垂徑定理及推論教學設計

1、24.1.2 垂徑定理及其推論教學設計【教材分析】本節(jié)是圓這一章的重要內容，也是本章的基礎。它揭示了垂直于弦的直徑和這條弦及這條弦所對的弧之間的內在關系，是圓的軸對稱性的具體化；也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據(jù)；同時也為進行圓的有關計算和作圖提供了方法和依據(jù)；由垂徑定理的得出， 使學生的認識從感性到理性， 從具體到抽象， 有助于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。同時，通過本節(jié)課的教學，對學生滲透類比、轉化、數(shù)形結合、方程、建模等數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)學生實驗、觀察、猜想、抽象、概括、推理等邏輯思維能力和識圖能力。所以它在教材中處于非常重要的位置?！窘虒W目標】根據(jù)新課程標準的要求， 課

2、改應體現(xiàn)學生身心發(fā)展特點； 應有利于引導學生主動探索和發(fā)現(xiàn)；有利于進行創(chuàng)造性的教學。因此，我把本節(jié)課的教學目標確定為以下三個方面：知識目標：使學生理解圓的軸對稱性； 掌握垂徑定理； 學會運用垂徑定理解決有關的證明、 計算和作圖問題。培養(yǎng)學生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。方法與過程目標：經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)圓的對稱性， 證明垂徑定理及推論的過程， 鍛煉學生的思維品質， 學習證明的方法。情感態(tài)度與價值觀目標:在學生通過觀察、操作、 變換和研究的過程中進一步培養(yǎng)學生的思維能力，創(chuàng)新意識和良好的運用數(shù)學的習慣和意識。【重點與難點】重點：垂徑定理及其推論的發(fā)現(xiàn)、記憶與證明。難點：對垂徑定理及其推論的探索和證明，

3、并能應用垂徑定理及推論進行簡單計算或證明。【學生分析】九年級學生已了解圓的有關概念； 但根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論： 這個階段的學生思維正處于具體思維向抽象思維發(fā)展、 邏輯思維向形式思維發(fā)展、 內部心理上逐步朝著自我反省的思維發(fā)展。 雖然他們具有一定的數(shù)學活動經(jīng)驗、 生活經(jīng)驗和操作技能， 會進行簡單的說理，但他們的邏輯思維能力和抽象思維能力還比較薄弱。對如何從實際問題中抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型的能力較差?！窘虒W方法】鑒于教材特點及九年級學生的知識基礎， 根據(jù)教學目標和學生的認知水平， 讓學生在課堂上多活動、多觀察、多合作、多交流，主動參與到整個教學活動中來，組織學生參與“實驗- 觀察 -猜想

4、 -證明”的活動，最后得出定理， 這符合新課程理念下的“要把學生學習知識當作認識事物的過程來進行教學” 的觀點， 也符合教師的主導作用與學生的主體地位相統(tǒng)一的原則。 同時，在教學中， 我充分利用教具和課件， 提高教學效果， 在實驗、 演示、 操作、觀察、練習等師生的共同活動中啟發(fā)學生，讓每個學生動手、動口、動眼、動腦，培養(yǎng)學生直覺思維能力，這符合新課程理念下的直觀性與可接受性原則。【設計理念】在教學設計和課堂教學中應充分了解學生，研究學生， 我們不僅要備教材，而且還要備學生。要真正樹立以學生的發(fā)展為本的教學理念。只有這樣， 才能為學生提供充分的教學活動和交流的機會，使學生從單純的的知識接受者變

5、為數(shù)學學習的主人。【教師準備】問題導讀 - 評價單、問題生成 - 評價單、問題訓練 - 評價單【教學過程的設計】問題情境創(chuàng)設情境，導入新課1. 將你手中的圓沿圓心對折， 你會發(fā)現(xiàn)圓是一個什么圖形？2. 將手中的圓沿直徑向上折， 你會發(fā)現(xiàn)折痕是圓的一條弦， 這條弦被直徑怎樣了？3. 一個殘缺的圓形物件， 你能找到它的圓心嗎？4. 趙州橋是我國古代橋梁史的驕傲，我們能求出主橋拱的半徑嗎？師生活動上課之前先檢查學生對 問題導讀評價單 的完成情況將學生分組， 然后由小組長發(fā)放問題生成評價單 ，然后小組根據(jù)評價單中的問題進行討論，交流。然后由組長進行匯總， 選出小組代表進行發(fā)言我們一起來完成這個結論的證

6、明教師出示問題， 前兩個問題可以由學生動手操作，并觀察結果，得到初步結論。后兩個問題作為問題情境， 激發(fā)學生學習興趣， 引導學生進一步的學習。設計意圖教師循序漸進地將一個個的問題拋出，引導學生一步步地進行思考和總結，調動學生的學習積極性，培養(yǎng)學生的學習習慣。合作交流，探究新知1. 圓的對稱性（探究） 圓是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？分別是什么？圓的對稱性由學生發(fā)現(xiàn)并總結，2. 垂徑定理教師進行板書。（思考）如圖 ：CAB 是 O 的一條弦，作直徑 CD ，O教師出示問題使 CD AB，垂足 E。E學生小組討論， 發(fā)現(xiàn)垂徑定理的AB證明方法，并由學生代表發(fā)言。培養(yǎng)學生的觀察能力，概括能力，分析

7、能力，從而調動學生學習積極性，使學生主動的獲得知識D這個圖形是對稱圖形嗎你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？請說明理由。你能用一句話概括這些結論嗎？垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。你能用幾何方法證明這些結論嗎？ 你能用符號語言表達這個結論嗎？學生嘗試將文字轉變?yōu)榉栒Z言，用幾何符號表達定理的邏輯關系。教師更正。教師明確定理中的條件和結論，初步理解 “知二得三” 口訣的含義。讓學生進一步熟悉垂徑定理的條件與結論，并為探索垂徑定理的推論打基礎3垂徑定理的推論教師提出問題， 引導學生進行思如上圖，若直徑 CD平分弦 AB則考和討論。讓學生親自探索出直徑 CD是否垂直且平分弦所對

8、的學生嘗試得出垂徑定理和推論，各條推論，以使學兩條?。咳绾巫C明？教師規(guī)范并板書。生以后在應用中可你能用一句話總結這個結論嗎？教師提醒學生此中的弦一定不明明白白不加懷疑（即推論：平分弦的直徑也垂直于能是直徑。的應用知二推三，弦，并且平分弦所對的兩條?。┎⑴囵B(yǎng)學生的團隊如果弦 AB 是直徑，以上結論還成意識及資源共享的立嗎？意識例題示范，變式練習例 1. 如圖。在 O 中弦 AB 的長為8cm，圓心 O 到 AB的距離 OD=3cm ，則在例 1 中教師可通過問題設置,引導學生聯(lián)系弦、半徑、弦心距O 的半徑為cmOADB或者拱高等因素， 從而構成直角三角形，利用勾股定理解決問（ 1） 連結什么可得

9、到一個直角三形？（ 2） 利用什么知識可以解得半徑。（ 3） 從中你可總結出利用垂徑定理計算的什么技巧？例 2. 如圖，是趙州橋的幾何示意圖，若其中題。這也是解決計算問題的主要方法，教師一定要重點重申。垂徑定理的應用，了解圓中輔助線的添法，并規(guī)范論證書寫過程，能利用圖形迅速獲取信息，并找出垂徑定理所需的條件，鞏固并熟練垂徑定理的使用方法CAB是橋的跨度DAB為 37.4O米, 橋拱高 CD為7.2 米 , 你能求出它所在的圓的主橋拱半徑嗎 ?此題是垂徑定理計算題中另一種題型，主要利用將垂徑定理、勾股定理、方程的知識進行綜合應用。教師在提示后讓學生進行小組討論，然后進行總結， 得出結論，讓學生做

10、好筆記， 養(yǎng)成良好的學習習慣。靈活應用，提高能力1. 已知：如圖 ,AB 是 O直徑， CD是弦， AE CD， BF CD.求證： ECDFBO.AECDF綜合應用，鞏固提高課本例題涉及的問題，因此設計該分層推進的補充題，鞏固本節(jié)所學知識。2、已知：如圖，O 中 AB 為弦 C為AB 的中點，OC交AB 于D，AB = 6cm ， CD=1cm. 求 O 的半徑 OA.CABDO輕松過關發(fā)放 問題訓練評價單 ，讓學生獨立完成其練習題歸納總結，形成體系通過這堂課的學習你有什么收獲 ?知道了哪些新知識？學會了做什么學生獨立練習， 而后再與同桌交流，上講臺演示， 教師要重點關注“學困生” 生獨立完

11、成問題評價單中的練習題，老師進行講評， 主要培養(yǎng)學生獨立解題能力鼓勵學生從數(shù)學知識、數(shù)學方法學生暢所欲言， 從知識、 方和數(shù)學情感等方面法、情感態(tài)度等方面談收獲， 談 進行自我評價，培體會，并結合本節(jié)教學目標， 發(fā) 養(yǎng)學生歸納和語言現(xiàn)在學習中學會了什么， 還存在 表達能力。使學生哪些問題。的知識更加完整和清晰，形成知識體系。 24.1.2 垂徑定理及其推論教學設計問題導讀評價單設計者：班級：姓名：【教學目標】根據(jù)新課程標準的要求， 課改應體現(xiàn)學生身心發(fā)展特點； 應有利于引導學生主動探索和發(fā)現(xiàn)；有利于進行創(chuàng)造性的教學。因此，我把本節(jié)課的教學目標確定為以下三個方面：知識目標：使學生理解圓的軸對稱性

12、； 掌握垂徑定理； 學會運用垂徑定理解決有關的證明、 計算和作圖問題。培養(yǎng)學生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。方法與過程目標：經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)圓的對稱性， 證明垂徑定理及推論的過程， 鍛煉學生的思維品質， 學習證明的方法。情感態(tài)度與價值觀目標:在學生通過觀察、操作、 變換和研究的過程中進一步培養(yǎng)學生的思維能力，創(chuàng)新意識和良好的運用數(shù)學的習慣和意識?！局攸c與難點】重點：垂徑定理及其推論的發(fā)現(xiàn)、記憶與證明。難點：對垂徑定理及其推論的探索和證明，并能應用垂徑定理及推論進行簡單計算或證明。1已知 AB是 O的弦， AB8cm， OCAB 與 C，OC=3cm，則 O的半徑為cm2如圖，O 的直徑 AB垂直于

13、弦 CD，垂足為 E，若 COD 120， OEA3 厘米，則 CD厘米O3.半徑為 6cm的圓中，垂直平分半徑OA的弦長為cm.CED4.過 O內一點 M的最長的弦長為6cm ，最短的弦長為4cm，則 OM的長B圖 4等于cm5. 如圖， AB為 O 的弦， O的半徑為 5， OC AB于點 D，交 O于點 C， 且 CD l ，則弦AB的長是通過預習本節(jié)內容你未解決的問題有：自我評價：小組評價：教師評價：24.1.2 垂徑定理及推論教學設計問題生成評價單請同學們在預習的基礎上， 將生成的問題充分交流后， 在單位時間內完成下列題目， 并準備多元化展示 .帶著問題走進豐富多彩的數(shù)學世界1.將你

14、手中的圓沿圓心對折，你會發(fā)現(xiàn)圓是一個什么圖形？2.將手中的圓沿直徑向上折，你會發(fā)現(xiàn)折痕是圓的一條弦，這條弦被直徑怎樣了？3.一個殘缺的圓形物件，你能找到它的圓心嗎？4. 趙州橋是我國古代橋梁史的驕傲，我們能求出主橋拱的半徑嗎？分析通過上述問題，學生自己動手操作可以得出圓是軸對稱圖形，而且對稱軸是過直徑的直線，由此我們可以得出垂徑定理及推論歸納垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理推論：平分弦 （不是直徑） 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。注意在推論里，平分的這條弦一定不能為直徑，否則推論不成立。例 1. 如圖在 O 中弦 AB 的長為 8cm，圓心 O 到

15、 AB 的距離 OD=3cm ，則 O 的半徑為cm（ 1）連結什么可得到一個直角三形？（ 2）利用什么知識可以解得半徑。（ 3）從中你可總結出利用垂徑定理計算的什么技巧？例 2. 如圖，是趙州橋的幾何示意圖，若其中 AB是橋的跨度為 37.4 米, 橋拱高CCD為 7.2 米 , 你能求出它所在的圓的主OADB橋拱半徑嗎 ?DABO小組評價：教師評價：24.1.2 垂徑定理及推論教學設計問題訓練評價單設計者：班級：姓名：1如圖 1， O的直徑為10，圓心 O到弦 AB的距離 OM的長為 3，那么弦AB的長是（）A4B6C7D82. 如圖， O的半徑為 5，弦 AB的長為 8，M是弦 AB 上的一個動點，則線段 OM長的最小值為（）A2B3C4D53下列命題中，正確的是（）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心D在一個圓內平分一條弧和它所對的弦的直線必經(jīng)過這個圓的圓心4. 如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為 24米，拱的半徑為13 米，則拱高為()A5米B8米C7米D53米5 O的半徑為A 1 cmB5cm，弦 7cmAB/CD，且 AB=8cm,CD=6cm,則 AB與C 3 cm 或 4 cmD 1cmCD之間的距離為或 7cm()6. 如圖，在直角坐標系中，以點P 為圓心