二次函數(shù)中平行四邊形通用解決方法

1、 探究 （1）在圖1中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F(xiàn)。若A（-1，0），B（3，0），則E點坐標為_； 若C（-2，2），D（-2，-1），則F點坐標為_；（2）在圖2中，已知線段AB的端點坐標為A（a，b），B（c，d），求出圖中AB中點D的坐標（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示），并給出求解過程；歸納 無論線段AB處于直角坐標系中的哪個位置，當其端點坐標為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y） 時，x=_，y=_；（不必證明） 運用 在圖2中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)的圖象交點為A，B。求出交點A，B的坐標；

2、60;若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請利用上面的結(jié)論求出頂點P的坐標。以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強，對學生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點坐標公式來解決這一類題1 兩個結(jié)論，解題的切入點數(shù)學課標，現(xiàn)行初中數(shù)學教材中沒有線段的中點坐標公式，也沒有平行四邊形的頂點坐標公式，我們可幫助學生來探究，這可作為解題的切入點。1.1

3、線段中點坐標公式平面直角坐標系中，點A坐標為(x1,y1)，點B坐標為(x2,y2)，則線段AB的中點坐標為(,).圖1證明 ： 如圖1，設AB中點P的坐標為(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以線段AB的中點坐標為(,).1.2 平行四邊形頂點坐標公式圖2ABCD的頂點坐標分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.證明： 如圖2，連接AC、BD，相交于點E點E為AC的中點，E點坐標為(,).又點E為BD的中點，圖3E點坐標為(,).xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+y

4、D. 即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標、縱坐標之和分別相等2 一個基本事實，解題的預備知識如圖3，已知不在同一直線上的三點A、B、C，在平面內(nèi)另找一個點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB為對角線的ACBD1，以AC為對角線的ABCD2，以BC為對角線的ABD3C3 兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1 三個定點、一個動點，探究平行四邊形的存在性問題例1 已知拋物線y=x2-2x+a(a0）與y軸相交于點A，頂點為M.直線y=x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，并且與直線AM相交于點N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標，則M( ), N(

5、)；(2)如圖4，將NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N恰好落在拋物線上，AN與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；(3)在拋物線y=x2-2x+a(a0）上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由.解：(1)M(1,a-1)，N(,-)；(2)a=-；S四邊形ADCN=；(3)由已知條件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).設P(m,m2-2m+a).當以AC為對角線時，由平行四邊形頂點坐標公式（解題時熟練推導出），得：圖4,.P1(,-)；當以AN為對角線時，得:,(不合題意，舍去).當以CN為對

6、角線時，得:,.P2(-,).在拋物線上存在點P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形.反思：已知三個定點的坐標，可設出拋物線上第四個頂點的坐標，運用平行四邊形頂點坐標公式列方程（組）求解.這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論.3.2 兩個定點、兩個動點，探究平行四邊形存在性問題圖5例2 如圖5，在平面直角坐標系中，拋物線A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三點.（1）求該拋物線的表達式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

7、條件點P的坐標.解 ：（1）易求拋物線的表達式為y=；(2)由題意知點Q在y軸上，設點Q坐標為(0,t)；點P在拋物線上，設點P坐標為(m,).盡管點Q在y軸上，也是個動點，但可理解成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了當以AQ為對角線時，由四個頂點的橫坐標公式得：-1+0=3+m，m=-4，P1(-4,7)；當以BQ為對角線時，得：-1+m=3+0，m=4，P2(4,)；當以AB為對角線時，得：-1+3=m+0，m=2，P3(2,-1).綜上，滿足條件的點P為P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).反思：這種題型往往特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線

8、上設出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0，則用平行四邊形頂點縱坐標公式；若在y軸上，橫坐標為0，則用平行四邊形頂點橫坐標公式該動點哪個坐標已知就用與該坐標有關的公式本例中點Q的縱坐標t沒有用上，可以不設另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論. 例3 如圖6，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；（3）若點P是拋物線上

9、的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2+x-4；（2）s=-m2-4m(-4<m<0)；s最大=4（過程略）；（3）盡管是直接寫出點Q的坐標，這里也寫出過程由題意知O(0,0)、B(0,-4).由于點Q是直線y=-x上的動點，設Q(s,-s)，把Q看做定點；設P(m,m2+m-4).當以OQ為對角線時，圖6s=-2.Q1(-2+,2-)，Q2(-2-,2+)；當以BQ為對角線時，s1=-4，s2=0(舍).Q3(-4,4)；當以OB為對角線時，s1=4，s2=

10、0(舍).Q4(4,-4).綜上，滿足條件的點Q為Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：該題中的點Q是直線y=-x上的動點，設動點Q的坐標為(s,-s)，把Q看做定點，就可根據(jù)平行四邊形頂點坐標公式列方程組了.4 問題總結(jié) 這種題型，關鍵是合理有序分類：無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉(zhuǎn)化為方程（組）這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣其本

11、質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想.如圖，在平面直角坐標系中，已知RtAOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x27x+12=0的兩根(OA<0B)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒(1)求A、B兩點的坐標。(2)求當t為何值時，APQ與AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(3)當t=2時，在坐標平面內(nèi)，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出M點的坐標；若

12、不存在，請說明理由如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（5，0），C（0，）三點（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，拋物線C1：y=x2+bx+c過A、B兩點，與x軸另一交點為C（1）求拋物線解析式及C點坐標（2）向右平移拋物線C1，使平移后的拋物線C2恰好經(jīng)過ABC的外心，拋物線C1、C2相交于點D，求四邊形AOCD的面積（3）已知拋物線C2的頂點為M，設P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為拋物線C1上一點，是否存在以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出P點坐標；不存在，請說明理由如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x3與x軸交于