集合間的基本運算

1、集合間的基本運算一、知識概述1、交集的定義一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB2、并集的定義一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A，B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB3、補(bǔ)集：一般地，設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集），記作，即=性質(zhì)：.全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用S，U表示4、運算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；

2、二、例題講解例1、設(shè)集合A=4，2m1，m2，B=9，m5，1m，又AB=9，求實數(shù)m的值解：AB=9，2m1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=3若m=5，則A=4，9，25，B=9，0，4與AB=9矛盾；若m=3，則B中元素m5=1m=2，與B中元素互異矛盾；若m=3，則A=4，7，9，B=9，8，4滿足AB=9m=3例2、設(shè)A=x|x2axb=0，B=x|x2cx15=0，又AB=3，5，AB=3，求實數(shù)a，b，c的值解：AB=3，3B，323c15=0，c=8，由方程x28x15=0解得x=3或x=5B=3，5由A（AB）=3，5知，3A，5A（否則5AB，與AB=3矛盾）.故必有

3、A=3，方程x2axb=0有兩相同的根3由韋達(dá)定理得33=a，33=b，即a=6，b=9，c=8例3、已知A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0，且AB=x|0x2，ABxx2，求a、b的值解：A=x|2x1或x0，設(shè)B=x1，x2，由AB=（0，2知x22，且1x10，由AB=（2，）知2x11.由知x11，x22，a（x1x2）1，bx1x22例4、已知A=x|x2axa219=0，B=x|x25x8=2，C=x|x22x8=0.若AB，且AC=，求a的值解：B=x|(x3)(x2)=0=3，2，C=x|(x4)(x2)=0=4，2，又AB，AB又AC=，可知4A，2A，3A由93

4、aa219=0，解得a=5或a=2當(dāng)a=5時，A=2，3，此時AC=2，矛盾，a5；當(dāng)a=2時，A=5，3，此時AC=，AB=3，符合條件綜上知a=2例5、已知全集U=不大于20的質(zhì)數(shù)，M，N是U的兩個子集，且滿足M（）=3，5，（）N=7，19，（）（）=2，17，求M、N解：用圖示法表示集合U，M，N（如圖），將符合條件的元素依次填入圖中相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，由圖可知： M=3，5，11，13，N=7，11，13，19.點評：本題用填圖的方法使問題輕松地解決，但要注意的是在填圖時，應(yīng)從已知區(qū)域填起，從已知區(qū)域推測未知區(qū)域的元素 特別提示：下列四個區(qū)域：對應(yīng)的集合分別是：；一、選

5、擇題1、下列命題中，正確的是（）A若U=R，AU，；B若U為全集，表示空集，則=；C若A=1，2，則2A；D若A=1，2，3，B=x|xA，則AB2、設(shè)數(shù)集且M、N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“長度”，那么集合MN的“長度”的最小值是（）A BC D3、設(shè)M、N是兩個非空集合，定義M與N的差集為MN=x|xM且xN，則M（MN）等于（）AN BMNCMN DM4、已知全集，集合M和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A3個 B2個C1個 D無窮個1、=U，2A，2單獨看是一個集合，但它又是A中的一個元素2、集合M的“長度”為，集合

6、N的“長度”為，而集合x|0x1的“長度”為1，故MN的“長度”最小值為3、MN=x|xM且xN是指圖（1）中的陰影部分同樣M（MN）是指圖（2）中的陰影部分4、圖形中的陰影部分表示的是集合，由解得集合，而N是正奇數(shù)的集合，故選B二、填空題5、已知集合A=x|x23x2=0，集合B=x|ax2=0（其中a為實數(shù)），且AB=A，則集合C=a|a使得AB=A=_5、0，1，2解析：A=1，2，由AB=A，得BA1A，即得a=2；或2A，即得a=1；或B=，此時a=0.C=0，1，26、非空集合S1，2，3，4，5，且若aS，則6aS，這樣的S共有_個6、6解析：S=1，5或2，4或3，或1，3，5

7、，或2，4，3，或1，5，2，4三、解答題7、設(shè)集合.（1）若，求實數(shù)a的值（2）若，求實數(shù)a的值7、解：（1）9，9A.則a2=9或.解得a=±3或5.當(dāng)時，（舍）；當(dāng)時，（符合）；當(dāng)時，（符合）.綜上知或.（2）由（1）知.8、已知全集UR，0，或x，若，求實數(shù)的取值范圍8、解：依題設(shè)可知全集且05，由題設(shè)可知.分類如下：若，則m12m1m2.若，則m12m1，且，解得2m3.由可得：m3.實數(shù)m的取值范圍為m|m3.9、已知全集U=|a1|，(a2)(a1)，4，6（1）若求實數(shù)a的值；（2）若求實數(shù)a的值9、解：（1）且BU，|a1|=0，且(a2)(a1)=1，或|a1|=

8、1，且(a2)(a1)=0；第一種情況顯然不成立，在第二種情況中由|a1|=1得a=0或a=2，a=2.（2）依題意知|a1|=3，或(a2)(a1)=3，若|a1|=3，則a=4，或a=2；若(a2)(a1)=3，則經(jīng)檢驗知a=4時，(42)(41)=6，與元素的互異性矛盾a=2或10、設(shè)集合A =|，B =|，若AB=B，求實數(shù)的值10、解：先化簡集合A=. 由AB=B，則BA，可知集合B可為，或為0，或4，或(i)若B=，則，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，當(dāng)=1時，B=A，符合題意；當(dāng)=時，B=0A，也符合題意(iii)若4B，代入得=7或=1，當(dāng)=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當(dāng)

9、=7時，B=12，4，不符合題意綜上可得，=1或11、已知集合A=x|x24mx2m6=0，B=x|x0，若AB，求實數(shù)m的取值范圍11、解：設(shè)全集若方程x24mx2m6=0的兩根x1，x2均非負(fù)，則解得m|關(guān)于U的補(bǔ)集是m|m1，實數(shù)m的取值范圍是m|m11、（全國I，1）設(shè)集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R，集合A=x|x22x>0，則等于（）Ax|0x2Bx|0<x<2Cx|x<0或x>2 Dx|x0或x2答案：A解析：x22x>0，x

10、(x2)>0，得x<0或x>2，A=x|x<0或x>2，.3、（山東，1）集合A=0，2，a，B=1，a2若AB=0，1，2，4，16，則a的值為（）A0B1C2D4答案：D解析：AB=0，1，2，a，a2，又AB=0，1，2，4，16，a，a2=4，16，a=4，故選D集合中的交、并、補(bǔ)等運算，可以借助圖形進(jìn)行思考。圖形不僅可以使各集合之間的相互關(guān)系直觀明了，同時也便于將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合運算能建立在直觀的形象思維基礎(chǔ)上.因此圖形既是迅速理解題意的工具，又是正確解題的手段.例1、某地對農(nóng)戶抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：電冰箱擁有率為49，電視機(jī)擁有率為85

11、，洗衣機(jī)擁有率為44，至少擁有上述三種電器中兩種以上的占63，三種電器齊全的為25，那么一種電器也沒有的相對貧困戶所占比例為（）A10B12C15D27分析：這是一個小型應(yīng)用題把各種人群看做集合，本題就是已知全集元素個數(shù)，求其某個子集的元素個數(shù)，可借助Venn圖解法解：不妨設(shè)調(diào)查了100戶農(nóng)戶，U被調(diào)查的100戶農(nóng)戶，A100戶中擁有電冰箱的農(nóng)戶，B100戶中擁有電視機(jī)的農(nóng)戶，C100戶中擁有洗衣機(jī)的農(nóng)戶，由圖知，的元素個數(shù)為498544632590則的元素個數(shù)為10090=10答案：A一般此類題利用Venn圖直觀手段，使集合中元素的個數(shù)，以及集合間的關(guān)系更直接的顯示，進(jìn)而根據(jù)圖逐一把文字陳述的語句“翻譯”為數(shù)學(xué)符號語言，通過解方程和限制條件的運用解決問題。變式延伸某車間有120