雙自由度控制器(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 緒論在工程和科學(xué)技術(shù)發(fā)展過程中，自動控制擔(dān)負(fù)著重要的角色。除了在宇宙飛船系統(tǒng)、導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)和機器人系統(tǒng)等領(lǐng)域中，自動控制具有特別重要的作用之外，它已成為現(xiàn)代機器制造業(yè)和工業(yè)生產(chǎn)過程中的重要而不可缺少的組成部分。例如，在制造工業(yè)的數(shù)控機床控制中，在航空和航天工業(yè)的自動駕駛儀系統(tǒng)設(shè)計中，以及在汽車工業(yè)的小汽車和大卡車設(shè)計中，自動控制都是必不可少的。此外，在工業(yè)中的過程控制，對壓力、溫度、濕度、黏性和流量的控制等工業(yè)操作過程，自動控制也是不可缺少的。 自動控制理論和實踐的不斷發(fā)展，為人們提供了獲得動態(tài)系統(tǒng)最佳性能的方法，提高了生產(chǎn)率，并且使人們從繁重的體力勞動和大量

2、重復(fù)性的手工操作中解放出來。1.2控制系統(tǒng)的分類1.2.1 反饋控制系統(tǒng)能對輸出量與參考輸入量進行比較，并且將它們的偏差作為控制手段，以保持兩者之間預(yù)定關(guān)系的系統(tǒng)，稱為反饋控制系統(tǒng)。室溫控制系統(tǒng)就是反饋系統(tǒng)的例子。通過實際室溫，并且將其與參考溫度（希望的室溫）進行比較，溫室調(diào)機器就會按照某種方式，加溫或冷卻設(shè)備打開或關(guān)閉，從而將室溫保持在使人們感到舒適的水平上，且與外界條件無關(guān)。反饋系統(tǒng)并不限于工程系統(tǒng)，在各種不同的非工程領(lǐng)域，同樣存在著反饋控制系統(tǒng)。1.2.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)通常屬于閉環(huán)控制系統(tǒng)。在實踐中，反饋控制和閉環(huán)控制這兩個術(shù)語通常交換使用。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，作為輸入信號與反

3、饋信號（反饋信號可以是輸出信號本身，也可以是輸出信號的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和/或其積分）之差的作用誤差信號被傳送到控制器，以便減小誤差，并且使系統(tǒng)的輸出達(dá)到希望的值。閉環(huán)控制這個術(shù)語，總是意味著采用反饋控制作用，以減小系統(tǒng)誤差。1.2.3 開環(huán)控制系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出量對控制作用沒有影響的系統(tǒng)，稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。換句話說，在開環(huán)控制系統(tǒng)中，既不需要對輸出量進行測量，也不需要將輸出量反饋到系統(tǒng)的輸入端與輸入端進行比較。 在任何開環(huán)控制系統(tǒng)中，均無需將輸出量與參考輸入量進行比較。因此，對應(yīng)于每一個參考輸入兩，有一個固定的工作狀態(tài)與之對應(yīng)。這樣，系統(tǒng)的精確度便取決于標(biāo)定的精確度。當(dāng)出現(xiàn)擾動時，開環(huán)系統(tǒng)便不能完成既

4、定任務(wù)了。在實踐中，只有當(dāng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系一直，并且不出在內(nèi)部擾動，也不存在外部擾動的時候，才能用開環(huán)控制系統(tǒng)。1.2.4 控制系統(tǒng)比較閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點是采用了反饋，因而使系統(tǒng)的響應(yīng)對外部干擾和內(nèi)部系統(tǒng)的參數(shù)變化均相當(dāng)不敏感。這樣，對于給定的控制對象，有可能采用不太精密且成本較低的元件構(gòu)成精確的控制系統(tǒng)。在開發(fā)情況下，就不可能做到這一點。 從穩(wěn)定性的觀點出發(fā)，開環(huán)控制系統(tǒng)比較容易建造，因而對開環(huán)系統(tǒng)來說，穩(wěn)定性不是主要問題。但是另一方面，在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，穩(wěn)定性則始終是一個重要的問題，因為閉環(huán)系統(tǒng)可能引起過調(diào)誤差，從而導(dǎo)致系統(tǒng)進行等幅振蕩或變幅振蕩。 應(yīng)當(dāng)強調(diào)指出，當(dāng)系統(tǒng)的輸入量能預(yù)

5、先知道，并且不存在任何擾動時，采用開環(huán)控制比較合適。只有當(dāng)存在著無法預(yù)計的擾動和（或）系統(tǒng)中的元件的參數(shù)存在著無法預(yù)計的變化時，閉環(huán)控制系統(tǒng)才具有優(yōu)越性。還應(yīng)指出，系統(tǒng)輸出功率的大小在某種程度上確定了控制系統(tǒng)的成本，重量和尺寸。閉環(huán)控制系統(tǒng)采用的元件數(shù)量比相應(yīng)的開環(huán)控制系統(tǒng)要多，因此閉環(huán)控制系統(tǒng)的成本和功率通常比較高。為了減小系統(tǒng)所需要的功率，在可能的情況下，應(yīng)當(dāng)采用開環(huán)控制系統(tǒng)。將開環(huán)控制與閉環(huán)控制適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合在一起，通常比較經(jīng)濟，并且能夠或得滿意的綜合系統(tǒng)性能。1.3 自動控制器簡介自動控制器將被控對象輸出量的實際值與參考輸入量（要求的值）進行比較，確定出偏差，并產(chǎn)生控制信號，以便使偏差減小

6、到零或很小的值。自動控制器產(chǎn)生控制信號的方式，稱為控制作用。 圖1.1 工業(yè)控制系統(tǒng)框圖如圖是一種工業(yè)控制系統(tǒng)方塊圖，它是由自動控制器、執(zhí)行器、被控對象和傳感器（測量元件）組成的。控制器檢測出功率通常很低的作用誤差信號，并且將其放大到足夠高的水平。自動控制器的輸出傳送至執(zhí)行器，例如傳送至電動機、液壓馬達(dá)、氣動馬達(dá)或閥。（執(zhí)行器是一種動力裝置，它根據(jù)控制信號的要求，產(chǎn)生被控對象的輸入量，從而使輸出信號趨于參考輸入信號。） 傳感器或測量元件，是一種將輸出變量轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N適當(dāng)變量的裝置，這里所說的適當(dāng)變量如位移、壓力或電壓，可以用來將輸出量與參考輸入信號進行比較。這種元件位于閉環(huán)系統(tǒng)的反饋通達(dá)上?？?/p>

7、制器的設(shè)定值必須轉(zhuǎn)變?yōu)閰⒖驾斎肓?，并且?yīng)具有與來自傳感器或測量元件的反饋信號相同的單位 1.4 現(xiàn)代控制理論簡介工程系統(tǒng)正朝著更加復(fù)雜的方向發(fā)展，這主要是由于復(fù)雜的任務(wù)和高精度的要求所引起的。復(fù)雜系統(tǒng)可能具有多輸入量和多輸出量，并且可能是時變的。由于需要滿足控制系統(tǒng)性能提出的日益嚴(yán)格的要求，系統(tǒng)的復(fù)雜程度越來越大，并且要求能夠方便地用大型計算機對系統(tǒng)進行處理。一種對復(fù)雜控制系統(tǒng)進行分析和設(shè)計的新方法，即現(xiàn)代控制理論，大約從1960年開始發(fā)展起來。這種新方法是建立在狀態(tài)概念之上的。狀態(tài)本身并不是一個新概念，在很長一段時間內(nèi)，它已經(jīng)存在于古典動力學(xué)和其他一些領(lǐng)域中。現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間法基

8、礎(chǔ)上的一種控制理論，是自動控制理論的一個主要組成部分。在現(xiàn)代控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計主要是通過對系統(tǒng)的狀態(tài)變量的描述來進行的，基本的方法是時間域方法?，F(xiàn)代控制理論比經(jīng)典控制理論所能處理的控制問題要廣泛得多，包括線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，單變量系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)。它所采用的方法和算法也更適合于在數(shù)字計算機上進行?，F(xiàn)代控制理論還為設(shè)計和構(gòu)造具有指定的性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)提供了可能性。現(xiàn)代控制理論的名稱是在1960年以后開始出現(xiàn)的，用以區(qū)別當(dāng)時已經(jīng)相當(dāng)成熟并在后來被稱為經(jīng)典控制理論的那些方法?，F(xiàn)代控制理論已在航空航天技術(shù)、軍事技術(shù)、通信系統(tǒng)、生產(chǎn)過程等方面得到廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)

9、代控制理論的某些概念和方法，還被應(yīng)用于人口控制、交通管理、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)等的研究中1。1.4.1 現(xiàn)代控制理論發(fā)展過程現(xiàn)代控制理論是在20世紀(jì)50年代中期迅速興起的空間技術(shù)的推動下發(fā)展起來的?？臻g技術(shù)的發(fā)展迫切要求建立新的控制原理，以解決諸如把宇宙火箭和人造衛(wèi)星用最少燃料或最短時間準(zhǔn)確地發(fā)射到預(yù)定軌道一類的控制問題。這類控制問題十分復(fù)雜，采用經(jīng)典控制理論難以解決。1958年，蘇聯(lián)科學(xué)家.龐特里亞金提出了名為極大值原理的綜合控制系統(tǒng)的新方法。在這之前,美國學(xué)者R.貝爾曼于1954年創(chuàng)立了動態(tài)規(guī)劃,并在1956年應(yīng)用于控制過程。他們的研究成果解決了空間技術(shù)中出現(xiàn)的復(fù)雜控制問題，并開拓了控制理論

10、中最優(yōu)控制理論這一新的領(lǐng)域。19601961年，美國學(xué)者R.E.卡爾曼和R.S.布什建立了卡爾曼-布什濾波理論,因而有可能有效地考慮控制問題中所存在的隨機噪聲的影響，把控制理論的研究范圍擴大，包括了更為復(fù)雜的控制問題。幾乎在同一時期內(nèi)，貝爾曼、卡爾曼等人把狀態(tài)空間法系統(tǒng)地引入控制理論中。狀態(tài)空間法對揭示和認(rèn)識控制系統(tǒng)的許多重要特性具有關(guān)鍵的作用。其中能控性和能觀測性尤為重要，成為控制理論兩個最基本的概念。到60年代初，一套以狀態(tài)空間法、極大值原理、動態(tài)規(guī)劃、卡爾曼-布什濾波為基礎(chǔ)的分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的新的原理和方法已經(jīng)確立，這標(biāo)志著現(xiàn)代控制理論的形成。1.4.2 現(xiàn)代控制理論的學(xué)科內(nèi)容現(xiàn)代控制

11、理論所包含的學(xué)科內(nèi)容十分廣泛,主要的方面有:線性系統(tǒng)理論、非線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論、隨機控制理論和適應(yīng)控制理論。 線性系統(tǒng)理論 它是現(xiàn)代控制理論中最為基本和比較成熟的一個分支，著重于研究線性系統(tǒng)中狀態(tài)的控制和觀測問題，其基本的分析和綜合方法是狀態(tài)空間法。按所采用的數(shù)學(xué)工具，線性系統(tǒng)理論通常分成為三個學(xué)派：基于幾何概念和方法的幾何理論，代表人物是W.M.旺納姆;基于抽象代數(shù)方法的代數(shù)理論,代表人物是R.E.卡爾曼；基于復(fù)變量方法的頻域理論，代表人物是H.H.羅森布羅克。 非線性系統(tǒng)理論 非線性系統(tǒng)的分析和綜合理論尚不完善。研究領(lǐng)域主要還限于系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性、雙線性系統(tǒng)的控制和觀測問題、非線性

12、反饋問題等。更一般的非線性系統(tǒng)理論還有待建立。從70年代中期以來，由微分幾何理論得出的某些方法對分析某些類型的非線性系統(tǒng)提供了有力的理論工具。 最優(yōu)控制理論 最優(yōu)控制理論是設(shè)計最優(yōu)控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，主要研究受控系統(tǒng)在指定性能指標(biāo)實現(xiàn)最優(yōu)時的控制規(guī)律及其綜合方法。在最優(yōu)控制理論中，用于綜合最優(yōu)控制系統(tǒng)的主要方法有極大值原理和動態(tài)規(guī)劃。最優(yōu)控制理論的研究范圍正在不斷擴大，諸如大系統(tǒng)的最優(yōu)控制、分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制等。 隨機控制理論 隨機控制理論的目標(biāo)是解決隨機控制系統(tǒng)的分析和綜合問題。維納濾波理論和卡爾曼-布什濾波理論是隨機控制理論的基礎(chǔ)之一。隨機控制理論的一個主要組成部分是隨機最優(yōu)控制，這類

13、隨機控制問題的求解有賴于動態(tài)規(guī)劃的概念和方法。 適應(yīng)控制理論 適應(yīng)控制系統(tǒng)是在模仿生物適應(yīng)能力的思想基礎(chǔ)上建立的一類可自動調(diào)整本身特性的控制系統(tǒng)。適應(yīng)控制系統(tǒng)的研究常可歸結(jié)為如下的三個基本問題：識別受控對象的動態(tài)特性；在識別對象的基礎(chǔ)上選擇決策；在決策的基礎(chǔ)上做出反應(yīng)或動作。1.4.3 現(xiàn)代控制理論與傳統(tǒng)控制理論的比較現(xiàn)代控制理論與窗同控制理論形成鮮明的對照，前者適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，系統(tǒng)可以是線形的或非線形的，也可以是定常的或時變的；后者則僅僅適用于線形、定常、單輸入、單輸出系統(tǒng)。此外，現(xiàn)代控制理論本質(zhì)上是一種時域方法，而傳統(tǒng)控制理論則是一種復(fù)頻域方法。1.2 小結(jié)本章對控制系統(tǒng)以及控制

14、器做了簡單的介紹，了解了控制系統(tǒng)在當(dāng)今社會的重要作用，同時也對不同的控制系統(tǒng)有了了解。對于控制器的介紹，則使我們從宏觀來到了微觀，真正明白了控制系統(tǒng)的工作原理?，F(xiàn)代控制理論的引入則為控制系統(tǒng)的更好發(fā)展做好了條件。在現(xiàn)代控制理論的指導(dǎo)下，控制系統(tǒng)將會發(fā)展的更加完善。第二章 雙自由度控制器2.1引言 在自動控制系統(tǒng)的設(shè)計過程中，目標(biāo)值跟蹤特性和外擾抑制特性是設(shè)計者關(guān)注兩個主要問題。在過去的控制中，定值系統(tǒng)強調(diào)外擾抑制特性，隨動系統(tǒng)強調(diào)目標(biāo)值跟蹤特性，兩種特性均要求十分嚴(yán)格的場合比較少見。但是隨著高新技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，對自動控制系統(tǒng)的要求越來越高，同時要求目標(biāo)值跟蹤特性和外擾抑制特性最佳的系統(tǒng)愈來愈

15、多。而目前在工業(yè)控制中廣泛采用的PID調(diào)節(jié)器只能設(shè)定一組控制參數(shù)，(稱一自由度控制方式，控制器結(jié)構(gòu)圖如圖1所示)一般來講，若按干擾抑制特性最優(yōu)來整定參數(shù)，則目標(biāo)值跟蹤特性差；若按目標(biāo)值跟蹤特性最優(yōu)來整定參數(shù)，則干擾抑制特性差，所以PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定通采用折衷的方法。這樣做一般能滿足大多數(shù)控制系統(tǒng)的要求，但對于高性能系統(tǒng)則難以達(dá)到控制系統(tǒng)的期望特性。針對這一問題，國內(nèi)外學(xué)者提出二自由度控制的思想，其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖1一自由度控制器結(jié)構(gòu)圖圖2二自由度控制囂結(jié)構(gòu)圖 2.2 雙自由度控制所謂二自由度控制一般說來是指：采用圖2這種控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，將控制器c分解，采用適當(dāng)?shù)脑O(shè)計方法，找到兩組獨立的

16、參數(shù)并設(shè)計出兩個獨立的控制器，分別用來獲得最優(yōu)的目標(biāo)跟蹤值特性和干擾抑制特性，從而達(dá)到控制系統(tǒng)的期望特性。 2.2.1單自由度系統(tǒng)考慮圖一所示的系統(tǒng)，圖中系統(tǒng)受到揉動輸入d（t）和噪聲輸入n（t）的作用。GP(S)是控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。假設(shè)GP(S) 是固定的并且是不可改變的。對于這個系統(tǒng)，我們可以導(dǎo)出3個閉環(huán)傳遞函數(shù)，也就是Ys /R（s）=Gyr，Y（s）/D（s）=Gyd以及Y（s）/N（s）=Gyn。1 Gyr= YsRs = GcGp1+GcGp2 Gyd= YsDs= Gp1+GcGp3 Gyn=YsNs= -GcGp1+GcGp在推導(dǎo)Ys /R（s）的時候，假設(shè)D（s）=0以及N

17、（s）=0。同理，在推導(dǎo)Y（s）/D（s）和Y（s）/N（s）時，分別應(yīng)用類似的推導(dǎo)條件。所謂控制系統(tǒng)的自由度是指閉環(huán)傳遞函數(shù)中有幾個是獨立的。在當(dāng)前情況下，有如下兩個：Gyr=Gp-GydGp Gyn=Gyd-GpGp在3個閉環(huán)傳遞函數(shù)Gyr Gyd Gyn中，如果給定其中一個，其余兩個便被固定了。這意味著圖一所示的系統(tǒng)是一個單自由度系統(tǒng)。2.2.1雙自由度系統(tǒng)下面討論圖二所給的系統(tǒng)，在圖中Gp（s）為控制對象的傳遞函數(shù)，假設(shè)它是固定的并且是不能改變的。對于這個系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù) Gyr Gyd 和Gyn 分別為Gyr=Y（s）R(s)=Gc1Gp1+（Gc1+Gc2）GpGyd = Y（s

18、）D(s)=Gp1+（Gc1+Gc2）GpGyn= Y（s）N(s)=（Gc1+Gc2）Gp1+（Gc1+Gc2）Gp由此，我們得到 Gyr=Gc1GydGyn=Gyd-GpGp在這種情況下，如果給定Gyd，那么Gyn就是固定的，但是Gyr不是固定的，因為Gc1與Gyd是無關(guān)的。因此。在這3個閉環(huán)傳遞函數(shù)Gyr Gyd 和Gyn中，有兩個閉環(huán)傳遞函數(shù)是獨立的，因此，該系統(tǒng)是一個二自由度控制系統(tǒng)。類似的圖三所示的系統(tǒng)也是一個雙自由度控制系統(tǒng) 圖3 復(fù)合前饋型雙自由控制系統(tǒng)因為對于該系統(tǒng)而言，存在下列關(guān)系式：Gzr=Z(S)R(S)=Gc1Gp1+Gc1Gp+Gc2Gp1+Gc1GpGzw=Z(S

19、)W(S)=Gp1+Gc1GpGzv=Z(S)V(S)= - Gc1Gp1+Gc1Gp通過計算我們可以得到 Gzr=Gc2Gzw+Gp-GzwGp （1）以及GZV=GZW-GpGp （2）從1式以及2式我們可以看到，如果給定Gzw，那么GZV是固定的。但是Gzr并不是固定的，因此Gzr和Gzw無關(guān)。 2.3 雙自由控制對系統(tǒng)性能的調(diào)節(jié)當(dāng)我們設(shè)計系統(tǒng)的時候，一些瞬態(tài)響應(yīng)特性是我們的重要參考依據(jù)。例如階躍響應(yīng)中的上升時間，最大超調(diào)量和調(diào)整時間。同時我們也要參考一些穩(wěn)態(tài)特性，例如斜坡輸入的跟蹤誤差。反饋將系統(tǒng)的輸出返回到輸入端并以某種方式改變輸入，進而影響系統(tǒng)功能的過程，即將輸出量通過恰當(dāng)?shù)臋z測裝

20、置返回到輸入端并與輸入量進行比較的過程。反饋可分為負(fù)反饋和正反饋。前者使輸出起到與輸入相反的作用，使系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)目標(biāo)的誤差減小，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定；后者使輸出起到與輸入相似的作用，使系統(tǒng)偏差不斷增大，使系統(tǒng)振蕩，可以放大控制作用。反饋可以減小擾動的影響。減輕模型誤差或者參數(shù)變化的時候控制系統(tǒng)受到的影響。在雙自由度系統(tǒng)中，我們?yōu)榱烁纳葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，閉環(huán)特性以及反饋特性都可以獨立的進行調(diào)節(jié)。在一個系統(tǒng)中如果存在擾動和傳感器噪聲時，我們?yōu)榱颂岣哌@個系統(tǒng)的性能，必須考慮下面的問題：1 抗干擾特性2系統(tǒng)跟蹤特性3對傳感器噪聲的靈敏度4 模型誤差的靈敏度5穩(wěn)定裕量下面我們討論雙自由度控制控制系統(tǒng)是如何實現(xiàn)對

21、上面性能改善的。以圖3所示的系統(tǒng)為例。圖3 復(fù)合前饋型雙自由控制系統(tǒng)1抗干擾特性。系統(tǒng)抗干擾的程度可以用擾動量W與輸出量之間的函數(shù)Gzw跟擾動量與輸出量之間的前向傳遞函數(shù)Gp的比值來表示，我們設(shè)為Sd Sd=GzwGp=11+Gc1Gp （2.1）為了使系統(tǒng)或得良好的抗干擾特性，我們需要在很寬的頻率范圍內(nèi)使Sd很小 2系統(tǒng)的跟蹤特性。我們需要系統(tǒng)保持較小的跟蹤誤差。系統(tǒng)的跟蹤特性由下列傳遞函數(shù)Gzr確定Gzr=Z(S)R(S)=Gc1Gp1+Gc1Gp+Gc2Gp1+Gc1GpGzr需要在很寬的頻率范圍內(nèi)接近1才能獲得良好的跟蹤特性。為了達(dá)到上述目的，我們可以調(diào)整2個獨立的控制器C1，C2.

22、3對傳感器噪聲的靈敏度。我們需要系統(tǒng)對噪聲的靈敏度較小。而對于噪聲的影響。是由傳遞函數(shù)Gzv確定的Gzv=Z(S)V(S)= - Gc1Gp1+Gc1Gp 4對模型誤差的靈敏度。當(dāng)我們再設(shè)計系統(tǒng)的時候，我們的設(shè)計是基于給定對象模型的。但是這種模型并非精確的反映，它只是對被控制對象實際動態(tài)特性的一種近似。而實際被控制對象的動態(tài)特性與模型動態(tài)特性之間的差別與模型與實際系統(tǒng)的誤差有關(guān)，引起模型誤差的原因可能有如下幾種：1忽略被控制對象的非線性特性2忽略被控制對象的高頻特性（例如，在機械系統(tǒng)中，可能會具有的高頻動態(tài)現(xiàn)象，包括共振，或率彈簧質(zhì)量的影響等等）3系統(tǒng)的一系列參數(shù)的精度不夠理想4被控制對象的特

23、性有可能隨著時間的變化而變化我們知道，實際被控對象與控制對象的模型是有區(qū)別的 ，也就是存在模型誤差。我們控制對象模型的傳遞函數(shù)為GPGp。而實際控制對象的傳遞函數(shù)為Gp,那么他們之間的差值定義為G,即G,= Gp-Gp系統(tǒng)此時的靈敏度與存在模型誤差的響應(yīng)和不存在模型誤差時系統(tǒng)的響應(yīng)之間的差值有關(guān)系，這是因為Gzr=Z(S)R(S)=Gc1Gp1+Gc1Gp+Gc2Gp1+Gc1Gp而Gzr的變化，我們可以寫成Gzr=（Gc1+Gc2）（Gp+G）1+Gc1Gp-（Gc1+Gc2）Gp1+Gc1Gp =Gc1+Gc2G1+Gc1Gp+G1+Gc1Gp以上2式相除，我們可以得到GzrGzr=GGp

24、11+Gc1Gp （2.2）上面的方程表明，Gzr的相對變化等于11+Gc1Gp與控制對象傳遞函數(shù)相對變化的乘積（雖然Gzr既與Gc1有關(guān)，同時又跟Gc2有關(guān)，但是Gzr的相對變化GzrGzr僅僅跟Gc1有關(guān)系）我們定義S = 11+Gc1Gp （2.3）S是頻率w的函數(shù)。為了使系統(tǒng)的靈敏度較好，在所考慮的頻率范圍內(nèi)，S(jw)必須很小。 由方程（2.1）定義的Sd以及由方程（2.3）定義的S是相同的。方程（2.3）成為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)。 在高性能系統(tǒng)中，高頻動態(tài)特性必須包含在他們的數(shù)學(xué)模型中，而且校正裝置的設(shè)計必須以這種模型為基礎(chǔ)。如果控制對象的高頻動態(tài)特性是不知道的，那么我們需要將高頻增益

25、保持在較低的水平上，以便抑制系統(tǒng)有可能產(chǎn)生的各種高頻現(xiàn)象。5.穩(wěn)定裕量。在上面我們討論的模型誤差時如何影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在控制系統(tǒng)的研究中是一個重要的問題。我們知道在反饋控制系統(tǒng)中，穩(wěn)定性是由以下的條件確定的：開環(huán)傳遞函數(shù) GC1Gp=Gc1（Gp+G） 是否能夠滿足奈奎斯特穩(wěn)定性的條件的要求。再設(shè)計控制系統(tǒng)時候，我們總是使Gc1Gp滿足奈奎斯特穩(wěn)定性的條件的要求。對于給定的頻率w如果GC1（jw）G（jw）的幅值小于-1+j0點與GC1（jw）Gp（jw）之間的距離，那么GC1Gp也滿足奈奎斯特穩(wěn)定性的條件。這就是說，如果 GC1G<1+Gc1Gp (2.4)那么控制系統(tǒng)就是穩(wěn)定的

26、，定義 T=Gc1Gp1+Gc1Gp (2.5) 那么不等式(2.4)就可以寫成 GGp<1T ( 2.6) 該不等式給出了穩(wěn)定裕量的一般形式。在給定的頻率上，T（jw）的值越小，那么在此頻率上的穩(wěn)定裕量就越大。T（jw）由方程(2.5)所定義，我們稱之為輔助靈敏函數(shù)。假設(shè)相對模型誤差的上界為L(jw)，也就是GjwGpjwL（jw）在多數(shù)情況下，我們得到的低頻范圍的L(jw)相當(dāng)?shù)男。ㄔ?.1左右），而中頻范圍時的L(jw)則近似于一，高頻范圍時的L(jw)則比較的大。當(dāng)Gp（s）因為受到擾動而趨向與Gps時候，此時系統(tǒng)的奈奎斯特圖就會向周圍移動，但是位于陰影區(qū)時，只要奈奎斯特圖的陰影

27、區(qū)不包括-1+j0 這個點，最小相位系統(tǒng)則保持穩(wěn)定的狀態(tài)。我們參考（2.6）式，那么可以選擇1T(jw)大于L（jw），也就是 1T(jw)> L（jw） （2.7）如果不等式（2.7）得到滿足，那么可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。這就意味著只要模型誤差在所有的頻率范圍上均保持在1/T以下，那么系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。參考（2.3）以及（2.5）,我們可以得到一下關(guān)系式： S（jw）+T（jw）=1 （2.8）也就是說，靈敏度函數(shù)與輔助靈敏度函數(shù)的和總是等于1。因此在同一個頻率上，使S（jw）和T（jw）兩者都比較大或者比較小時不可能的。 參考方程（2.7）與（2.8），我們看到，在高頻范圍內(nèi)，當(dāng)L（jw）大

28、于1得時候我們可以得到 T（jw）<1L（jw） （2.9） S (jw)=1-T（jw）>1-1L（jw） ，L（jw）>1 如果S（jw）和T (jw)滿足這些不等式，那么系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到保證。 L（jw）表明了T（jw）幅值的上限。因為 T（jw）=Gc1jwGp(jw)1+Gc1jwGp(jw)并且在高頻時候，Gc1（jw）Gp（jw） 1，所以當(dāng)w 趨于無窮大時，T（jw）就趨于Gc1（jw）Gp（jw）。因此，我們看到，在高頻范圍內(nèi)， Gc1（jw）Gp（jw）<1L（jw）這表明模型誤差確定了環(huán)路增益的上限。 根據(jù)上面的分析，我們可以得到下列的結(jié)論：1. 為了改善系統(tǒng)的抗干擾性能，我們應(yīng)當(dāng)使S(jw)減小。2. 為了使對模型誤差的靈敏度減下，應(yīng)當(dāng)使S(jw)減小。3. 為了改善穩(wěn)定性裕量，應(yīng)當(dāng)使T（jw）減小。4. 為了使對傳感器噪聲的靈敏度減小，應(yīng)當(dāng)使T（jw）減小。我們注意到，S（jw）+T(jw)=1。我們發(fā)現(xiàn)，雖然跟蹤性能只取決于Gc1和Gc2,但是抗干擾特性對模型誤差的靈敏度，穩(wěn)定性與里昂和對傳感器噪聲的靈敏度只和Gc1有關(guān)。這表明Gc1確定反饋回路的特性，而Gc2影響參考輸入和系統(tǒng)輸出之間的閉環(huán)傳遞