二次函數(shù)壓軸題——角的存在性

1、一解答題（共5小題） 例1（2013河南）如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PEx軸于點E，交CD于點F（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由（3）若存在點P，使PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標 例2（2012惠山區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx3a經(jīng)過A（1，0）、C（0，3）兩點，與x軸交于另一點B（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D（m，m1）在第四象限的拋物線上，求點D關

2、于直線BC對稱的點D'的坐標（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使PCB=CBD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由 例3（2014湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CAx軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若點A的坐標是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由 練習1（20

3、13十堰）已知拋物線y=x22x+c與x軸交于AB兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（1，0）（1）求D點的坐標；（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點P（4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當PMA=E時，求點Q的坐標 2（2012合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點B（3，0），與y軸交于點C（0，3）（1）求直線BC及二次函數(shù)的解析式；（2）設拋物線的頂點為D，與x軸的另一個交點為A點P在拋物線的對稱軸上，且APD=ACB，求點P的坐標；（3）連接CD，求OCA與OCD兩角和的度

4、數(shù)2015年05月13日1873957725的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一解答題（共5小題）1（2013河南）如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PEx軸于點E，交CD于點F（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由（3）若存在點P，使PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：壓軸題分析：（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問采

5、用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想求解將直線y=x+2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點，即為所求之交點由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問符合條件的點P有2個，如答圖2所示，注意不要漏解在求點P坐標的時候，需要充分挖掘已知條件，構造直角三角形或相似三角形，解方程求出點P的坐標解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+2中，令x=0，得y=2，C（0，2）點C（0，2）、D（3，）在拋物線y=x2+bx+c上，解得b=，c=2，拋物線的解析式為：y=x2+x+2（2）PFOC，且以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形，PF=OC

6、=2，將直線y=x+2沿y軸向上、下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點，即為所求之交點由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個將直線y=x+2沿y軸向上平移2個單位，得到直線y=x+4，聯(lián)立，解得x1=1，x2=2，m1=1，m2=2；將直線y=x+2沿y軸向下平移2個單位，得到直線y=x，聯(lián)立，解得x3=，x4=（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），m3=當m為值為1，2或時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形（3）存在理由：設點P的橫坐標為m，則P（m，m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2）如答圖2所示，過點C作CMPE于點M，則CM=m，EM=2，F(xiàn)M=yFEM=m，tanC

7、FM=2在RtCFM中，由勾股定理得：CF=m過點P作PNCD于點N，則PN=FNtanPFN=FNtanCFM=2FNPCF=45°，PN=CN，而PN=2FN，F(xiàn)N=CF=m，PN=2FN=m，在RtPFN中，由勾股定理得：PF=mPF=yPyF=（m2+m+2）（m+2）=m2+3m，m2+3m=m，整理得：m2m=0，解得m=0（舍去）或m=，P（，）；同理求得，另一點為P（，）符合條件的點P的坐標為（，）或（，）點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識點第（2）

8、問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問中，符合條件的點P有兩個，注意不要漏解2（2012惠山區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx3a經(jīng)過A（1，0）、C（0，3）兩點，與x軸交于另一點B（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D（m，m1）在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使PCB=CBD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有分析：（1）將A（1，0）、C（0，3）兩點坐標代入拋物線y=ax2+bx3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點D

9、（m，m1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對稱性求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標；（3）當PCB=CBD時，可知CPBD，根據(jù)三角形的全等關系確定P點坐標解答：解：（1）將A（1，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx3a中，得，解得，y=x22x3；（2）將點D（m，m1）代入y=x22x3中，得m22m3=m1，解得m=2或1，點D（m，m1）在第四象限，D（2，3），直線BC解析式為y=x3，BCD=BCO=45°，CD=CD=2，OD=32=1，點D關于直線BC對稱的點D'（0，1）；（3）存在過D點作DEx軸，垂足為E，交直線BC于F

10、點（如圖），PCB=CBD，CPBD，又CDx軸，四邊形PCDB為平行四邊形，OCPEDB，OP=BE=1，設CP與BD相交于M點（m，3m9），易求BD解析式為：y=3x9，由BM=CM，得到關于m的方程，解方程后，得m=；于是，M點坐標為：M（，）；于是CM解析式為：y=x3，令CM方程中，y=0，則x=9，所以，P點坐標為：P（9，0），P（1，0），或（9，0）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用關鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，直線BC的特殊性求點的坐標3（2014湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點為D，與y

11、軸的交點為C，過點C作CAx軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若點A的坐標是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）將拋物線上的點的坐標代入拋物線即可求出b、c的值；求證AD=BO和ADBO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90°可以求得ABOOBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標為

12、±c，縱坐標為c解答：解：（1）ACx軸，A點坐標為（4，4）點C的坐標是（0，4）把A、C兩點的坐標代入y=x2+bx+c得，解得；四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由得拋物線的解析式為y=x24x+4，頂點D的坐標為（2，8），過D點作DEAB于點E，則DE=OC=4，AE=2，AC=4，BC=AC=2，AE=BCACx軸，AED=BCO=90°，AEDBCO，AD=BODAE=OBC，ADBO，四邊形AOBD是平行四邊形（2）存在，點A的坐標可以是（2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需AOB=BCO=90°，ABO=OBC，ABOOBC，=

13、，又AB=AC+BC=3BC，OB=BC，在RtOBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，C點是拋物線與y軸交點，OC=c，A點坐標為（c，c），頂點橫坐標=c，b=c，將A點代入可得c=（c）2+cc+c，橫坐標為±c，縱坐標為c即可，令c=2，A點坐標可以為（2，2）或者（2，2）點評：本題主要考查了二次函數(shù)對稱軸頂點坐標的公式，以及函數(shù)與坐標軸交點坐標的求解方法4（2013十堰）已知拋物線y=x22x+c與x軸交于AB兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（1，0）（1）求D點的坐標；（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求E的度數(shù)；（3）如圖2

14、，已知點P（4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當PMA=E時，求點Q的坐標考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：壓軸題分析：（1）將點A的坐標代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點D的坐標；（2）連接CD、CB，過點D作DFy軸于點F，首先求得點C的坐標，然后證得DCBAOC得到CBD=OCA，根據(jù)ACB=CBD+E=OCA+OCB，得到E=OCB=45°；（3）設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DGx軸于G點，得到DGBPON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長，從而求得點N的坐標，進而求得直線PQ的解析式，設Q（m，n），根據(jù)點Q在

15、y=x22x3上，得到m2=m22m3，求得m、n的值后即可求得點Q的坐標解答：解：（1）把x=1，y=0代入y=x22x+c得：1+2+c=0c=3y=x22x3=y=（x1）24頂點坐標為（1，4）；（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DFy軸于點F，由x22x3=0得x=1或x=3B（3，0）當x=0時，y=x22x3=3C（0，3）OB=OC=3BOC=90°，OCB=45°，BC=3又DF=CF=1，CFD=90°，F(xiàn)CD=45°，CD=，BCD=180°OCBFCD=90°BCD=COA又DCBAOC，CBD=OCA又A

16、CB=CBD+E=OCA+OCBE=OCB=45°，（3）如圖2，設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DGx軸于G點PMA=45°，EMH=45°，MHE=90°，PHB=90°，DBG+OPN=90°又ONP+OPN=90°，DBG=ONPDGB=PON=90°，DGBPON=，即：=ON=2，N（0，2）設直線PQ的解析式為y=kx+b則解得：y=x2設Q（m，n）且n0，n=m2又Q（m，n）在y=x22x3上，n=m22m3m2=m22m3解得：m=2或m=n=3或n=點Q的坐標為（2，3）或（，）點評

17、：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，難度較大，題目中滲透了許多的知識點，特別是二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合，更是一個難點，同時也是中考中的?？碱}型之一5（2012合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點B（3，0），與y軸交于點C（0，3）（1）求直線BC及二次函數(shù)的解析式；（2）設拋物線的頂點為D，與x軸的另一個交點為A點P在拋物線的對稱軸上，且APD=ACB，求點P的坐標；（3）連接CD，求OCA與OCD兩角和的度數(shù)考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；把點B、C的坐標代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

18、解答；（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點D的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點A的坐標，連接AD，然后求出ADP=ABC=45°，然后證明ADP和ABC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PD的長度，從而得解；（3）連接BD，利用勾股定理求出BD、BC的長度，再求出CBD=90°，然后根據(jù)BCD與ACO的正切值相等可得BCD=ACO，從而得到OCA與OCD的和等于BCO，是45°解答：解：（1）設直線BC的解析式為y=kx+m，點B（3，0），點C（0，3），解得，所以，直線BC的解析式為y=x3，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點B（3，0），點C（0，3），解得，二次函數(shù)的解析式為y=x24x3；（2）y=x24x3=（x+2）2+1，拋物線的頂點D（2，1），對稱軸為x=2，A、B關于對稱軸對稱，點B（3，0），點A的坐標為（1，0），AB=1（3）=1+3=2，BC=3，連接AD，則AD=，tanADP=1，ADP=45°，又B（3，0），C（0，3），OBC是等腰直角三角形，ABC=45°，ADP=ABC=45°，又APD=ACB，ADPABC，=，即=，解得DP=3，點P到x軸的距離為31=2，點P的坐標為（2，2）；（3）連接BD，B（3，0），D（2，1），tan