高等數(shù)學(xué)(下)知識點總結(jié)

1、精品文檔高等數(shù)學(xué)（下）知識點主要公式總結(jié)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)1、二次曲面1）橢圓錐面：x 2y 2z 2a 2b 22）橢球面：x 2y 2z 21旋轉(zhuǎn)橢球面：x 2y 2z 21a 2b 2c 2a 2a 2c 23）單葉雙曲面：x 2y 2z 21雙葉雙曲面：x 2y 2z 21a 2b 2c 2a 2b 2c 24）x 2y 2zx 2y 2z橢圓拋物面：a 2b 2雙曲拋物面（馬鞍面） ：b 2a 2x 2y 21x 2y 25）橢圓柱面：a 2b 2雙曲柱面： a 2b 216）拋物柱面：x2ay（二）平面及其方程1、點法式方程：A ( xx0 )B ( yy0 ) C (

2、z z0 )0法向量： n( A, B,C) ，過點 ( x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCzD0xyz1截距式方程：bca3、兩平面的夾角： n1( A1 , B1, C1 ) ， n2( A2, B2,C2 ) ，cosA1 A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C22121 21 21 20 ；1/2A1B1C1A AB BC CA2B2C24、點 P0 ( x0 , y0 , z0) 到平面 AxByCzD0 的距離：dAx0 By0Cz0DA2B 2C 2（三）空間直線及其方程.1、A1 x B1 y C1 z D10一般式方程：A2 x B 2 y

3、C 2 z D 202、xx0yy0z z0對稱式（點向式）方程：mnp方向向量： s(m, n, p) ，過點 ( x0 , y0 , z0 )3、兩直線的夾角：s1(m1 ,n1 , p1) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1 n2p1 p2m12n12p12m22n22p221L2m m n n p p20 ；L1 / L2m1n1p1L121 21m2n2p24、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n2p2L /AmBnCp0； LABCmnp第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、連續(xù)：limf (x, y)f

4、( x0 , y0 )(x, y) ( x0 , y0 )2、偏導(dǎo)數(shù)：f x (x0, y0 )f ( x0x, y0 )f ( x0, y0 )； f y (x0, y0)limf (x0, y0limxx 0y03、方向?qū)?shù)：ffcosfcos其中,為 l的方向角。lxy4、梯度： zf ( x, y) ，則 gradf (x0 , y0 )fx (x0 , y0 )if y ( x0 , y0 ) j 。5、全微分：設(shè) zf ( x, y ) ，則 dzz dxz dyxy（一）性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：精品文檔y) f ( x0 , y0 )y.精

5、品文檔12偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在充分條件必要條件4定義23函數(shù)連續(xù)2、微分法1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈式法則若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y) ，則zzuzvzzuzvxuxv，yuyvyx（二）應(yīng)用求函數(shù) zf (x, y) 的極值f x0( x0 , y0 ) ，令1）解方程組f y求出所有駐點，對于每一個駐點0Af xx ( x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy ( x0 , y0 ) ，若 ACB20 ， A0，函數(shù)有極小值，若AC B20 ， A0 ，函數(shù)有極大值；若 ACB20 ，函數(shù)沒有極值；若 ACB 20 ，

6、不定。2、幾何應(yīng)用1）曲線的切線與法平面xx ( t )曲線: yy( t ) ，則上一點 M ( x0 , y0 , z0 ) （對應(yīng)參數(shù)為 t0）處的zz ( t )切線方程為：xx0yy0zz0x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程為：x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t0 )( z z0 )02）曲面的切平面與法線曲面: F ( x , y, z)0 ，則上一點 M ( x0 , y0 , z0 ) 處的切平面方程為：.精品文檔Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0

7、, y0, z0 )(zz0 )0法線方程為：xx0yy0zz0Fx (x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )第十章重積分（一）二重積分：幾何意義：曲頂柱體的體積n1、定義：f (x, y) dlimf (k , k )kD0k 12、計算：1）直角坐標D(x, y)1( x)y2 (x)f (x, y)dxdyb2 (x )，dx1 ( x)f ( x,y)d yaxbDaD(x, y)1( y)x2 ( y)f ( x, y)d xdyd2 ( y )，dyf (x,y)d xcydDc1 ( y)2）極坐標D( , )1(

8、)2 ()f ( x, y)dxdyd2 ()cos , sin ) d，1(f (D)（二）三重積分n1、定義：f (x, y, z) d vlimf ( k ,k , k )vk01k2、計算：1）直角坐標f ( x, y, z) d vd xd yz2 (x, y )f ( x, y, z) dz-z1 ( x, y)“先一后二 ”Df (x, y, z) dvbf (x, y, z) dxd yd z-“ 先二后一 ”aD Z2）柱面坐標xcosysin，f ( x, y, z)d vf (cos,sin , z)d ddzzz3）球面坐標xr sincosyr sinsinzr co

9、s.精品文檔f (x, y, z)d vf (r sin cos , r sin sin ,r cos )r 2 sin dr d d（三）應(yīng)用曲面 S : zf (x, y) , ( x, y)D 的面積：AD1 ( z) 2( z) 2 d x d yxy第十一章曲線積分與曲面積分（一）對弧長的曲線積分n1、定義：f ( x, y)dslimf ( i , i )siL0i 12、計算：設(shè) f ( x, y) 在曲線弧 L 上有定義且連續(xù)，L 的參數(shù)方程為x(t),(t) ，其中(t),(t) 在 , y(t ),上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t )2 (t )0 ，則f ( x, y)d

10、sf (t ),(t )2 ( t )2 (t )d t ,()L（二）對坐標的曲線積分1、定義 ：設(shè) L 為 xoy 面 內(nèi)從 A 到 B 的一條 有向光 滑弧，函 數(shù) P ( x, y)， Q ( x, y ) 在L 上有界，定義nnP ( x, y )d xlimP ( k ,k ) xk， Q ( x, y )d ylimQ (k ,k )yk .L01L01kk向量形式： Fd rP( x, y)d xQ( x, y)d yLL2、計算：設(shè) P( x, y), Q(x, y) 在有向光滑弧L 上有定義且連續(xù) ,L 的參數(shù)方程為x(t ),) ，其中(t ),(t) 在 , 上具有一階

11、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t )2 (t ) 0 ，則(t :y(t),P (x, y)d xQ( x, y)d y P(t ), (t )(t)Q (t ),(t )(t)dtL3、兩類曲線積分之間的關(guān)系：x(t)設(shè)平面有向曲線弧為L：， L 上點 ( x, y) 處的切向量的方向角為：, ，y(t )(t )， cos(t )，cos(t)2 (t)2 (t )22 (t )則 Pdx Qdy( P cosQ cos)d s .LL.精品文檔（三）格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域D 是由分段光滑正向曲線L 圍成，函數(shù)P( x, y) ,Q( x, y) 在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有QP dxd

12、yPd xQd yDxyL2、 G 為一個單連通區(qū)域，函數(shù)P( x, y), Q( x, y) 在 G 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則QP曲線積分PdxQdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)xyL（四）對面積的曲面積分1、定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)f (x, y, z) 是定義在上的一個有界函數(shù)，n定義f ( x, y, z) dSlimf ( i,i , i) Si0 i 12、計算：“ 一單二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)D xy ，則f ( x, y, z) dSD x yf x, y, z( x, y)1 zx2 ( x, y) zy2 ( x, y) dxd y（五）對坐標的曲

13、面積分1、定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)P( x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)是定義在上的有界函數(shù)，定義nR( x, y, z)d xdylimR(i ,i ,i )(Si )xy同理，0 i 1nnP(x, y, z)d ydzlimP(i ,i ,i )(Si ) yz； Q( x, y, z)d zdxlimR( i ,i , i )( Si )zx0 i10i 12、性質(zhì)：1）12，則PdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxRd xdyPdydzQdzdxRd xdy12計算：“ 一投二代三定號”: zz( x, y) ， (x, y)Dxy ，

14、 zz(x, y) 在 D xy 上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， R(x, y, z) 在上 連 續(xù) ， 則R( x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)d xdy,為上側(cè)取“+”，為下側(cè)取“-”.Dx y.精品文檔3、兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pd yd zQd zd xRd xd yPcosQcosRcosd S其中,為有向曲面在點 (x, y, z) 處的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成 ,的方向取外側(cè),函數(shù) P, Q, R 在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有PQRd x d y d zP d yd z Q d zd x

15、 Rdx d yxyz或PQRd x d y d zPcosQcosRcos d Sxyz2、通量與散度通量：向量場A ( P, Q,R) 通過曲面指定側(cè)的通量為：Pd ydz Qd zd xRd xd y散度： div APQRxyz（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的 邊 界是分段光滑曲線,的 側(cè) 與的正向符合右手法則,P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在包含在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有R Q d y d zPR d zd xQP d xd yPd x Q d y Rd zyzzxxy為便于記憶 ,斯托克斯公式還可寫作:d y

16、 d z d z d x d xd yxyzP d xQ d yR d zPQR2、環(huán)流量與旋度環(huán)流量：向量場A ( P,Q, R) 沿著有向閉曲線的環(huán)流量為 P d xQ d yRd z旋度： rot ARQ ,PR ,QPyzzxxy第十二章無窮級數(shù)（一）常數(shù)項級數(shù)1、定義：1）無窮級數(shù)：unu1u2u3unn 1.精品文檔n部分和： Snuku1u2 u3un ，k 1正項級數(shù)：un， un0n 1交錯級數(shù)：(1) n un ， un0n 12）級數(shù)收斂：若 lim SnS 存在，則稱級數(shù)un 收斂，否則稱級數(shù)un 發(fā)散nn 1n 13）條件收斂：un 收斂，而un 發(fā)散；n 1n 1絕

17、對收斂：un 收斂。n12、性質(zhì)：1）改變有限項不影響級數(shù)的收斂性；2）級數(shù)an ，bn 收斂，則( an bn ) 收斂；n 1n 1n 13）級數(shù)an 收斂，則任意加括號后仍然收斂；n 14）必要條件：級數(shù)un 收斂lim un 0 . （注意：不是充分條件！ ）n 1n3、審斂法正項級數(shù)：un ， un0n 11）定義： lim SnS 存在；n2）un 收斂Sn有界；n 13）比較審斂法：un ，vn 為正項級數(shù)，且 unvn(n1,2,3,)n 1n 1若vn 收斂，則un 收斂；若un 發(fā)散，則vn 發(fā)散 .n 1n 1n 1n 14）比較法的推論：un ，vn為正項級數(shù)， 若存在

18、正整數(shù)m ，當 nm 時， unkvn ，而vn 收斂，則un 收n1n 1n 1n 1斂；若存在正整數(shù)m ，當 nm 時， unkvn ，而vn 發(fā)散，則un 發(fā)散 .n1n1.精品文檔5）比較法的極限形式：un ，vn 為正項級數(shù)，若limunl(0 l) ，而vn 收斂，則un 收斂；若n 1n 1nvnn 1n 1limun0或 limun，而vn 發(fā)散，則un 發(fā)散 .vnvnnnn1n 16）比值法：un 為正項級數(shù)， 設(shè) lim un 1l ，則當 l1時，級數(shù)un 收斂；則當 l1時，級數(shù)un 發(fā)散；當 l 1n 1nunn 1n 1時，級數(shù)u n 可能收斂也可能發(fā)散.n 17

19、）根值法：un 為正項級數(shù)，設(shè) lim nunl ，則當 l1時，級數(shù)un收斂；則當 l1 時，級數(shù) un發(fā)散；當 l 1n 1nn 1n 1時，級數(shù)u n 可能收斂也可能發(fā)散 .n 18）極限審斂法：un 為正項級數(shù)，若 lim n un0 或 lim n un，則級數(shù)un發(fā)散；若存在p 1，使得n 1nnn 1lim npun l (0l) ，則級數(shù)u n 收斂 .nn 1交錯級數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯級數(shù)：(1)n un， un0 滿足： un 1un (n 1,2,3,) ，且 lim un0 ，則級數(shù)( 1) n u n 收斂。n 1nn 1任意項級數(shù)：un絕對收斂，則un收斂。n

20、1n 1常見典型級數(shù)：幾何級數(shù)：n收斂，q1p- 級數(shù)：1收斂， p1aq；n 1 npn 0發(fā)散，q1發(fā)散， p1（二）函數(shù)項級數(shù)1、定義：函數(shù)項級數(shù)un (x) ，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；n12、冪級數(shù)：an x nn 01 ,03、收斂半徑的求法：lim an 1，則收斂半徑R0,n an,04、泰勒級數(shù)f (x)f ( n) (x0 ) (x x0 )nlim Rn (x)lim f ( n1) ( ) (x x0 ) n 10n 0n!nn(n1)!展開步驟：（直接展開法）.精品文檔1）求出 f( n) (x),n 1,2,3,；2）求出 f( n ) ( x0 ),n0,1,2,；3）寫出f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ；n0n!4）驗證 lim Rn ( x)limf ( n 1) () ( x x0 ) n 10 是否成立。nn(n1)!間接展開法：（利用已知函數(shù)的展開式）1） ex1 x n ,x (,) ；n 0 n !2） sin x( 1) n 11x2 n 1 , x ( , ) ；n 0