正方形判定的方法

1、正方形的定義可知：正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰正方形的定義可知：正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的邊相等的特殊矩形特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它們的，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它們的包含關(guān)系如圖包含關(guān)系如圖(1)：矩形、菱形、正方形都是有特殊條件的平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是有特殊條件的平行四邊形。由由從圖從圖(1)中可以知道，平行四邊形包含了矩形、中可以知道，平行四邊形包含了矩形、菱形、正方形、而正菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一個(gè)四邊形是正方形，可以個(gè)四邊形是正方形，可以從兩步

2、來著手，從兩步來著手，一步先判定四邊形是矩形一步先判定四邊形是矩形，再 一 步 判 定 這 個(gè) 矩 形 又 是 菱再 一 步 判 定 這 個(gè) 矩 形 又 是 菱形；形；或者：先判定四邊形是菱形，再判定或者：先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形也是矩形。這個(gè)菱形也是矩形。范例精講范例精講 例例1：已知：如圖：已知：如圖(2)，點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形分別是正方形ABCD 的邊的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求證：四邊形求證：四邊形ABCD是正方形。是正方形。 分析分析（1）你能證明四邊形是矩形嗎？你能證明四邊形是矩形嗎？（2）你能證明四邊形是菱形嗎？你能證明四邊形是菱形嗎？ （

3、3）你能證明四邊形是正方形嗎？你能證明四邊形是正方形嗎？ 請大家完成證明證明：證明：四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形ADABBC， AB90又又ADADAAABABBBBCADAAABBB123445 DAB18013180454590同理：同理：ABC90BCD90四邊形四邊形ABCD是矩形是矩形 在在DAA和和ABB中中DAA ABB(SAS)ADAB四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形(有一組有一組鄰邊相等的矩形是正方形鄰邊相等的矩形是正方形) 練習(xí)：練習(xí)：求證：對角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。求證：對角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。 已知：如圖已知：如圖(3)，四邊形，四

4、邊形ABCD中對角線中對角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，且，且ACBD，AOCO，BODO，ACBD。求證：四邊形求證：四邊形ABCD是正方形。是正方形。請大家先根據(jù)題意，畫出圖形然后寫出已知，求證，求證：對角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。求證：對角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。 已知：如圖已知：如圖(3)，四邊形，四邊形ABCD中對角線中對角線證明：證明： AOCO,BODO 四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形又又ACBD 平行四邊形平行四邊形ABCD是矩形是矩形 又又ACBD 平行四邊形平行四邊形ABCD是菱形，是菱形，即四邊形即四邊形ABCD是正方形是正方形解題小結(jié)：

5、解題小結(jié)： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它沒有明確的判定定正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它沒有明確的判定定理，要判定一個(gè)四邊形是正方形，基本思路就是證明這個(gè)四邊形既理，要判定一個(gè)四邊形是正方形，基本思路就是證明這個(gè)四邊形既是菱形又是矩形。因而得到這個(gè)四邊形是正方形。事實(shí)上，我們可是菱形又是矩形。因而得到這個(gè)四邊形是正方形。事實(shí)上，我們可以把本例作為正方形的一個(gè)判定定理：即：即角線垂直平分且相等以把本例作為正方形的一個(gè)判定定理：即：即角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。的四邊形是正方形。AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，且，且ACBD，AOCO， BODO，ACBD。求證：四邊形求

6、證：四邊形ABCD是正方形。是正方形。例例2已知：如圖已知：如圖(4)矩形矩形ABCD中，中，A、B、C、D的平分線組成四邊形的平分線組成四邊形ABCD，分析：分析：判定一個(gè)四邊形是正方形可以選擇：判定一個(gè)四邊形是正方形可以選擇： 求證：四邊形求證：四邊形ABCD是正方形。是正方形。下面請大家進(jìn)行證明。下面請大家進(jìn)行證明。(1)先證明它是矩形，再證它有一組鄰先證明它是矩形，再證它有一組鄰 邊相等；邊相等；(2)先證明它是菱形，再證它有一個(gè)角等于先證明它是菱形，再證它有一個(gè)角等于90已知：已知：如圖如圖(4)矩形矩形ABCD中，中，A、B、C、D的的 平分線組成四邊形平分線組成四邊形ABCD，證

7、明：在四邊形證明：在四邊形ABCD中中求證：四邊形求證：四邊形ABCD是正方形是正方形。又又 A B B D 且且 A A B A ( 已 證已 證 )ABAABDBAABAD四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形)AB、BD、CD、DB分別平分分別平分DAB、ABC、BCD、CDABD90123445ADBCABD BDC(ASA)ABBDCDDB同理可證：同理可證：DABDCB90且且AABACCDC四邊形四邊形ABCD是矩形是矩形(有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形) 1四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是：四個(gè)內(nèi)

8、角都相等的四邊形一定是： A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平行四邊形平行四邊形 2在四邊形在四邊形ABCD中，中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是是對角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正正 方形的是：方形的是： AAOBOCODO，ACBD BADBC ACCAOCOBODOABBC DACBD 3 四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平行四邊形平行四邊形練習(xí)：練習(xí)：1：（C）2（A）3：（A）請大家說出正方形與平行四邊形、矩形、菱請大家說出正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系？形的內(nèi)在聯(lián)系？掌握正方形的判定的方法。掌握正方形的判定的方法。 正方形中，課本上沒有給出明顯的判定定理，它正方形中，課本上沒有給出明顯的判定定理，它只告訴我們，要判定一個(gè)四邊形是正方形，分兩只告訴我們，要判定一個(gè)四邊形是正方形，分兩個(gè)步驟：個(gè)步驟：平行四邊形它包含了矩形、菱形、正方形；平行四邊形它包含了矩形、菱形、正方形；而正方形又包含在矩形和而正方形又包