第五章 矩陣的特征值與特征向量

1、第五章第五章 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量一、矩陣的特征值和特征向量；一、矩陣的特征值和特征向量； 主要內(nèi)容主要內(nèi)容二、相似矩陣和矩陣可對角化條件；二、相似矩陣和矩陣可對角化條件；三、實對稱矩陣的對角化。三、實對稱矩陣的對角化。第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量定義定義5.15.1.1 基本概念基本概念設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的 階矩陣階矩陣, 如果對于數(shù)如果對于數(shù)域域 中的一個數(shù)中的一個數(shù) , 存在非零存在非零 維列向量維列向量 , 使得使得AFnF0n0,(5.1)A 則稱則稱 為為 的一個的一個特征值特征值, 稱為稱為 的屬于特征的屬于特征值值

2、的的特征向量特征向量. 由此可見由此可見, 特征向量與特征值的概念相關(guān)聯(lián)特征向量與特征值的概念相關(guān)聯(lián),且特征向量一定且特征向量一定0AA0是非零列向量是非零列向量. 根據(jù)矩陣的運算根據(jù)矩陣的運算, 容易得出特征值與特征向容易得出特征值與特征向量的下列一些基本性質(zhì)量的下列一些基本性質(zhì).性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè) 是矩陣是矩陣 的屬于的屬于 的特征向量的特征向量, 對任意對任意 的非零常數(shù)的非零常數(shù) , 則則 也是矩陣也是矩陣 的屬于的屬于 的特征的特征向量向量.A0kkA0證明證明: 因為由因為由可得可得0,A 00()()()(),A kk Akk 所以所以, 也是矩陣也是矩陣 的屬于的屬于 的特征向量

3、的特征向量.kA0性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè) 都是矩陣都是矩陣 的屬于的屬于 的特征向量的特征向量,12, A0則當(dāng)則當(dāng) 時時, 也是也是 的屬于的屬于 的特的特12o征向量征向量.12A0證明證明: 因為因為101,A 202,A 所以所以12120102012()().AAA 綜合上述兩性質(zhì)可知，矩陣綜合上述兩性質(zhì)可知，矩陣 A的屬于同一特征值的屬于同一特征值 0的有限個特征向量的有限個特征向量 12,l 的任意一個非零線性組合的任意一個非零線性組合 1122llkkk 也是矩陣也是矩陣 A 的屬于特征值的屬于特征值 0的特征的特征向量。向量。12也是也是 的屬于的屬于 的特的特A0征向量征向量.即

4、即注注: 在討論在討論 的特征值問題時的特征值問題時, 必須是方陣必須是方陣, 其特征值可能是實數(shù)其特征值可能是實數(shù), 也可能是復(fù)數(shù)也可能是復(fù)數(shù).AA例例.設(shè)設(shè)23,14A05,1,1 因為因為2315,1415A 0155,15 所以所以0,A 故故 有一個特征值為有一個特征值為 , 是是 的的屬于特征值屬于特征值 的特征向量的特征向量.A5(1,1)TA55.1.2 特征值與特征向量的計算方法特征值與特征向量的計算方法設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的 階矩陣階矩陣, 如果如果 是是 的特的特征值征值, 是是 的屬于的屬于 的特征向量的特征向量, 則則AFnA0A00.A 即即00().AoEA

5、o 因為因為, o所以所以 是齊次線性方程組是齊次線性方程組0()(5.2)EA Xo非零解非零解. 而齊次線性方程組而齊次線性方程組(5.2)有非零解的充分有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣必要條件是其系數(shù)矩陣 的行列式等于零的行列式等于零.0EA即即00.EA定義定義5.2 設(shè)設(shè) 為一個方陣為一個方陣, EAA其行列式其行列式 稱為稱為 的的特征多項式特征多項式, EA 稱為稱為 的的特征方程特征方程, 0EA的特征值的特征值.AAAA定理定理5.1 設(shè)設(shè) 是是 階矩陣階矩陣, 則則 是是 的特征值的特征值, 是是 的屬于的屬于 的特征向量的充分必要條件是的特征向量的充分必要條件是 是是特

6、征方程特征方程 的根的根, 是齊次線性方程是齊次線性方程組組 的非零解的非零解.An0AA000EA0()EA Xo則稱矩陣則稱矩陣 為為的的特征矩陣特征矩陣,其根為其根為若特征方程在數(shù)域若特征方程在數(shù)域 上沒有根上沒有根, 則則 沒有特沒有特征值征值. 若特征方程在數(shù)域若特征方程在數(shù)域 上有根上有根, 則則 有特征有特征 值值; 特征方程的全部根就是特征方程的全部根就是 的全部特征值的全部特征值.FAFAA求求 的屬于特征值的屬于特征值 的全部特征向量的全部特征向量, 就是就是求齊次線性方程組求齊次線性方程組0()EA Xo的全部非零解的全部非零解.A0根據(jù)定理根據(jù)定理5.1, 求求 的特征

7、值就是求特征方程的特征值就是求特征方程0EA的根的根.A對于每一個特征值對于每一個特征值 i，求出齊次線性方程組求出齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系的一個基礎(chǔ)解系 , 那么那么 就是就是 A的屬于的屬于 的全部特征向量，其中的全部特征向量，其中 為不全為不全為零的任意數(shù)為零的任意數(shù) iEA Xo2,1,s 1siiiXki12,sk kk綜上所述綜上所述, ,求求 n階矩陣階矩陣 A的特征值與特征向量的步的特征值與特征向量的步驟驟: 第一步求第一步求 A的全部特征值，即求特征方程的全部特征值，即求特征方程 | 0EA的全部根；的全部根； 第二步求第二步求 A的特征向量的特征向量 例例1.求求 1

8、11242335A的特征值及特征向量的特征值及特征向量. 解解: 因為因為 2111242(2) (6),335EA 所以所以 A的全部特征值為的全部特征值為 126,2(二重二重). 對于對于 16,解齊次線性方程組解齊次線性方程組 6,EA Xo由由 132135111022201,331000EA 可知可知 1EA的秩為的秩為 2,r 有有 321nr個自由未知量個自由未知量 取為取為 3.x由由 132310,320,3xxxx求得它的一個基礎(chǔ)解系為求得它的一個基礎(chǔ)解系為 1(1, 2,3) .T所以所以 A的屬于特征值的屬于特征值 6的全部特征向量為的全部特征向量為 (1, 2,3)

9、 ,Tkk為任意非零數(shù)為任意非零數(shù). 對于對于 22,解齊次線性方程組解齊次線性方程組 2,EA Xo由由 2111111222000,333000EA 可知可知 2EA的秩為的秩為 1,r 有有 3 12nr 個自由未知量個自由未知量, 取為取為 23,.x x由由 1230,xxx求得它的一個基礎(chǔ)解系為求得它的一個基礎(chǔ)解系為 23( 1,1,0) ,(1,0,1) .TT 所以所以 A的屬于特征值的屬于特征值 2的全部特征向量為的全部特征向量為 12( 1,1,0)(1,0,1) ,TTkk其中其中 12,k k為不全為零的任意數(shù)為不全為零的任意數(shù). (容易證明容易證明 123, 是線性無

10、關(guān)的是線性無關(guān)的.) 注注: 此例中有一個二重特征值此例中有一個二重特征值, 相應(yīng)的特征向量的基礎(chǔ)相應(yīng)的特征向量的基礎(chǔ) 解系中包含兩個線性無關(guān)的向量解系中包含兩個線性無關(guān)的向量. 例例2.求矩陣求矩陣 122212221A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解: 因為因為 A的特征多項式為的特征多項式為 122212(1)(1)(3),221EA 所以所以 A的全部特征值為的全部特征值為 1231,1,3. 利用解齊次線性方程組利用解齊次線性方程組, 可以求得可以求得: A的屬于特征值的屬于特征值 1的全部特征向量為的全部特征向量為 1(1, 1,0) ,Tk其中其中 1k為任意非零數(shù)為

11、任意非零數(shù). A的屬于特征值的屬于特征值 1的全部特征向量為的全部特征向量為 其中其中 2k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù). 2(1, 1,1) ,TkA的屬于特征值的屬于特征值 3的全部特征向量為的全部特征向量為 其中其中 3k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù). 3(0,1, 1) ,Tk容易證明容易證明 (1, 1,0) ,(1, 1,1) ,(0,1, 1)TTT線性無關(guān)線性無關(guān). 注注: 該例中有三個不同的特征值該例中有三個不同的特征值, 相應(yīng)的特征向量線相應(yīng)的特征向量線 性無關(guān)性無關(guān). 例例3. 求矩陣求矩陣 0,00aAaa的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解: 因為因為 A的特征多項式

12、為的特征多項式為 22,aEAaa所以所以, 若在實數(shù)域內(nèi)討論若在實數(shù)域內(nèi)討論, 則則 A無特征值無特征值; 若在復(fù)數(shù)域內(nèi)若在復(fù)數(shù)域內(nèi)討論討論,則則 A有特征值有特征值 12,(1).aiai i 對于對于 1,ai解齊次線性方程組解齊次線性方程組 ,aiEA Xo由由 11,00aiaiEAaai可知方程組的一般解為可知方程組的一般解為 12,xix 于是它有一個基礎(chǔ)于是它有一個基礎(chǔ)解系為解系為 1(1, ) .TiA的屬于特征值的屬于特征值 ai的全部特征向量的全部特征向量為為1(1, ) ,Tki其中其中 1k為任意非零復(fù)數(shù)為任意非零復(fù)數(shù). 對于對于 2,ai 解齊次線性方程組解齊次線性

13、方程組 ,aiEA Xo由由 21,00aiaiEAaai可知方程組的一般解為可知方程組的一般解為 12,xix于是它有一個基礎(chǔ)于是它有一個基礎(chǔ)解系為解系為 2(1,) .TiA的屬于特征值的屬于特征值 ai的全部特征向量的全部特征向量為為2(1,) ,Tki 其中其中 2k為任意非零復(fù)數(shù)為任意非零復(fù)數(shù). 例例4. 如果矩陣如果矩陣 A滿足滿足 2,AA則稱則稱 A為為冪等矩陣冪等矩陣. 試證冪等矩陣的特征值只能是試證冪等矩陣的特征值只能是 0或或 1.證明證明: 設(shè)設(shè) 為為 A的任意一個特征值的任意一個特征值, A的屬于的屬于 的一個的一個 特征向量為特征向量為 .于是有于是有 ,A等式兩邊

14、左乘等式兩邊左乘 A得得: 2,AA 即即 ,A所以所以 2, 由此可得由此可得 2(), o 又因為又因為 , o所以有所以有 20,由此得由此得 0或或 1.再由再由 的任意性可知的任意性可知: 冪等矩陣的特征值只能是冪等矩陣的特征值只能是 0或或 1.矩陣的特征值與其特征多項式的系數(shù)之間的關(guān)系矩陣的特征值與其特征多項式的系數(shù)之間的關(guān)系:1. 設(shè)設(shè) A為二階矩陣的簡單情形為二階矩陣的簡單情形, 即即 11122122,aaAaa則則 11122122aaEAaa11221221aaa a2112211221221.aaa aa a由此可知由此可知, 二階矩陣二階矩陣 A相應(yīng)的特征多項式為相

15、應(yīng)的特征多項式為 的二次的二次多項式多項式, 記為記為 ( ),f即即 ( ).fEA其特點為其特點為: 首項系數(shù)為首項系數(shù)為 1,一次項系數(shù)為一次項系數(shù)為 A中主對角線中主對角線元素之和的相反數(shù)元素之和的相反數(shù);常數(shù)項為常數(shù)項為 A的行列式之值的行列式之值. 2. 設(shè)設(shè) A為一般的為一般的 n階矩陣階矩陣, 即即 ,ijn nAa其特征多項式為其特征多項式為 111212122212( )nnnnnnaaaaaafEAaaa1122.nnaaa因為上式為因為上式為 n階行列式階行列式, 其展開式共有其展開式共有 !n項項, 只寫出主只寫出主對角線上元素連乘積一項對角線上元素連乘積一項, 其余

16、其余! 1n 項用省略號代替項用省略號代替. 通過計算可知通過計算可知:11122( )(5.3)nnnnfaaa由此可知多項式由此可知多項式 ( )f具有下述特點具有下述特點: (1). ( )f是首項系數(shù)為是首項系數(shù)為 1的的 的的 n次多項式次多項式; (2). ( )f的的 1n項的系數(shù)是項的系數(shù)是 1122,nnaaa括號內(nèi)是括號內(nèi)是 的主對角線元素之和的主對角線元素之和; A(3). ( )f的常數(shù)項為的常數(shù)項為 (0)0( 1);nfEAAA (4). 根據(jù)多項式理論根據(jù)多項式理論, ( )f在復(fù)數(shù)域上恰好有在復(fù)數(shù)域上恰好有 n個根個根, 設(shè)為設(shè)為 12,.n 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系

17、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系, 有有 121122;nnnaaa12.nA5.1.3 矩陣的跡矩陣的跡 定義定義5.3 設(shè)設(shè) ijAa為為 n階矩陣階矩陣, A的主對角線元素之和的主對角線元素之和稱為稱為 A的的跡跡, 記為記為 ;trA即即 1122( ).nntr Aaaa矩陣的跡的性質(zhì)矩陣的跡的性質(zhì): 1. ()( )( ).tr ABtr Atr B2. ()( ).tr kAktr A3. ()( ).Ttr Atr A4. ()().tr ABtr BA5. ()()().tr ABCtr BCAtr CAB6. 設(shè)設(shè) A有有 n個特征值個特征值 12,n 則則 12( ).ntr A例例8

18、. 設(shè)設(shè) ,A B均為均為 n階矩陣階矩陣, 且且 1BUAU( U為為 n階可逆階可逆矩陣矩陣), 則則( )( ).tr Atr B證明證明: 利用性質(zhì)利用性質(zhì)5, 得得 11( )()()( ).tr Btr UAUtr AUUtr A第二節(jié)第二節(jié) 相似矩陣與可對角化條件相似矩陣與可對角化條件5.2.1 相似矩陣相似矩陣 定義定義5.4 設(shè)設(shè) A與與 B都是都是 n階矩陣階矩陣, 如果存在一個可逆矩陣如果存在一個可逆矩陣 ,U使得使得 1,BUAU則稱則稱 A與與 B是是相似相似的的, 或或 A與與 B是是相似相似矩陣矩陣, 記為記為.AB注注: 需要證明需要證明 AB時時, 就是要找到

19、滿足條件的就是要找到滿足條件的 U即可即可. 例例1. ,.EEkEkE證明證明: 因為對任一可逆矩陣因為對任一可逆矩陣 ,U都有都有 1,EUEU1,kEU kEU所以所以 ,.EEkEkE例例2. 設(shè)設(shè) 211111,100112ABU因為因為 11112111121012UAU 211011,111101B所以所以 .AB相似相似是矩陣之間的一種是矩陣之間的一種關(guān)系關(guān)系, 作為關(guān)系它具有下述性質(zhì)作為關(guān)系它具有下述性質(zhì): 1. 反身性反身性: 對任意方陣對任意方陣 ,A都有都有 1. ()AAAE AE2. 對稱性對稱性: 若若 ,AB則則 .BA1111,.BUAUAUB U3. 傳遞性

20、傳遞性: 若若 ,ABBC則則 .AC證明證明: 因為因為 ,ABBC所以存在可逆矩陣所以存在可逆矩陣 12,U U使得使得 111122,BUAUCU BU因此有因此有 11112221121212,CU BUUUAU UUUA UU所以所以 .AC相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì): 1. 相似矩陣有相同的行列式相似矩陣有相同的行列式; 2. 相似矩陣或者都可逆或者都不可逆相似矩陣或者都可逆或者都不可逆. 當(dāng)它們可逆時當(dāng)它們可逆時, 它們的逆矩陣也相似它們的逆矩陣也相似. 證明證明: 設(shè)設(shè) ,AB由性質(zhì)由性質(zhì)1有有 ,AB所以所以 A與與 B同時不為零或為零同時不為零或為零, 因此因此 A與與

21、B同時可逆或不可逆同時可逆或不可逆. 若若 A與與 B均可逆均可逆, 因為因為 ,AB所以存在可逆矩陣所以存在可逆矩陣 ,U使得使得 1,BUAU則有則有 1111111,BUAUUA U即即 11.AB3. 相似矩陣的冪仍相似相似矩陣的冪仍相似. 即即 若若 ,AB則有則有 .kkAB為任意非負整數(shù)為任意非負整數(shù). 其中其中k證明證明: 當(dāng)當(dāng) 0k 時時, 00.AB當(dāng)當(dāng) 0k 時時, 如果如果 1,BUAU則則 11111kkBUAUUAUUAUUAUUAU111111() ()(),kUA UUA UUUUA UUAUUA U即即 .kkAB4. 相似矩陣有相同的特征多項式相似矩陣有相同

22、的特征多項式. 證明證明: 111EBEUAUUEUUAU11()UEA UUEA U5. 相似矩陣有相同的特征值相似矩陣有相同的特征值. 6. 相似矩陣有相同的跡相似矩陣有相同的跡. 7. 相似矩陣有相同的秩相似矩陣有相同的秩. .EA5.2.2 A與對角矩陣相似的條件與對角矩陣相似的條件 問題問題1. 對對 n階矩陣階矩陣 ,A任意給定一個可逆矩陣任意給定一個可逆矩陣 U就有就有 1UAU與與 A相似相似, 所以與所以與 A相似的矩陣很多相似的矩陣很多, 而相似而相似矩陣有許多共同的性質(zhì)矩陣有許多共同的性質(zhì), 因此在因此在A的眾多的相似的眾多的相似矩陣中任何尋找一個最簡單的矩陣可以作為這一

23、矩陣中任何尋找一個最簡單的矩陣可以作為這一相似類的代表相似類的代表?問題問題2. 如何求可逆矩陣如何求可逆矩陣 ,U使使 1UAU就是這個最簡單的就是這個最簡單的矩陣矩陣? 為了解決以上兩個問題為了解決以上兩個問題, 先看一看什么矩陣最簡單先看一看什么矩陣最簡單, 最簡單的矩陣是最簡單的矩陣是,E kE而它們的相似矩陣只有它本身而它們的相似矩陣只有它本身, 因此因此 A不能與不能與 E或或 kE相似相似. 僅次于僅次于 E或或 kE的最簡單矩陣的最簡單矩陣是對角矩陣是對角矩陣, 則上面的兩個問題轉(zhuǎn)化為則上面的兩個問題轉(zhuǎn)化為:A能否相似于一個對角矩陣能否相似于一個對角矩陣? 定理定理5.2 數(shù)域

24、數(shù)域 F上的上的 n階矩陣階矩陣 A相似于對角矩陣的充分相似于對角矩陣的充分必要條件是必要條件是:A有有 n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量. 證明證明: 必要性必要性 設(shè)設(shè) ,A其中矩陣其中矩陣 120000.00n 從而存在可逆矩陣從而存在可逆矩陣 ,U使得使得 1,UAU 即即 .AUU記記 U的列向量組為的列向量組為 12,.n 由上式得由上式得: ,(1,2, );iiiAin從而從而1212120000(,)(,),00nnnA 即即 121122(,)(,),nnnAAA 于是有于是有 (1,2, )iin是是 A的屬于特征值的屬于特征值 i的特征向量的特征向量. 由于由

25、于 U是可逆矩陣是可逆矩陣, 所以所以 12,n 線性無關(guān)線性無關(guān). 充分性充分性 設(shè)設(shè) A有有 n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 12,n 對應(yīng)的特征值依次為對應(yīng)的特征值依次為 12,n 即即 ,(1,2, );iiiAin則以則以 12,n 為列向量組組成的矩陣記為為列向量組組成的矩陣記為 ,U即即 12(,).nU 由于由于 12,n 線性無關(guān)線性無關(guān), 所以所以 U可逆可逆. 再由再由 111222,nnnAAA 可得可得 1212120000(,)(,),00nnnA 即即 .AUU于是于是 1.UAU 即即 .A注注: 矩陣矩陣 A是否與對角矩陣相似是否與對角矩陣相似 A

26、是否有是否有 n個線性個線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量. 如果能求出如果能求出 A的的 n個線性無關(guān)的特個線性無關(guān)的特征向量征向量12,n 令令 12(,)nU 就能使就能使 1UAU 為對角矩陣為對角矩陣, 且對角矩陣的主對角線上的且對角矩陣的主對角線上的元素依次為元素依次為12,.n 12,n 所屬的特征值所屬的特征值 定理定理5.3 設(shè)設(shè) 12,m 為數(shù)域為數(shù)域 F上的上的 ()nm階矩陣階矩陣 A的的不同特征值不同特征值.12,m 分別是屬于分別是屬于 12,m 的的特征向量特征向量, 則則12,m 線性無關(guān)線性無關(guān). 證明證明: 對特征值的個數(shù)對特征值的個數(shù) m作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸

27、納法. 當(dāng)當(dāng) 1m 時時, 因為因為 1是特征向量是特征向量, 1, o所以所以 1線性線性無關(guān)無關(guān).假設(shè)假設(shè) 1ms時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 即即 121,s 線性無關(guān)線性無關(guān). 需證需證 ms時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 如果如果112211,(5.4)sssskkkko將將(5.4)式左乘式左乘 A得得 112211,ssssk Ak AkAk Ao 即即 1 11222111,(5.5)sssssskkkko 再將再將(5.4)式兩邊乘式兩邊乘 s得得 112211,(5.6)sssssssskkkko(5.5)式減去式減去(5.6)式式, 得得 111222()()sskk 111(),ss

28、sssskko 根據(jù)歸納假設(shè)根據(jù)歸納假設(shè): 121,s 線性無關(guān)線性無關(guān). 于是于是 112211()0,()0,()0.ssssskkk由于由于 12,s 互不相同互不相同, 所以所以 1210,0,0.skkk代入代入(5.4)式得式得 ,ssko又因為又因為 s為特征向量為特征向量, ,so所以所以 0.sk 于是于是(5.4)式中的系數(shù)都等于零式中的系數(shù)都等于零, 即即 120,0,0.skkk所以所以 12,s 線性無關(guān)線性無關(guān). 由歸納法原理知由歸納法原理知, m為任一正整數(shù)時為任一正整數(shù)時, 結(jié)論都成立結(jié)論都成立. 定理定理5.4 設(shè)設(shè) 是矩陣是矩陣 A的特征多項式的重根的特征多

29、項式的重根, 則則 A的屬于的屬于特征值特征值 的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)最多有的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)最多有 k個個. 注注: 一重特征值只有一個特征向量一重特征值只有一個特征向量; 屬于屬于 k重特征值的重特征值的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)不超過線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)不超過k個個. 定理定理5.5 設(shè)設(shè) 12,m 為數(shù)域為數(shù)域 F上的上的 ()nm階矩陣階矩陣 A的的不同特征值不同特征值.12,iiiis 是屬于是屬于 i的特征向量的特征向量, 則向量則向量線性無關(guān)線性無關(guān). 12111212122212,;,;,mssmmms注注: 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征

30、向量是線性無關(guān)的. 定理定理5.6 如果數(shù)域如果數(shù)域 F上的上的 n階矩陣階矩陣 ,A有有 n個不同的特征值個不同的特征值, 則則 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似. 推論推論: 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域C上的上的 n階矩陣階矩陣 A的特征多項式如果沒有重的特征多項式如果沒有重根根, 則則 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似. 證明證明: 因為復(fù)數(shù)域因為復(fù)數(shù)域C上的任一上的任一 n次多項式都有次多項式都有 n個根個根, 又因為沒有重根又因為沒有重根, 所以所以A有有 n個不同的特征值個不同的特征值. 根據(jù)定理根據(jù)定理5.6知知, A與對角矩陣相似與對角矩陣相似. 如果如果 階矩陣階矩陣 An相似于對角矩陣相似于

31、對角矩陣, 則稱則稱 A可對角化可對角化. 根據(jù)上面的討論根據(jù)上面的討論, 如果如果 A沒有重特征值沒有重特征值, 則則 A必可對角化必可對角化; 如果如果 A有重特征值有重特征值, 不妨設(shè)為不妨設(shè)為 12,m 屬于它們的線屬于它們的線性無關(guān)的特征向量如下性無關(guān)的特征向量如下:1211112122122212:,;:,;:,.mssmmmms根據(jù)定理根據(jù)定理5.5, 這是這是 A的全部線性無關(guān)的特征向量的全部線性無關(guān)的特征向量, 共有共有 s個個, 即即 12.mssss若若 ,sn則則 A可對角化可對角化; 若若 ,sn則則 A不可對角化不可對角化. 若若 A可對角化可對角化; 則把則把 A

32、化為對角矩陣的一般步驟化為對角矩陣的一般步驟: 1. 求出求出 A的全部特征值和全部線性無關(guān)的特征向量的全部特征值和全部線性無關(guān)的特征向量. 2. 用已求出的全部線性無關(guān)的特征向量作為矩陣用已求出的全部線性無關(guān)的特征向量作為矩陣 U的列的列. 3. 寫出寫出 1,UAU 其中其中 是對角矩陣是對角矩陣, 其主對角線元其主對角線元素為素為A的全部特征值的全部特征值. 例例3. 已知已知 122212 ,221A求矩陣求矩陣 ,U使得使得 1UAU為對角矩陣為對角矩陣. 解解: 因為在因為在5.1的例的例5 中已求出中已求出 A的全部特征值的全部特征值: 1231,1,3. 對應(yīng)的特征向量分別為對

33、應(yīng)的特征向量分別為 123(1, 1,0) ,(1, 1,1) ,(0,1, 1) .TTT顯然三個特征值不相同顯然三個特征值不相同, 所以所以 A可對角化可對角化. 令令 110111,011U 則則 1100010 .003UAU例例4. 已知已知 111242 ,335A求矩陣求矩陣 ,U使得使得 1UAU為對角矩陣為對角矩陣. 解解: 由由5.1的例的例3 知，知， A的特征值為的特征值為 126,2 (二重根二重根); 對應(yīng)對應(yīng) 1的特征向量為的特征向量為 1(1, 2,3) ;T對應(yīng)對應(yīng) 2的線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量為的特征向量為23(1, 1,0) ,(1,0,1) .TT因

34、為因為 A的全部線性無關(guān)特征向量的個數(shù)為的全部線性無關(guān)特征向量的個數(shù)為3, 所以所以 A可可對角化對角化. 令令 111210 ,301U 則則 1600020 .002UAU例例5. 已知已知 421201 ,110A 是否存在矩陣是否存在矩陣 ,U使得使得 1UAU為對角矩陣為對角矩陣. 解解: 由上一節(jié)的例由上一節(jié)的例4 知知, A有特征值有特征值 120,2(二重根二重根); 對應(yīng)對應(yīng) 1的特征向量為的特征向量為 1(1, 1, 2) ;T 對應(yīng)對應(yīng) 2的線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量為的特征向量為2(1, 1,0) .T從而從而 A的全部線性無關(guān)的的全部線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為特征向量

35、個數(shù)為23,所以所以 A不可對角化不可對角化. 故不存在矩陣故不存在矩陣 ,U使得使得 1UAU為對角矩陣為對角矩陣. 注注: 盡管盡管 A不可對角化不可對角化, 但存在一個可逆矩陣但存在一個可逆矩陣 :U1515151111,20U 11144213114425522,0U使得使得 1000021 .002UAU它稱為它稱為 A的的約當(dāng)約當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)性標(biāo)準(zhǔn)性. 5.2.3 約當(dāng)形矩陣簡介約當(dāng)形矩陣簡介 一般的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)性矩陣是由一般的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)性矩陣是由約當(dāng)塊約當(dāng)塊構(gòu)成的構(gòu)成的. 約當(dāng)塊的約當(dāng)塊的一般形式為下面的一般形式為下面的 s階矩陣階矩陣: 100010,001000s sJ 其

36、中其中 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù). 特別地特別地, 任意一個一階矩陣都是一階約當(dāng)塊任意一個一階矩陣都是一階約當(dāng)塊. 約當(dāng)形矩陣就是由一些約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣約當(dāng)形矩陣就是由一些約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣: 12,sJOOOJOOOJ其中其中 12,sJ JJ為約當(dāng)塊為約當(dāng)塊. 特別地特別地, 對角矩陣是約當(dāng)形矩陣的特例對角矩陣是約當(dāng)形矩陣的特例. 定理定理: 復(fù)數(shù)域上的任一復(fù)數(shù)域上的任一 n階矩陣階矩陣 A都相似于一個約當(dāng)形都相似于一個約當(dāng)形矩陣矩陣. J J的主對角線上的元素就是的主對角線上的元素就是 A的所有特征的所有特征值值, 并且在并且在J的主對角線上的任一特征值出現(xiàn)的的主對角線上的任一特征值出現(xiàn)的

37、次數(shù)等于它的重數(shù)次數(shù)等于它的重數(shù). 5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化5.3.1 階實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)階實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)定理定理5.7 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)實對稱矩陣的特征值都是實數(shù). 證明證明: 設(shè)設(shè) nA為實對稱矩陣為實對稱矩陣, 為為 A的任一特征值的任一特征值. 設(shè)設(shè) ,(1),abi iA的屬于的屬于 的復(fù)特征向量為的復(fù)特征向量為 ,i則則 ()()()(),Aiiabii 即即 (),AiAabi ba比較實部和虛部比較實部和虛部, 得得 ;.AabAba用用 T左乘第一式左乘第一式, 用用 T左乘第二式左乘第二式, 得得;.TTT

38、TTTAabAba 因為因為 A為實對稱矩陣為實對稱矩陣, TA為一純量為一純量(數(shù)數(shù)), 所以所以 ,TTTTAAA又因為又因為 ,TT 上面兩式相減得上面兩式相減得: 0,TTb 又因為特征向量是非零向量又因為特征向量是非零向量, 所以所以 0,0,TT 故故 0.b 即即 為實數(shù)為實數(shù). 定理定理5.8 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的正交的.證明證明: 設(shè)設(shè) A為實對稱矩陣為實對稱矩陣, 12, 分別是分別是 A的屬于特征值的屬于特征值 12, 的特征向量的特征向量, 且且 12.于是于是 111222,AA 且且 12,oo所以有所以

39、有 2112112212,.TTTTAA 因為因為 A為實對稱矩陣為實對稱矩陣, 21TA為一純量為一純量(數(shù)數(shù)), 故故 2112,TTTAA因此因此 121212.TT 又因為又因為 2112,TT 所以所以 1221()0.T 而而 12,所以所以 210.T 即即 1與與 2正交正交. 注注: 可以證明可以證明: 如果實對稱矩陣的特征值如果實對稱矩陣的特征值 的重數(shù)是的重數(shù)是 k(即即 是是 k重根重根), 則則 A恰好有恰好有 k個屬于特征值個屬于特征值 的線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量的特征向量. 利用施密特正交化方法可把這利用施密特正交化方法可把這k個向量個向量正交化正交化. 它們

40、仍然是它們?nèi)匀皇茿的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量的特征向量. 故故 n階實對稱矩陣階實對稱矩陣 A一定有一定有 n個正交的特征向量個正交的特征向量. 定理定理5.9 設(shè)設(shè) A為為 n階實對稱矩陣階實對稱矩陣, 則存在一個正交矩陣則存在一個正交矩陣 ,Q使得使得 1Q AQ為對角矩陣為對角矩陣 .在已知實對稱矩陣在已知實對稱矩陣 A的條件下的條件下, 求正交矩陣求正交矩陣 Q的方法的方法: 因為因為 A有有 n個正交的特征向量個正交的特征向量, 將其單位化將其單位化, 記為記為 12,n 它們是一個單位正交向量組它們是一個單位正交向量組, 即即 ( ,1,2, ).Tijiji jn 令矩

41、陣令矩陣 12(,),nQ 由定理由定理4.4知知 Q為正交矩陣為正交矩陣. 設(shè)設(shè) 12,n 分別為分別為 A的屬于的屬于 12,n 的特征向量的特征向量, 即即 1,2, .iiiAin所以所以 1111(,)(,) ,nnA 其中其中 1.00n 上式即為上式即為 .AQQ由于由于 Q可逆可逆, 則則 1.Q AQ 5.3.2 實對稱矩陣對角化實對稱矩陣對角化實對稱矩陣對角化的步驟實對稱矩陣對角化的步驟:1. 求求 0EA的全部不同的根的全部不同的根 12,m 它們是它們是 A的全部不同的特征值的全部不同的特征值. 2. 對每個特征值對每個特征值 i(設(shè)重數(shù)為設(shè)重數(shù)為 12,imk kkk

42、n), 求求解齊次線性方程組解齊次線性方程組(),iEA XO它的一個基礎(chǔ)解它的一個基礎(chǔ)解系為系為 12,.iiiik 采用施密特正交化方法將其正交采用施密特正交化方法將其正交化得化得 12,.iiiik再將其單位化得再將其單位化得 12,iiiik 它們是單位正交向量組它們是單位正交向量組. 3. 把屬于不同特征值的特征向量組合為一個向量組把屬于不同特征值的特征向量組合為一個向量組: 1212111212122212,;,;,;mmkkmmmk 共有共有 12mkkkn個向量個向量. 以其為列向量組的矩陣以其為列向量組的矩陣 Q就是所求的正交矩陣就是所求的正交矩陣. 4. 1,Q AQ 其主對角線元素依次為其主對角線元素依次為 121122,.mkkkmm 例例1. 求正交矩陣求正交矩陣 ,Q使使 1Q AQ為對角形為對角形, 其中