15設(shè)在上連續(xù)，求證：()16當(dāng)時，連續(xù)，且滿足，求。17設(shè)在連續(xù)且遞減，證明，其中。18設(shè)連續(xù)，試證：。19設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試證在內(nèi)方程至少有一個根。20設(shè)在連續(xù)，且，又，證

3、明：(1)(2)在內(nèi)有且僅有一個根。21設(shè)在上連續(xù)，那么。22設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：。23設(shè)在上正值，連續(xù)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。24證明。25設(shè)在上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，那么。26設(shè)在上可導(dǎo)，且，那么。27設(shè)處處二階可導(dǎo)，且，又為任一連續(xù)函數(shù)，那么，。28設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，那么。29設(shè)在上連續(xù)，且，證明在上必有。30在上連續(xù)，且對任何區(qū)間有不等式(，為正常數(shù))，試證在上。第五章定積分(A)1解：原式2解：令，那么 當(dāng)時，當(dāng)時 原式3解：令，那么 當(dāng)，時分別為， 原式4解：令，那么， 當(dāng)，1時， 原式5解：令， 當(dāng)時，；當(dāng)時， 原式6解：令，那么， 當(dāng)時 原式7解：原式8解：原式9

4、解：原式10解：為奇函數(shù)11解：原式12解：為奇函數(shù)13解：原式14解：原式15解：原式16解：原式故17解：原式18解：原式 故19解：原式20解：原式21解：令，那么原式22解：原式23解：原式24解：原式 故25解：令，那么原式故(B)1求由所決定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)。解：將兩邊對求導(dǎo)得2當(dāng)為何值時，函數(shù)有極值？解：，令得 當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)有極小值。3。解：原式4設(shè)，求。解：5。解：6設(shè)，求。解：當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 故。7設(shè)，求。解：8。解：原式9求。解：原式10設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。解：令，那么，從而即，11假設(shè)，求。解：令，那么， 當(dāng)時， 當(dāng)時，從而12證明：。證：考慮上的函

5、數(shù)，那么，令得 當(dāng)時， 當(dāng)時，在處取最大值，且在處取最小值 故 即。13，求常數(shù)。解：左端 右端 解之或。14設(shè)，求。解：令，那么15設(shè)有一個原函數(shù)為，求。解：令，且16設(shè)，在上，求出常數(shù)，使最小。解：當(dāng)最小，即最小，由知，在的上方，其間所夾面積最小，那么是的切線，而，設(shè)切點(diǎn)為，那么切線，故，。于是令得從而，又，此時最小。17，求。解：18設(shè)，求。解：設(shè)，那么解得：，于是19。解：原式20設(shè)時，的導(dǎo)數(shù)與是等價無窮小，試求。解： 故(C)1設(shè)是任意的二次多項(xiàng)式，是某個二次多項(xiàng)式，求。解：設(shè)，那么 令 于是， 由得2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，那么在內(nèi)存在，使得。證：由泰勒公式 其中，位于

6、與之間。 兩邊積分得： 令，那么，。3在上二次可微，且，。試證。證明：當(dāng)時，由，知是嚴(yán)格增及嚴(yán)格凹的，從而及故4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上存在且可積，試證()。證明：因?yàn)樵谏峡煞e，故有 而， 于是5設(shè)在上連續(xù)，求證存在一點(diǎn)，使。證：假設(shè)， 由，得 故 從而因?yàn)樵谶B續(xù)，那么或。從而或，這與矛盾。故。6設(shè)可微，求。解：令，那么，顯然 于是。7設(shè)在上連續(xù)可微，假設(shè)，那么。證：因在上連續(xù)可微，那么在和上均滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，設(shè)，那么有故。8設(shè)在上連續(xù)，求證。證： 令，那么 于是 故9設(shè)為奇函數(shù)，在內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加，證明：(1)為奇函數(shù)；(2)在上單調(diào)減少。證：(1) 為奇函數(shù)。(2) 由于是奇函數(shù)且單調(diào)增

7、加，當(dāng)時，故，即在上單調(diào)減少。10設(shè)可微且積分的結(jié)果與無關(guān)，試求。解：記，那么 由可微，于是 解之為任意常數(shù)11假設(shè)在連續(xù)，證明：。解：因 所以。12求曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程。解：，那么，故切線方程為：， 即。13設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)有，求證。證：兩邊對求導(dǎo) 即 令，即得。14設(shè)方程，求。解：方程兩邊對求導(dǎo)，得 從而15設(shè)在上連續(xù)，求證：()證：設(shè)為的原函數(shù)，那么 左邊右邊。16當(dāng)時，連續(xù)，且滿足，求。解：等式兩邊對求導(dǎo)，得 令得 將代入得： 故。17設(shè)在連續(xù)且遞減，證明，其中。證： 那么， 由于遞減， 故 即。18設(shè)連續(xù)，試證：。證： 在第一個積分中，令，那么 而 故19設(shè)是上的

8、連續(xù)函數(shù)，試證在內(nèi)方程至少有一個根。證：由積分中值定理，存在使 即 故是方程的一個根。20設(shè)在連續(xù)，且，又，證明：(1)(2)在內(nèi)有且僅有一個根。證：(1)(2)， 又在連續(xù)，由介值定理知在內(nèi)至少有一根。 又，那么單增，從而在內(nèi)至多有一根。 故在內(nèi)有且僅有一個根。21設(shè)在上連續(xù)，那么。證： 令，那么 故22設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：。證： 令，那么(以為周期) 故23設(shè)在上正值，連續(xù)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證：令 由于時，故 故由零點(diǎn)定理知，存在一點(diǎn)，使得 即 又 故。24證明。證：設(shè)，那么令，那么 故25設(shè)在上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，那么。證：令 那么，在嚴(yán)格單增那么，從而即故26設(shè)在上可導(dǎo)，且，那么。證：由假設(shè)對，可知在上滿足微分中值定理，那么有， 又因， 故于是。27設(shè)處處二階可導(dǎo)，且，又為任一連續(xù)函數(shù)，那么，。證：由泰勒公式，有 其中在與之間 又因，故 即 令， 那么 即。28設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，那么。證：