圓中最值問題10種求法(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓中最值的十種求法在圓中求最值是中考的常見題型，也是中考中的熱點、難點問題，有的學(xué)生對求最值問題感到束手無策，主要原因就是對求最值的方法了解不多，思路不夠靈活.現(xiàn)對在圓中求最值的方法，歸納如下：一、利用對稱求最值1如圖：O的半徑為2，點A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值. 分析：延長AO交O于D，連接CD交O于P，即此時PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的長.解：延長AO交O于D，連接CD交OB于P連接PA，過O作OECD，垂足為E在OCD中，因為AOC=60 所以D=C=30在RtODE中 cos30= 即

2、DE=2cos30= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值為2.二、利用垂線段最短求最值2如圖：在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(3, 2)，A的半徑為1，P為x軸上一動點，PQ切A于點Q，則PQ長度的最小值為 . 分析：連接AQ、PA，可知AQPQ. 在RtPQA中，PQ=，求PQ的最小值轉(zhuǎn)化為求PA的最小值，根據(jù)垂線段最短易求PA的最小值為2.解：連接PA、QA 因為PQ切A于點Q 所以PQAQ 在RtAPQ中，PQ2=PA2AQ2即PQ=又因為A(3,2) ，根據(jù)垂線段最短。 所以PA的最小值為2所以PQ的最小值=三、利用兩點之間線段最短求最值3如圖：圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6

3、，D為PB的中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為( )AB2C3D3分析：因為圓錐的側(cè)面是曲面螞蟻從A爬行到點D，不好求爬行的最小值，要把立體圖形展開為平面圖形，再利用兩點之間線段最短來解決問題.解：圓錐的側(cè)面展開圖如圖2，連接AB根據(jù)題意得：弧AC的長為2r=22=4，PA=6因為4= 所以n=120 即APB=60 又因為PA=PB所以PAB是等邊三角形 因為D為PB中點 所以ADPB PD=DB=3在RtPAD中，AD=，故選C.四、利用直徑是圓中最長的弦求最值4如圖：半徑為2.5的O中，直徑AB的兩側(cè)有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在

4、劣弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，（1）求P的正切值；（2）當(dāng)CPAB時，求CD和CQ的長；當(dāng)點P運動到什么位置時，CQ取得最大值，并求出此時CQ的長.分析：易證明ACBPCQ，所以，即CQ=PC. 當(dāng)PC最大時，CQ最大，而PC是O的動弦，當(dāng)PC是O的直徑時最大. 五、利用弧的中點到弦的距離最大求最值5如圖：已知O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點，(B、C兩點除外)，求ABC面積的最大值.分析：設(shè)BC邊上的高為h因為SABC=BC h=2h=h當(dāng)h最大時SABC最大，當(dāng)點A在優(yōu)弧的中點時h最大. 解：當(dāng)點A為優(yōu)弧的中點時，作ADBC于D連接

5、BO 即BD=CD=在RtBDO中，OD2=OB2BD2=22()2=1所以O(shè)D=1 所以AD=2+1=3所以SABC=BCAD=23=3即ABC面積的最大值為3六、利用周長一定時，圓的面積最大求最值6用48米長的籬笆材料，在空地上圍成一個綠化場地，現(xiàn)有兩種方案：一種是圍成正方形的場地，另一種是圍成圓形場地，試問選用哪一種方案，圍成的場地面積較大？并說明理由.分析：周長一定的幾何圖形，圓的面積最大.解：圍成圓形場地的面積較大設(shè)S1、S2分別表示圍成的正方形場地、圓形場地的面積則S1=()2=144 S2=()2=因為4 所以所以=144 所以S2S1 所以應(yīng)選用圍成圓形場地的方案面積較大七、利

6、用判別式求最值7如圖：在半徑為1的O中，AB是弦，OMAB，垂足為M，求OM+AB的最大值.分析：可設(shè)AM=x，把OM用x的代數(shù)式表示出來，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程，然后利用判別式來求最值.解：設(shè)AM=x，在RtOAM中OM=所以O(shè)M+AB=+2x=a整理得：5x24ax+(a21)=0因為=(4a)245(a21)0即a25 所以a所以O(shè)M+AB的最大值為八、利用一條弧所對的圓周角大于圓外角求最值8如圖：海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的弓形(弓形的弧是O的一部分)區(qū)域內(nèi)，AOB=80，為避免觸礁，輪船P與A、B的張角APB的最大值為 . 分析：連接AC，易知ACB=AOB=

7、40，又因為ACBP，所以P的最大值為40.解：如圖：連接AC，根據(jù)圓周角定理可知ACB=AOB=80=40又因為ACBP 即APB40所以APB的最大值為40九、利用經(jīng)過O內(nèi)一定點P的所有弦中，與OP垂直的弦最短來求最值9如圖：O的半徑為5cm，點P為O內(nèi)一點，且OP=3cm，則過點P的弦AB長度的最小值為 cm.分析：過P作ABOP，交O于A、B，則AB的長最小. 解：在RtOAP中，AP=所以AB=2AP=24=8所以AB的最小值為8十、利用經(jīng)過圓外一點與圓心的直線與O的兩個交點與點P的距離最大或最小求最值10如圖：點P為O外一點，PQ切O于點Q，O的半徑為3cm，切線PQ的長為4cm，則點P與O上各點的連線長度的最大值為 ，最小值為 .分析：過P、O兩點作直線交O于A、B，則PA的長度最大，PB的長度最小