5平方差公式（一）教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章整式的乘除5 平方差公式（第1課時(shí)）山東省青島市第六十三中學(xué) 紀(jì)琰玲課時(shí)安排說明:平方差公式共分兩課時(shí)，第一課時(shí)，主要是利用多項(xiàng)式乘法法則推導(dǎo)平方差公式，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；第二課時(shí)，主要是了解平方差公式的幾何背景，運(yùn)用公式進(jìn)行稍復(fù)雜的計(jì)算和數(shù)的簡便運(yùn)算.一、 學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：七年級上冊，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過數(shù)的運(yùn)算、字母表示數(shù)等內(nèi)容，具備類比數(shù)的運(yùn)算得到式的運(yùn)算知識基礎(chǔ)和基本方法.本章前面冪的運(yùn)算、整式乘法等知識的學(xué)習(xí)，為本節(jié)課奠定了基礎(chǔ)，提供可供類比得到新知識的方法.學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級上學(xué)期，已經(jīng)經(jīng)歷具體問題符號化的過程，積累自主探究、合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了一定的符

2、號感和推理能力.同時(shí)在整式運(yùn)算等相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了許多探究學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的獨(dú)立探究意識和從具體問題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力.但學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)符號化能力有限，理解平方差公式的推導(dǎo)過程和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可能會有一定困難.所以教學(xué)中應(yīng)盡可能多地讓學(xué)生動手操作，突出平方差公式的探索過程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用語言表述其結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和合作學(xué)習(xí)能力.二、 教學(xué)任務(wù)分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過“有理數(shù)及運(yùn)算”“字母表示數(shù)”“合并同類項(xiàng)”“去括號”“整式乘法”等內(nèi)容，經(jīng)歷了實(shí)際問題符號化的過程，具有一定的符號感.平方差公式是在學(xué)生已

3、經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過程.對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡便運(yùn)算，而且為后續(xù)的因式分解、分式運(yùn)算、解一元二次方程等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法.基于此教材提出了本節(jié)課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，了解公式的幾何背景，并能運(yùn)用平方差公式，進(jìn)行簡單的計(jì)算，以及實(shí)際問題的解決.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1.知識與技能：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算，進(jìn)一步發(fā)展符號感和推理能力.2.過程與方法：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中建立平方差公式模型，感

4、受數(shù)學(xué)公式的意義和作用.在平方差公式的推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想能力和有條理的表達(dá)能力.3.情感與態(tài)度：在探究學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.三、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)基于對教材以及教學(xué)任務(wù)的分析，本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)舊知、引入新課；探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；典例分析、鞏固提高；觀察思考、拓展延伸；當(dāng)堂達(dá)標(biāo)、自我檢測；課堂小結(jié)、布置作業(yè).第一環(huán)節(jié) 復(fù)習(xí)舊知、引入新課活動內(nèi)容：回顧整式乘法中多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘1、 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.符號表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2、 兩項(xiàng)式

5、乘以兩項(xiàng)式，結(jié)果可能是兩項(xiàng)嗎？請你舉例說明活動目的：平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，它的得出可以直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的目的，是在復(fù)習(xí)上節(jié)課知識的基礎(chǔ)上，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好知識準(zhǔn)備.實(shí)際教學(xué)效果：在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生從知識和心理等方面，做好探究新知識的準(zhǔn)備，從而為本節(jié)課平方差的探究學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).第2題是上節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)的一部分，可以讓學(xué)生將舉的例子寫在黑板上，與下一環(huán)節(jié)結(jié)合使用.第二環(huán)節(jié) 探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)結(jié)論活動內(nèi)容：1.提出問題計(jì)算下列各題（1） （x+2）（x2）； （2）（1+3a）（13a）（3） （x+5y）（x5y）；（4）（2y+z）（2yz）觀察以

6、上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？活動目的：在上一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，引入形式特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，使學(xué)生在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會規(guī)律的一般性，提出自己的猜想，并嘗試用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述.實(shí)際教學(xué)效果：問題提出后，學(xué)生能夠主動地去尋找解決問題的方法.利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了.觀察學(xué)生所列的以及這四個(gè)算式的特征，初步得到猜想，總結(jié)規(guī)律.活動內(nèi)容：2.驗(yàn)證猜想類比活動一中歸納的規(guī)律，學(xué)生自己再舉一些類似的多項(xiàng)式相乘的情形，并計(jì)算驗(yàn)證自己的猜想.活動目的：在“活動1”中，學(xué)生通過計(jì)算能夠初步感受結(jié)果的“平方差”形式，但僅

7、僅這樣就總結(jié)、得到結(jié)論，部分學(xué)生難免心存疑惑，因此讓學(xué)生再次舉例驗(yàn)證.學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件.這樣就讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究結(jié)論的過程，從而驗(yàn)證猜想，得到規(guī)律.實(shí)際教學(xué)效果：預(yù)習(xí)作業(yè)中學(xué)生舉例主要是從結(jié)果為兩項(xiàng)的角度出發(fā)，這里的舉例學(xué)生需要同時(shí)考慮公式兩邊的特征.在這一活動中讓學(xué)生充分經(jīng)歷“觀察猜想驗(yàn)證”的過程，學(xué)生舉的例子可能涉及以下形式：1、 （x+y）（xy） 2、 （ab+c）（abc） 3、 教師安排學(xué)生合作學(xué)習(xí)，分組驗(yàn)證，經(jīng)歷平方差公式推導(dǎo)歸納的過程，從而突出了本節(jié)課的重點(diǎn)，得到平方差公式： (a+b)(ab)

8、a2b2兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.第三環(huán)節(jié) 典例分析、鞏固提高活動內(nèi)容：鞏固練習(xí) 判斷下面計(jì)算是否正確 （1）= （ ） （2）（3xy）（3x+y）=9x2y2 （ ） （3）（m+n）（mn）=m2n2 （ ）活動目的：通過判斷題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生進(jìn)一步加深對平方差公式形式的理解.實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生在平方差公式的基礎(chǔ)上，結(jié)合判斷題的題樣，重新審視平方差公式，進(jìn)一步理解如何確定平方差公式中的a和b.活動內(nèi)容：例1 利用平方差公式計(jì)算：（1） （5+6x）（56x）； （2）（x2y）（x+2y）（3） （m+n）（mn）鞏固練習(xí)利用平方差公式計(jì)算： （1） （a+2）（a2）； （2

9、）（3a+2b）（3a2b） 活動目的：在深刻理解公式的基礎(chǔ)上，借助例題訓(xùn)練學(xué)生正確應(yīng)用公式計(jì)算，體會公式在簡化運(yùn)算中的作用，并通過鞏固練習(xí)，進(jìn)一步強(qiáng)化技能.實(shí)際教學(xué)效果：此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)注意層次的遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知過程.在計(jì)算過程中，讓學(xué)生分析公式中的a和b，相對應(yīng)本題中的哪部分，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和語言表達(dá)能力.活動內(nèi)容：例2 利用平方差公式計(jì)算：（1） ； （2）（ab+8）（ab8） 鞏固練習(xí)利用平方差公式計(jì)算：（1）； （2）（mn+3）（mn3） 活動目的：例2是對例1內(nèi)容的拓展與延伸，使學(xué)生從不同的角度來認(rèn)識平方差公式，從符合平方差公式運(yùn)算的不同形式的多項(xiàng)式相乘中，確定平

10、方差公式中的a和b，鞏固平方差公式，進(jìn)一步體字母a、b可以是數(shù)，也可以是整式，加深對字母含義廣泛性的理解.實(shí)際教學(xué)效果：例2中的第1題和鞏固練習(xí)中的第1題，學(xué)生在確定公式中a和b時(shí)，有一定難度，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題目，分析題目當(dāng)中誰相當(dāng)于公式當(dāng)中的a與b，同時(shí)提醒學(xué)生，不要漏掉負(fù)號和括號，幫助學(xué)生突破難點(diǎn).第四環(huán)節(jié) 觀察思考、拓展延伸活動內(nèi)容：想一想（ab）（ab）=？你是怎樣做的？練一練計(jì)算 1、（5mn）（5mn） 2、（a+b）（ab）（a2+b2） 活動目的：“想一想”目的，是讓學(xué)生體會平方差公式和多項(xiàng)式乘法之間的關(guān)系，可以利用整式乘法解決，也可以利用平方差公式，體會新、舊知識之間

11、的聯(lián)系，并通過“練一練”，進(jìn)一步感受平方差公式在簡化計(jì)算中的優(yōu)越性.實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生在處理“想一想”時(shí)，部分學(xué)生可能沒看出可應(yīng)用平方差公式，從而采用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算，教師應(yīng)給與肯定.通過不同方法在黑板的展示，讓學(xué)生自己經(jīng)歷選擇方法的過程，加深對平方差公式的理解和應(yīng)用.第五環(huán)節(jié) 當(dāng)堂達(dá)標(biāo)、自我檢測活動內(nèi)容： 利用平方差公式計(jì)算：（1） （x1）（1x）（2） （0.3x+2y）（0.3x2y） （3）活動目的：為學(xué)生提供自我檢測的機(jī)會，教師針對學(xué)生反饋情況，及時(shí)調(diào)整授課，查漏補(bǔ)缺. 第六環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)、布置作業(yè) 活動內(nèi)容： 1.平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2 公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是

12、兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積； 右邊是兩數(shù)的平方差.2 應(yīng)用平方差公式的注意事項(xiàng)： 1）注意平方差公式的適用范圍 2）字母a、b可以是數(shù)，也可以是整式 3）注意計(jì)算過程中的符號和括號活動目的：通過課堂小結(jié)對課堂知識點(diǎn)的回顧，讓學(xué)生分享自己在學(xué)習(xí)過程中，遇到的挫折以及積累的經(jīng)驗(yàn)，提出自己存在的困惑，大家一起解決，從而達(dá)到鞏固所學(xué)知識目的. 布置作業(yè)1. 必做題：教材習(xí)題1.9 2. 選做題：你能用圖形來驗(yàn)證平方差公式嗎？4、 教學(xué)設(shè)計(jì)反思 平方差公式是特殊形式的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的一種簡便計(jì)算，它在代數(shù)運(yùn)算和恒等變形中有廣泛地應(yīng)用.運(yùn)用平方差公式計(jì)算一定要看是否符合公式的特征：(ab)(a+b)=a2b2，公式中的字母a，b不僅可以代表具體的數(shù)字，字母 ，單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索平方差公式的過程，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的特點(diǎn)：1、 左邊為兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差，即在左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，在這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，右邊為這兩個(gè)數(shù)的平方差.2、 公式中的a,b不僅可以表示具體的數(shù)字，還可以是單項(xiàng)式，多項(xiàng)式等代數(shù)式. 提醒學(xué)生利用平方公式計(jì)算，首先觀察是否符合公式的特點(diǎn)，公式中的a和b分別是什么，注意負(fù)號和括號等細(xì)節(jié).本節(jié)課從