點集拓撲練習(xí)題及答案

1、.點集拓撲練習(xí)題一、單項選擇題（每題1分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 答案：2、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 答案：4、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 答案：6、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 答案：7、已知，拓撲,則=（ ） 答案：8、 已知，拓撲,則=（ ） 答案：9、 已知，拓撲,則=（ ） 答案：10、已知，拓撲,則=（ ） 答案：11、已知，拓撲,則=（ ） 答案：12、已知，拓撲,則=（ ） 答案：13、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2

2、 3 4 答案：14、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：15、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：16、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：17、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：18、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（ ） Q R -Q R 答案：20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（ ） Q R -Q R 答案：21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ） R-Z R 答案：22、在實

3、數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（ ） R-Z R 答案：23、在實數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：24、在實數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：25、在實數(shù)空間中，區(qū)間的內(nèi)部是（ ） 答案：26、設(shè)是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中錯誤的是（ ） 答案: 27、設(shè)是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 28、設(shè)是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 29、已知是一個離散拓撲空間，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 答案：30、已知是一個平庸拓撲空間，A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若

4、, 則 答案：31、已知是一個平庸拓撲空間，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,則 答案：32、設(shè)，令,則由產(chǎn)生的上的拓撲是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、設(shè)是至少含有兩個元素的集合，, 是的拓撲，則（ ）是的基. 答案：34、 設(shè),則下列的拓撲中（ ）以為子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、離散空間的任一子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉 答案：36、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉 答案：

5、37、實數(shù)空間中的任一單點集是 ( ) 開集 閉集 既開又閉 非開非閉 答案：38、實數(shù)空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A 答案：39、在實數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無理數(shù)集 答案：40、在實數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補集 答案：41、已知上的拓撲,則點1的鄰域個數(shù)是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,則上的所有可能的拓撲有（） 1個 2個 3個 4個 答案： 43、已知=a,b,c,則上的含有個元素的拓撲有（）個 3 5 7 9 答案：44、設(shè)為拓撲空間,則下列敘述正確的為 ( ) 當(dāng)時, 當(dāng)

6、時, 答案：45、在實數(shù)下限拓撲空間中，區(qū)間是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉 答案：46、設(shè)是一個拓撲空間，,且滿足,則是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉 答案：47、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：48、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：49、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：50、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：51、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：52、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 答案：53、設(shè)是實數(shù)空間，是整數(shù)集，則的子空間的拓撲為（ ） 答案： 54、設(shè)是拓撲空間的

7、積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：55、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：56、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：57、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：58、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：59、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉

8、映射 滿的連續(xù)開映射 答案：60、設(shè)和是兩個拓撲空間，是它們的積空間,，則有（ ） 答案：61、有理數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：62、整數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：63、無理數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對 答案：64、設(shè)Y為拓撲空間X的連通子集,Z為X的子集,若, 則Z為( )不連通子集 連通子集 閉集 開集 答案：65、設(shè)是平庸空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是平庸空間 平庸空間 不連通空間 答案：66、設(shè)是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是離散空間

9、 平庸空間 連通空間 答案：67、設(shè)是連通空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是連通空間 平庸空間 連通空間 答案：68、實數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對 答案：69、實數(shù)空間R中的不少于兩點的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對 答案：70、實數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 區(qū)間或一點 答案：71、下列敘述中正確的個數(shù)為（ ） （）單位圓周是連通的； （）是連通的 （）是連通的 （）和同胚 1 2 3 4 答案：72、實數(shù)空間( ) 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對

10、 答案：73、整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：74、有理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：75、無理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：76、正整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：77、負整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第

11、一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：78、2維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：79、3維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對 答案：80、下列拓撲學(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 連通性 離散性 第一可數(shù)性公理 答案：81、下列拓撲學(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公理 連通性 第二可數(shù)性公理 平庸性 答案：82、下列拓撲學(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公

12、可分性 第二可數(shù)性公理 離散性 答案：83、下列拓撲學(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 可分性 離散性 第二可數(shù)性公理 答案：84、設(shè)是一個拓撲空間，若對于,均有,則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：85、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：86、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 道路連通空間 答案：87、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：88、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：89、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：90、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對 答案：91、設(shè)，則是( )空間 空

13、間 空間 以上都不對 答案：92、設(shè)是一個拓撲空間，若的每一個單點集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：93、設(shè)是一個拓撲空間，若的每一個有限子集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：94、設(shè)是一個拓撲空間，若對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：95、設(shè)是一個拓撲空間，若對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：96、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間 答案：97、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間 答案：98、設(shè)，則

14、是( )空間 空間 空間 正則空間 答案：99、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：100、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：101、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：102、若拓撲空間的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間 是一個（ ） 連通空間 道路連通空間 緊致空間 可分空間 答案：103、緊致空間中的每一個閉子集都是（ ） 連通子集 道路連通子集 緊致子集 以上都不對 答案：104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是（ ） 連通子集 開集 閉集 以上都不對 答案：105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集是（

15、） 連通子集 開集 閉集 以上都不對 答案：106、拓撲空間的任何一個有限子集都是（ ） 連通子集 緊致子集 非緊致子集 開集 答案：107、實數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集 答案：108、實數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集答案：109、如果拓撲空間的每個緊致子集都是閉集，則是（ ） 空間 緊致空間 可數(shù)補空間 非緊致空間 答案：二、填空題（每題1分）1、設(shè),則的平庸拓撲為 ;答案：2、設(shè),則的離散拓撲為 ;答案：3同胚的拓撲空間所共有的性質(zhì)叫 ;答案：拓撲不變性質(zhì)4、在實數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是_.答案： R5、當(dāng)且僅當(dāng)對于的每一鄰

16、域有 ;答案： 6、設(shè)是有限補空間中的一個無限子集，則= ;答案：7、設(shè)是有限補空間中的一個無限子集，則= ;答案：8、設(shè)是可數(shù)補空間中的一個不可數(shù)子集，則= ;答案：9、設(shè)是可數(shù)補空間中的一個不可數(shù)子集，則= ;答案：10、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：211、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：112、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：113、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：14、設(shè),則的平庸拓撲為 ;答案：15、設(shè),則的離散拓撲為 ;答案：16、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：3 17、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：1 18、是拓撲空間到的一

17、個映射，若它是一個單射，并且是從到它的象集的一個同胚，則稱映射是一個 .答案：嵌入19、是拓撲空間到的一個映射，如果它是一個滿射，并且的拓撲是對于映射而言的商拓撲，則稱是一個 ;答案：商映射20、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個映射，若中任何一個開集的象集是中的一個開集，則稱映射是一個;答案：開映射21、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個映射，若中任何一個閉集的象集是中的一個閉集，則稱映射是一個;答案：閉映射22、若拓撲空間存在兩個非空的閉子集,使得,則是一個 ；答案：不連通空間23、若拓撲空間存在兩個非空的開子集,使得,則是一個 ；答案：不連通空間24、若拓撲空間存在著一個既開又閉的非空真子集，則是一個 ；答

18、案：不連通空間25、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個 ; 答案：連通子集26、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ；答案：可商性質(zhì)28、若任意個拓撲空間,都具有性質(zhì),則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱為 ; 答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)是一個拓撲空間，如果中有兩個非空的隔離子集,使得,則稱是一個 ；答案：不連通空間.30、若滿足第一可數(shù)性公理，則積空間滿足 ;答案：第一可數(shù)性公理31

19、、若滿足第二可數(shù)性公理，則積空間也滿足 ;答案：第二可數(shù)性公理32、如果一個拓撲空間具有性質(zhì),那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：可遺傳性質(zhì)33、設(shè)是拓撲空間的一個子集，且,則稱是的一個 ；答案：稠密子集34、若拓撲空間有一個可數(shù)稠密子集，則稱是一個 ；答案：可分空間35、設(shè)是一個拓撲空間，如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱是一個 ；答案：LindelÖff空間36、如果一個拓撲空間具有性質(zhì),那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：對于開子空間可遺傳性質(zhì)37、如果一個拓撲空間具有性質(zhì),那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：

20、對于閉子空間可遺傳性質(zhì)38、設(shè)是一個拓撲空間，如果 則稱是一個空間;答案：中任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一點39、設(shè)是一個拓撲空間，如果 則稱是一個空間;答案：中任意兩個不相同的點中每一點都有一個開鄰域不包含另一點40、設(shè)是一個拓撲空間，如果 則稱是一個空間; 答案：中任意兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個開鄰域互不相交41、正則的空間稱為 ；答案：空間42、正規(guī)的空間稱為 ；答案：空間43、完全正則的空間稱為 ；答案：空間或Tychonoff空間44、設(shè)是一個拓撲空間.如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個 . 答案：緊致空間45、設(shè)是一個拓撲空

21、間，是的一個子集.如果作為的子空間是一個緊致空間，則稱是拓撲空間的一個 .答案：緊致子集46、設(shè)是一個拓撲空間. 如果的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個 .答案：可數(shù)緊致空間47、設(shè)是一個拓撲空間. 如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間是一個 .答案：列緊空間48、設(shè)是一個拓撲空間. 如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓撲空間是一個 .答案：序列緊致空間三判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）1、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案:理由：設(shè)是離散空間，是拓撲空間，是連續(xù)映射，因為對任意，都有,由于中的任何一個子集都是開集，從而是中的開集，所

22、以是連續(xù)的. 2、設(shè)是集合的兩個拓撲，則不一定是集合的拓撲( )答案:×理由：因為（1）是的拓撲，故T1，T，從而；（）對任意的T1T，則有T1且T，由于T1, T2是的拓撲，故T1且T2，從而 T1T；（）對任意的，則，由于T1, T2是的拓撲，從而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；綜上有T1T也是的拓撲3、從拓撲空間到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案:理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有,易知它們在下的原象分別是,均為中的開集，從而連續(xù).4、設(shè)為離散拓撲空間的任意子集，則 （ ）答案:理由：設(shè)為中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集

23、，所以是的開子集，且有，即,從而 .5、設(shè)為平庸空間（多于一點）的一個單點集，則 （ ）答案：×理由：設(shè),則對于任意,有唯一的一個鄰域，且有,從而，因此是的一個凝聚點，但對于的唯一的鄰域，有,所以有.6、設(shè)為平庸空間的任何一個多于兩點的子集，則 （ ）答案：理由：對于任意因為包含多于一點，從而對于的唯一的鄰域，且有，因此是的一個凝聚點，即，所以有.7、設(shè)是一個不連通空間，則中存在兩個非空的閉子集,使得（ ）答案： 理由：設(shè)是一個不連通空間，設(shè)是的兩個非空的隔離子集使得,顯然，并且這時有: 從而是的一個閉子集，同理可證是的一個閉子集，這就證明了滿足.8、若拓撲空間中存在一個既開又閉的非

24、空真子集，則是一個不連通空間( )案：理由：這是因為若設(shè)是中的一個既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓撲空間是一個不連通空.9、設(shè)拓撲空間滿足第二可數(shù)性公理，則滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由:設(shè)拓撲空間滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個可數(shù)基，對于每一個,易知是點處的一個鄰域基，它是的一個子族所以是可數(shù)族，從而在點處有可數(shù)鄰域基，故滿 足第一可數(shù)性公理.10、若拓撲空間滿足第二可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第二可數(shù)性公理（ ）答案：理由：由于滿足第二可數(shù)性公理，所以它有一個可數(shù)基，因為是的子空間，則是的一個可數(shù)基，從而的 子空間也滿足第二可數(shù)性公理.1

25、1、若拓撲空間滿足第一可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由：由于滿足第一可數(shù)性公理，所以對,在點處有一個可數(shù)鄰域基，因為是的子空間，則是在點的一個可數(shù)鄰域基，從而的子空間也滿足第一可數(shù)性公理.12、設(shè)，則是空間.( )答案：×理由：因為是的一個閉集，對于點和沒有各自的開鄰域互不相交，所以不是正則空間，從而不是空間. 注：也可以說明不是空間13、設(shè)，則是空間.( )答案：×理由：因為是的一個閉集，對于點和沒有各自的開鄰域互不相交，所以不是正則空間，從而不是空間.注：也可以說明不是空間14、設(shè)，則是空間.( )答案：×理由：因為對于點和點，沒有開

26、鄰域不包含，從而不是 空間注：也可以考慮點和點.15、設(shè)，則是空間.( )答案：×理由：因為對于點和點，沒有開鄰域不包含，從而不是 空間故是空間.注：也可以考慮點和點.16、空間一定是空間.（ ）答案：理由：因為空間是正則的空間，所以對于空間中的任意不同的兩點，是中的閉集，由于是正則空間，從而對于它們有各自的開鄰域使得，所以是空間.17、空間一定是空間.（ ）答案：理由：因為空間是正規(guī)的空間，所以對于空間中的任意點和不包含的閉集，由于也是一個閉集及是正規(guī)空間，故存在的開鄰域使得，這說明是正則空間，因此是空間.18、設(shè)是拓撲空間的兩個緊致子集，則是一個緊致子集.( )答案： 理由：設(shè)A

27、 是一個由中的開集構(gòu)成的的覆蓋，由于和都是的緊致子集，從而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分別是和的覆蓋，故是A 的有限子族且覆蓋，所以是緊致子集.19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.( )答案： 理由：設(shè)是Hausdorff空間的一個緊致子集，則對于任何，若，則易知不是的凝聚點，因此，從而是一個閉集.四名詞解釋(每題2分)1同胚映射 答案：設(shè)和是兩個拓撲空間.如果是一個一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱是一個同胚映射或同胚.2、集合的內(nèi)點 答案：設(shè)是一個拓撲空間，.如果是點的一個鄰域，則稱點是集合的一個內(nèi)點.3、集合的內(nèi)部 答案：設(shè)是一個拓撲空間，.則集合的所有內(nèi)點

28、構(gòu)成的集合稱為集合的內(nèi)部.4拓撲空間的基 答案：設(shè)是一個拓撲空間，是的一個子族.如果中的每一個元素是中的某些元素的并，則稱是拓撲的一個基.5閉包 答案：設(shè)是一個拓撲空間，.集合與集合的導(dǎo)集的并稱為集合的閉包.6、序列 答案：設(shè)是一個拓撲空間，每一個映射叫做中的一個序列.7、導(dǎo)集 答案：設(shè)是一個拓撲空間，集合的所有凝聚點構(gòu)成的集合稱為 的導(dǎo)集.8、不連通空間 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中有兩個非空的隔離子集,使得,則稱是一個不連通空間.9、連通子集 答案：設(shè)是拓撲空間的一個子集.如果作為的子空間是一個連通空間，則稱是的一個連通子集.10、不連通子集 答案：設(shè)是拓撲空間的一個子集.如果作為的子空

29、間是一個不連通空間，則稱是的一個不連通子集.11、空間 答案：一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.12、空間 答案：一個拓撲空間如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.13、可分空間 答案：如果拓撲空間有一個可數(shù)稠密子集，則稱是一個可分空間.14、空間： 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓撲空間是空間.15、空間： 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任意兩個不相同的點中每一個點都有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓撲空間是空間.16

30、、空間： 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任意兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個開鄰域互不相交，則稱拓撲空間是空間.17、正則空間： 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任何一個點和任何一個不包含這個點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.18、正規(guī)空間： 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果中的任何兩個無交的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正規(guī)空間.19、完全正則空間： 答案：設(shè)是一個拓撲空間，如果對于和中任何一個不包含點的閉集存在一個連續(xù)映射使得以及對于任何有，則稱拓撲空間是一個完全正則空間.20、緊致空間 答案：設(shè)是一個拓撲空間.如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆

31、蓋，則稱拓撲空間是一個緊致空間. 21、緊致子集 答案：設(shè)是一個拓撲空間，是的一個子集.如果作為的子空間是一個緊致空間，則稱是拓撲空間的一個緊致子集.22、可數(shù)緊致空間 答案：設(shè)是一個拓撲空間. 如果的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個可數(shù)緊致空間.23、列緊空間 答案：設(shè)是一個拓撲空間. 如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間是一個列緊空間.24、序列緊致空間 答案：設(shè)是一個拓撲空間. 如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓撲空間是一個序列緊致空間.五簡答題（每題4分）1、設(shè)是一個拓撲空間，是的子集，且.試說明.答案：對于任意,設(shè)是的任何一個鄰域，則有,由于，從

32、而，因此，故.2、設(shè)都是拓撲空間., 都是連續(xù)映射，試說明也是連續(xù)映射.答案：設(shè)是的任意一個開集，由于是一個連續(xù)映射，從而是的一個開集，由是連續(xù)映射，故是的一開集，因此 是的開集，所以是連續(xù)映射.3、設(shè)是一個拓撲空間，.試說明：若是一個閉集，則的補集是一個開集.答案：對于,則，由于是一個閉集，從而有一個鄰域使得,因此，即,所以對任何,是的一個鄰域，這說明是一個開集.4、設(shè)是一個拓撲空間，.試說明：若的補集是一個開集，則是一個閉集.答案：設(shè),則,由于是一個開集，所以是的一個鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說明是一個閉集.5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,

33、試寫出的商拓撲T.答案：6、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：7、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：8、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.答案：9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：10、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .答案：11、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試

34、寫出的商拓撲T .答案：12、離散空間是否為空間?說出你的理由.答案：因為離散空間的每一個基必定包含著單點集，所以包含著不可數(shù)多個點的離散空間不是空間.至多含有可數(shù)多個點的離散空間是空間.13、試說明實數(shù)空間是可分空間.答案: 因為是可數(shù)集，且的任何一個非空的開集至少包含一個球形鄰域,從而與Q都有非空的交，因此，故實數(shù)空間是可分空間.14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.答案: 設(shè)是一個度量空間, 對，則所有的以為中心，以正有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成處的一個可數(shù)鄰域基，從而滿足第一可數(shù)性公理.15、設(shè)是一個空間，試說明的每一個單點集是閉集.答案：對，由于是空間，從而對每一個，點有一個

35、鄰域使得，即，故，因此,這說明單點集是一個閉集.16、設(shè)是一個拓撲空間，若的每一個單點集都是閉集，試說明是一個空間.答案：對于任意，都是閉集，從而和分別是和的開鄰域，并且有,.從而是一個空間.17、設(shè)是一個空間，是任何一個不屬于的元素.令和，試說明拓撲空間是一個空間. 答案：對任意,若,都不是，則.由于 是一個空間，從而各有一個開鄰域,使得;若,中有一個是，不妨設(shè),則有開鄰域不包含.由以上的討論知，對中任意兩個不同點必有一個點有一個開鄰域不包含另一點，從而是空間.18、若是一個正則空間，試說明：對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得. 答案: 對,設(shè)是的任何一個開鄰域，則的補集是一個不包

36、含點的一個閉集.由于是一個正則空間，于是和分別有開鄰域和,使得，因此，所以.19、若是一個正規(guī)空間，試說明：對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得. 答案：設(shè)是的任何一個閉集，若是空集，則結(jié)論顯然成立.下設(shè)不是空集，則對的任何一個開鄰域，則的補集是一個不包含點的一個閉集. 由于是一個正規(guī)空間，于是和分別有開鄰域和,使得，因此，所以.20、試說明空間的任何一個子集的導(dǎo)集都是閉集.答案：設(shè)是的任何一個子集，若是空集，則，從而的導(dǎo)集是閉集.下設(shè)不是空集，則對,則有開鄰域,使得，由于是空間，從而是開集，故 ,于是,所以是它每一點的鄰域，故是開集，因此是閉集.21、試說明緊致空間的無

37、窮子集必有凝聚點.答案：如果的無窮子集的沒有凝聚點，則對于任意，有開鄰域，使得，于是的開覆蓋沒有有限子覆蓋，從而不是緊致空間，矛盾.故緊致空間的無窮子集必有凝聚點.22、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個連續(xù)的滿射，從而由緊致知是一個緊致空間.23、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個連續(xù)的滿射，從而由緊致知是一個緊致空間.24、試說明緊致空間的每一個閉子集都是緊致子集.答案：如果A 是的任意一個由中的開集構(gòu)成的覆蓋，則是的一個開覆蓋.設(shè)是的一個有限子族并且覆蓋.則便是A 的一個有限子族并且覆蓋，從而是緊致子集.六、證明題（每題8分）1、設(shè)是從連通空間

38、到拓撲空間的一個連續(xù)映射.則是的一個連通子集.證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說明不連通，矛盾.從而是的一個連通子集. 8分2、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者. 證明：因為是的開集，從而是子空間的開集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 8分3、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的閉集使得,則或者,或者. 證明：因為是的閉集，從而是子空間的閉集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則

39、;若,則 8分4、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個連通子集.證明：若是的一個不連通子集，則在中有非空的隔離子集 使得.因此 3分由于是連通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可證如果，則,均與假設(shè)矛盾.故也 是的一個連通子集. 8分5、設(shè)是拓撲空間的連通子集構(gòu)成的一個子集族.如果,則是的一個連通子集.證明：若是的一個不連通子集.則有非空的隔離子集使得 4分任意選取,不失一般性，設(shè),對于每一個，由于連通，從而及,矛盾，所以是連通的. 8分6、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集，是的一個既開又閉的集合.證明：如果,則.證明：若,則結(jié)論顯然成立.下設(shè),由于是的一個既開又閉的集合,從而是

40、的子空間的一個既開又閉的子集 4分由于及連通，所以，故. 8分7、設(shè)A是連通空間X的非空真子集. 證明:A的邊界.證明：若,由于,從而,故是的隔離子集 4分因為A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不連通,與題設(shè)矛盾.所以. 8分8、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ,因為X是可數(shù)補空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得. 于是, 4分由上面的討論我們知道： 因為是一個不可數(shù)集，而是一個可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 8分9、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的有限補空間.證明:X

41、不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ,因為X是有限補空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得.于是, 4分由上面的討論我們知道： 因為是一個不可數(shù)集，而是一個可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 8分10、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個滿的連續(xù)開映射.滿足第二可數(shù)性公理，證明：也滿足第二可數(shù)性公理.證明：設(shè)滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個可數(shù)基.由于是一個開映射，是由中開集構(gòu)成的一個可數(shù)族. 3分下面證明是的一個基.設(shè)是的任意開集，則是中的一個開集.因此存在,使得.由于是一個滿射，所以有,從而是中某些元素的并，故是的一個基.這說明也滿足第二

42、可數(shù)性公理. 8分11、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個滿的連續(xù)開映射.滿足第一可數(shù)性公理，證明：也滿足第一可數(shù)性公理.證明：對,由于是一個滿射，所以存在,使得,由于滿足第一可數(shù)性公理，故在點處存在一個可數(shù)鄰域基，設(shè)為,又由于是一個開映射，則是中點的一個可數(shù)鄰域族. 3分下面證明是中點的一個鄰域基.設(shè)是中點的任意鄰域，則是中點的一個鄰域.因此存在,使得.因此,從而是中點的一個鄰域基.這說明也滿足第一可數(shù)性公理. 8分12、是滿足第二可數(shù)性公理空間X的一個不可數(shù)集。求證：A至少有一個凝聚點.證明：若沒有凝聚點，則對任,一定存在的一個鄰域，使得：,由于滿足第二可數(shù)性公理，設(shè)是它的可數(shù)基，故一定存在一個,使得：, 更有A=x, 4分若令C= xA, B, ,則有C B ，從而C必可數(shù).于是 A =.這樣A就是可數(shù)集，這與題設(shè)A為不可數(shù)集相矛盾，故A至少有一個凝聚點. 8分13、證明滿足第二可數(shù)性公理的空間中每一個由兩兩無交的開集構(gòu)成的集族都是可數(shù)族.證明：設(shè)