中考數(shù)學專題復習 圓壓軸八大模型題(1)-弧中點的運用

1、圓壓軸題八大模型題（一）瀘州市七中佳德學校 易建洪引言：與圓有關(guān)的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結(jié)論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型1 弧中點的運用在O中，點C是的中點，CEAB于點E.（1）在圖1中，你會發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論嗎？APCPFP；CHAD；AC2AP·ADCF·CBAE·AB.（圖1）（2）在圖2中，你能找出所有與ABC相似的三角形嗎？【分析】(

2、1)由等弧所對的圓周角相等及同角或等角的余角相等得：CADBACE;PCFPFC,所以APCPFP.（圖2）(1)由垂徑定理和弧中點的性質(zhì)得，,再由弧疊加得：,所以CHAD.(1)由共邊角相似易證：ACEABC,ACPADC,ACFBCA,進而得AC2AE×AB;AC2AP×AD;AC2CF×CB;(2)垂徑定理的推論得：C0AD,易證：RtABCRtACERtCBERtACFRtBDF RtACGRtCGF.此外還有RtAPERtAOGRtABDRtCPG.運用這些相似三角形可以解決相關(guān)的計算與證明題.建議：將下列所有例題與習題轉(zhuǎn)化到圖1或圖2上觀察、比較、思考

3、和總結(jié)?！镜淅浚?018·湖南永州）如圖，線段AB為O的直徑，點C，E在O上，CDAB，垂足為點D，連接BE，弦BE與線段CD相交于點F（1）求證：CFBF；（2）若cosABE，在AB的延長線上取一點M，使BM4，O的半徑為6求證：直線CM是O的切線（圖1-1）【分析】（1）延長CD與圓相交，由垂徑定理得到，再由得到，等弧所對的角相等，等角對等邊。（2）由垂徑定理的推論得OCBE，再由銳角三角函數(shù)得到邊BH、OH的長度，由對應(yīng)邊成比例得BECM，由MCOBHO90°證得結(jié)論。證明：（1）延長CD交O于G，如圖，CDAB，CBEGCB，CFBF；（圖4）（2）連接OC交B

4、E于H，如圖，OCBE，在RtOBH中，cosOBH，BH×6，OH，而HOBCOM，OHBOCM，OCMOHB90°，OCCM，直線CM是O的切線【點拔】弧中點得到弧等、弦等、圓周角等，進一步引出角平分線、垂徑定理、相似三角形。再結(jié)合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位線定理，垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)定理?？梢越M合出綜合性比較強的有關(guān)的習題組。抓邊等角等是關(guān)鍵，要善于分解圖形?！咀兪竭\用】（圖1-2）1.（2018·四川宜賓）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點，DEAB于點E且DE交AC于點F，DB交AC于點G，若，則（）2.（2010

5、83;瀘州）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點，且AE與DE分別平分BAD和ADC。(1)求證：AEDE；(2)設(shè)以AD為直徑的半圓交AB于F，連接DF交AE于G，已知CD5，AE8，求值。（1） 證明：在YABCD中，ABCD，BADADC180°AE與DE平分BAD和ADC（圖1-3）EADBAD，EDAADC，AED180°（EADEDA） 180°（BADADC） 180°（BADADC）180°90°90°AEDE（2）解：在YABCD中，ADBCEADAEB，且BAEDAEBAEAEB，ABBE，同

6、理：DCEC5又ABDC，ABBE DCEC5，BCAD10在RtAED中，由勾股定理可得：DEBAEEAD，AFDAED90°AFGAED，3. （2012·瀘州）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，C是的中點，弦CEAB于點H，連結(jié)AD，分別交CE、BC于點P、Q，連結(jié)BD。(1)求證：P是線段AQ的中點；(2)若O的半徑為5，AQ，求弦CE的長。（1）證明：AB是O的直徑，弦CEAB，又C是的中點，ACPCAPPAPC，（圖1-4）AB是直徑ACB90°PCQ90°ACP，CQP90°CAP，PCQCQPPCPQPAPQ，即P是AQ的中

7、點；（2）解：，CAQABC又ACQBCA，CAQCBA又AB10，AC6，BC8根據(jù)直角三角形的面積公式，得：ACBCABCH，6×810CHCH又CHHE，CE2CH4（2014瀘州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2CECA（1）求證：BCCD；（2）分別延長AB，DC交于點P，過點A作AFCD交CD的延長線于點F，若PBOB，CD，求DF的長（1）證明：DC2CECA，（圖1-5），CDECAD，CDBDAC，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BCCD；（2）解：方法一：如圖，連接OC，BCCD，DACCAB，又AOCO，CABACO，DACA

8、CO，ADOC，圖aPBOB，CD2， PC4又PCPDPBPA4（42）OB3OBOB4，即AB2OB8，PA3OB12，在RtACB中，AC，AB是直徑，ADBACB90° FDABDC90°， CBACAB90°BDCCAB，F(xiàn)DACBA，又AFDACB90°，AFDACB在RtAFP中，設(shè)FDx，則AF，在RtAPF中有，求得DF方法二；連接OC，過點O作OG垂直于CD，圖b易證PCOPDA，可得，PGOPFA，可得，可得，由方法一中PC4代入，即可得出DF5（2015瀘州）如圖，ABC內(nèi)接于O，ABAC，BD為O的弦，且ABCD，過點A作O的切

9、線AE與DC的延長線交于點E，AD與BC交于點F（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）若AE6，CD5，求OF的長【解答】（1）證明：AE與O相切于點A，EACABC，ABACABCACB，EACACB，（圖1-6）AEBC，ABCD，四邊形ABCE是平行四邊形；（2）解：如圖，連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD與點N，M，AE是O的切線，由切割線定理得，AE2ECDE，AE6，CD5，62CE（CE5），解得：CE4，（已舍去負數(shù)），由圓的對稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且ABACBDCE4，又根據(jù)對稱性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，設(shè)

10、OFx，OHy，F(xiàn)Hz，AB4，BC6，CD5，BFBCFH3z，DFCFBCFH3z，易得OFHDFMBFN，圖c即， ，得：，÷得：，解得，x2y2z2， ，x， OF6.如圖，AB是O的直徑，C、P是弧AB上的兩點，AB13，AC5.(1) 如圖，若P是弧AB的中點，求PA的長；(2) 如圖，若P是弧BC的中點，求PA的長.解：（1）如答圖，連接PB，AB是O的直徑且P是的中點，PABPBA45°，APB90°圖圖又在等腰三角形ABC中有AB13，（圖1-7）  圖d（2）如答圖，連接BC，與OP相交于M點，作PHAB于點H，P點為

11、60;的中點，OPBC，OMB90°，又AB為直徑，ACB90°.ACBOMB. OPAC.CABPOB.又ACBOHP90°，ACB0HP. 又AB13,AC5,OP ，圖e ，解得OH AHOAOH9.在RtOPH中，有 。在RtAHP中 有 .PA  7.如圖，ABC內(nèi)接于O，且AB為O的直徑ACB的平分線交O于點D，過點D作O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AECD于點E，過點B作BFCD于點F（1）求證：DPAB；（2）若AC6，BC8，求線段PD的長解：（1）證明：如圖，連接OD，AB為O的直徑，ACB90°.ACB的平分線交O于點D，ACDBCD45°.（圖1-