第4節(jié)_全概率公式與貝葉斯公式

1、1第四節(jié)第四節(jié)2 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率較復雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公式和它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用乘法公式的綜合運用. 綜合運用綜合運用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容互不相容乘法公式乘法公式P(AB)= P(A) P(B | A)P(A)03設設nAAA,21為為一一個個完完備備事事件件組組, ,對對任任一一事事件件B, ,有有 BB 顯顯然然BABABAn,21也也兩兩兩兩互互不不相相容容， ,21BABABAn BAAAn)(21 A1A2A3A4A6A7A5A8B4由

2、概率的由概率的可加性可加性及及乘法公式乘法公式, , 有有 )()(21BABABAPBPn niiBAP1)(. )|()(1 niiiABPAP這個公式稱為這個公式稱為全概率公式全概率公式，它是概率論的基本公式，它是概率論的基本公式. . 設設nAAA,21為為一一個個完完備備事事件件組組, ,對對任任一一事事件件B, ,有有 BB 顯顯然然BABABAn,21也也兩兩兩兩互互不不相相容容， ,21BABABAn BAAAn)(21 5 niiiABPAPBP1)|()()(全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以把較復雜事件概率的利用全概率公式，可以把較復雜事件概率的計算問題，化為若干

3、互不相容的較簡單情形，分計算問題，化為若干互不相容的較簡單情形，分別求概率然后求和別求概率然后求和 6例例1 1庫房內(nèi)有三家工廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品，其中第一、二、庫房內(nèi)有三家工廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品，其中第一、二、三家工廠的產(chǎn)品各占庫房總量的三家工廠的產(chǎn)品各占庫房總量的5 50、30、 20, ,且且三家工廠的次品率分別為三家工廠的次品率分別為 0.01、0.02、0.040.04，現(xiàn)從庫房，現(xiàn)從庫房中任取一件產(chǎn)品，問取出的是次品的概率有多大中任取一件產(chǎn)品，問取出的是次品的概率有多大. .設設A1 1、A2 2 、A3 3分別表示取到一件第一、二、三家工廠的產(chǎn)品；分別表示取到一件第一、二、三家工廠的產(chǎn)品

4、；B表示取到一件次品，表示取到一件次品，解解.019. 004. 02 . 002. 03 . 001. 05 . 0,2 . 0)(,3 . 0)(,5 . 0)(321APAPAP加權(quán)平均加權(quán)平均顯然顯然A1 1、A2 2 、A3 3 構(gòu)成一個完備構(gòu)成一個完備事件組，事件組， 由題意有由題意有 31)|()()(iiiABPAPBP,04. 0)|(,02. 0)|(,01. 0)|(321ABPABPABP由全概率公式，由全概率公式，7例例2 2 袋中有袋中有a個白球個白球b個黑球，不放回摸球兩次，問個黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？第二次摸出白球的概率為多少？解解

5、分別記分別記A, ,B為第一次、第二次摸到白球，為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式, , )|()()|()()(ABPAPABPAPBP baa .baa 可可以以想想見見，第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍為為baa ，這這體體現(xiàn)現(xiàn)了了抽抽簽簽好好壞壞與與先先后后次次序序無無關關的的公公平平性性. . 11 baabab 1 baa8解解例例3 3 袋中有袋中有a個白球個白球b個黑球，分別以個黑球，分別以A, ,B記第一次、記第一次、第二次摸得白球，第二次摸得白球，(1)(1)采用有放回摸球；采用有放回摸球；(2)(2)采用無采用無放回摸球放回摸球，

6、試分別判斷試分別判斷A, ,B的獨立性的獨立性. .(1) (1) 有放回摸球有放回摸球, ,，baaAP )(，22)()(baaABP ，2)()(baabBAP )()()|(APABPABP )()()(BAPABPBP 而而.baa , )()|(BPABP 由于由于所以所以A, ,B相互獨立相互獨立. .全概率公式全概率公式.baa 222)()(baabbaa 9(2) (2) 無放回摸球無放回摸球, ,，baaAP )()()()|(APABPABP )()()(BAPABPBP 而而, )()|(BPABP 由于由于所以所以A, ,B不相互獨立不相互獨立. .,)1)()1(

7、)( babaaaABP,)1)()( babaabBAP)1)()1)()1( babaabbabaaa.11 baa,baa 10 在上面例在上面例1 1中，如中，如買到買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到貝葉斯公式的概率為多大？這就要用到貝葉斯公式. . )()()|(BPBAPBAPkk ,)|()()|()(1 niiikkABPAPABPAP), 2 , 1(nk ( (貝葉斯公式貝葉斯公式) ) 設設nAAA,21為為一一個個完完備備事事件件組組, , 定理定理0)( iAP, ,ni, 1 , ,對對任任一一事事件件B, ,若若0)( B

8、P, ,有有 11 niiikkkABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(貝葉斯公式貝葉斯公式 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在它是在觀察到事件觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的發(fā)生的每個原因每個原因Ak的概率的概率.), 2 , 1(nk 12貝葉斯貝葉斯 Thomas Bayes，英國數(shù)英國數(shù)學家，學家，1702年出生于倫敦，做過年出生于倫敦，做過神甫神甫. 1742年成為英國皇家學會年成為英國皇家學會會員會員. 1763年年4月月7日逝世日逝世. 貝葉斯貝葉斯在數(shù)學方面主要研究概率論在數(shù)學方面主要

9、研究概率論. 他他對統(tǒng)計推理的主要貢獻是使用了對統(tǒng)計推理的主要貢獻是使用了“逆概率逆概率”這個概念這個概念, , 在在1763年年提出了著名的貝葉斯公式提出了著名的貝葉斯公式. . niiikkkABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(), 2 , 1(nk 13)()|()()|(111BPABPAPBAP ,3 . 002. 003. 02 . 0)|(2 BAP.25. 002. 001. 05 . 0)|(3 BAP所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的. . 例例4 4 已知三家工廠的市場占有率分別為已知三家工廠的市場占有率分別為30、20、5

10、0, , 次品率分別為次品率分別為3、3、1. .如果買了一件商如果買了一件商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少別為多少? ? ,45. 002. 003. 03 . 0 :)(iAP0.3, 0.2, 0.5:)|(BAPi0.45, 0.3, 0.25解解14 全概率公式可看成全概率公式可看成 “ “由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果” ,” ,而貝葉斯公式的而貝葉斯公式的作用在于作用在于 “ “由結(jié)果推原因由結(jié)果推原因” :” :現(xiàn)在一個現(xiàn)在一個 “ “結(jié)果結(jié)果” ” A 已經(jīng)發(fā)已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的生了，在眾多可能的 “ “原因

11、原因” ” 中中, ,到底是哪一個導致了這一到底是哪一個導致了這一結(jié)果？結(jié)果？ 故故貝葉斯公式貝葉斯公式也稱為也稱為“逆概公式逆概公式”. .15 在不了解案情細節(jié)在不了解案情細節(jié)(事件事件A)之前，之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，他們作案的可能性有一個估計，設為設為比如原來認為作案可能性較小的某丙比如原來認為作案可能性較小的某丙，現(xiàn)在變成了重現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯點嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人對象有甲、乙、丙三人.丙丙乙乙甲甲P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情細節(jié)后但在

12、知道案情細節(jié)后, 這個估計就有了變化這個估計就有了變化.P(A1 | B)知道知道B發(fā)生后發(fā)生后P(A2 | B) P(A3 | B)偏偏小小最最大大16 在實際工作中檢查的指標在實際工作中檢查的指標 B 一般有多個，綜合這些后驗一般有多個，綜合這些后驗概率，當然會對診斷有很大幫助，在實現(xiàn)計算機自動診斷或概率，當然會對診斷有很大幫助，在實現(xiàn)計算機自動診斷或輔助診斷中，這一方法是有實用價值的輔助診斷中，這一方法是有實用價值的. .17 下面舉一個下面舉一個實際的實際的醫(yī)學例子，說明貝葉斯公式在醫(yī)學例子，說明貝葉斯公式在解決解決實際實際問題中的作用問題中的作用. . )|()()|()()|()(

13、)|(ABPAPABPAPABPAPBAP 解解1 . 09996. 095. 00004. 095. 00004. 0 .0038. 0 例例5 518 因此，雖然檢驗法相當可靠，但被診斷為患肝癌的人真正因此，雖然檢驗法相當可靠，但被診斷為患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相當肝癌的比例相當小小. .當然，醫(yī)生在公布某人患肝癌之前，是不會只做一次或一當然，醫(yī)生在公布某人患肝癌之前，是不會只做一次或一種檢驗，還會輔以其他檢驗手段種檢驗，還會輔以其他檢驗手段. . 思考思考：診斷為無?。涸\斷為無病, ,而確實沒有患病的概率為多少

14、？而確實沒有患病的概率為多少？19 貝葉斯公式在商業(yè)決策及其他企業(yè)管理學科中貝葉斯公式在商業(yè)決策及其他企業(yè)管理學科中也也有重要應用有重要應用. .有人有人依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法套統(tǒng)計推斷方法, ,叫作叫作“貝葉斯統(tǒng)計貝葉斯統(tǒng)計”. ”. 可見貝葉斯可見貝葉斯公式的影響公式的影響. .20解解設設iA為第一次取到為第一次取到 i 個新球，個新球，2 , 1 , 0 i， 例例6 6 1010個乒乓球有個乒乓球有7 7個新球個新球3 3個舊球個舊球. .第一次比賽時隨第一次比賽時隨機取出機取出2 2個，用過后放回個，用過后放回. . 現(xiàn)在第二次比

15、賽現(xiàn)在第二次比賽 又取出又取出 2 2個，問第二次取到幾個新球的概率最大？個，問第二次取到幾個新球的概率最大？ jB為為第第二二次次取取到到 i 個個新新球球，2 , 1 , 0 j， 210,AAA構(gòu)成一個完備事件組，構(gòu)成一個完備事件組， 210237)(CCCAPiii ，2 , 1 , 0 i, , 210237)|(CCCABPjijiij ，2 , 1 , 0, ji， 21210237)(CCCAPiii ，210237)|(CCCABPjijiij ，2 , 1 , 0, ji， 具體計算得具體計算得 151)(0 AP，157)(1 AP，157)(2 AP, 151)|(00

16、 ABP，152)|(10 ABP，92)|(20 ABP, 157)|(01 ABP，158)|(11 ABP，95)|(21 ABP, 157)|(02 ABP，31)|(12 ABP，92)|(22 ABP， 22由全概率公式，由全概率公式， 2000)|()()(iiiABPAPBP,17. 092157152157151151 ,54. 095157158157157151)(1 BP,29. 09215731157157151)(2 BP所以第二次取到一個新球的概率最大所以第二次取到一個新球的概率最大. . 23 如果發(fā)現(xiàn)第二次取到的是兩個新球，問第一次沒如果發(fā)現(xiàn)第二次取到的是兩個

17、新球，問第一次沒有取到新球的概率為多大？有取到新球的概率為多大？ 由貝葉斯公式，由貝葉斯公式， 20202020)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP.11. 09215731157157151157151 24解解)()()()()(3213210APAPAPAAAPBP ,09. 03 . 05 . 06 . 0 例例7 7 甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別為的概率分別為0.4, 0.5, 0.7如果只有一人擊中，則飛機如果只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為被擊落的概率為0.2；如果有兩人擊中，則飛機如果有兩

18、人擊中，則飛機 被擊落被擊落的的 概率為概率為0.6；如果三人都擊中，則飛機一定被如果三人都擊中，則飛機一定被 擊落擊落. . (1)(1)求飛機被擊落的概率；求飛機被擊落的概率；(2)(2)若飛機被擊落，求是若飛機被擊落，求是 三三人同時擊中的概率人同時擊中的概率 由獨立性由獨立性25)()()()(3213213211AAAPAAAPAAAPBP 36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 ,09. 0)(0 BP)()()()(3213213212AAAPAAAPAAAPBP ,41. 07 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 04 . 0 )()(3213AAAPBP ,