離散型+l連續(xù)型概率分布

1、一、 離散型分布1、 兩點分布：binom（1，p）意義：一次實驗中有二個事件：成功（記1）與失?。ㄓ?），出現的概率分別為p和1-p，則一次試驗（稱為貝努利試驗）成功的次數服從一個參數為p的貝努利試驗。例子（投一次硬幣）分布律：f(x|p)=px(1-p)1-x,x=0,1(0<p<1)數字特征：E(X)=p,Var(X)=p(1-p)2、 二項分布：binom（n，p）意義：貝努利試驗獨立重復n次，則試驗成功的次數服從一個參數為（n，p）的二項分布。（投n次硬幣）分布律：nxf(x|p)= p(1-p)n-x,x=0,1,p,n.(0<p<1)數字特征：E(X)=n

2、p,Var(X)=np(1-p)3、 多項分布：multinon(n,p1,pk)()ip=0(ip<,<意義：一試驗中有k個時間Ai,i=1,2,k，且PAi1p)1=ii=1k將此試驗獨立地重復n次，則時間A1,A2,Ak出現的次數服從一個參數(n,p)的多項式分布，其中P=(p1,p2,pk)（仍骰子問題） 分布律：f(x1,n,xk|n,p)= px1px2pp,0xin,xi=n xki=1k數字特征：E(X)=np,Var(X)=np(1-p),Cov(Xi,Xj)=-npipj4、 負二項分布：nbinom(k,p)意義：貝努利試驗獨立地重復進行，一直到出現k次成功時

3、停止試驗，則試驗失敗的次數服從一個參數(k,p)的負二項分布。分布律：f(x|k,p)=(k+x)kp(1-p)x,x=0,1,(k)(x)數字特征： E(X=k(1-p)k-(1p),Var=(2 pp5、 幾何分布：geom(p)意義：伯努利試驗獨立地重復進行，一直到出現有成功出現時停止試驗，則試驗失敗的次數服從一個參數p的集合分布。分布律：f(x|p)=p(1-p)x,x=0,1,2,數字特征：E(X)=(1-p)(1-p),Var(X)= 2pp6、 超幾何分布：hyper(N,M,n)意義：從裝有N個白球和M個黑球的罐子中不放回地取出k其中kN+M則其中的白球服從超幾何分布。分布律：

4、NM çxk-xf(x|N,M,k)=,x=0,1,2,N+M k,minN,k數字特征：E(X)=(kN)(N+M-k)kNN,Var(X)=(1-) N+MN+M-1N+MM+N7、 泊松分布：pois()意義：單位時間，單位長度，單位面積，單位體積中發(fā)生某一事件的次數?？梢允褂貌此煞植紒砜坍?，例如某高速公路上一年內交通事故和某辦公室一天中收到的電話次數可以認為近似服從泊松分布。 分布律：f(x|)=xx!e-,x=0,1,2,.數字特征： E(X)=,Var(X)=二、 連續(xù)分布的密度函數1、 貝塔分布Beta(a,b)意義：在貝葉斯分析中，貝塔分布常常作為二項分布參數的共軛先

5、驗分布。密度函數：f(x|a,b)=1xa-1(1-x)b-1,0<x<1(a,b>0) B(a,b)數字特征：E(X)=aab,Var(X)= 2a+b(a+b)(a+b+1)當(a=1,b=1)時的分布為0,1上的均勻分布。2、 均勻分布：unif(a,b)意義：區(qū)間a,b上隨機投點對應的坐標服從a,b上的均勻分布。 密度函數：f(x|a,b)=1,axb b-a數字特征：a+bb2-a2E(X)=,Var(X)= 2123、 柯西分布：cauchy(a,b)意義：柯西分布（又稱為Lorentz分布）用于描述共振行為。以一隨機的角度投向X軸的水平距離服從柯西分布。密度函數

6、：f(x|a,b)=1,0x1(a,b>0) x-ab1+ b數字特征：均值和方差均不存在。4、 威布爾分布：weibull(a,b)意義：最為常見的壽命分布，用來刻畫滾珠軸承、電子元器件等產品的壽命。密度函數：f(x|a,b)=abxb-1eax,x>0(a,b>0)數字特征：121(1+)(1+)(1+)2,Var(X)=- E(X)=122bbbaaab特例：b = 1時為指數分布。5、 指數分布：exp()意義：泊松過程的等待時間服從指數分布。形狀參數b=1的weibull分布為指數分布。密度函數： f(x|a,b)=e-x,x>0(>0) 數字特征：E(

7、X)=,Var(X)=1126、 瑞利（Rayleigh）分布：rayl(b)意義：瑞利（Rayleigh）分布為weibull分布的又一個特例：它是參數為(1/2b2),2)的weibull分布。密度函數：xx2f(x|b)=2exp(-2) b2b數字特征：E(X)=,Var(X)=4-2b 27、 正態(tài)分布/高斯分布：norm(,2)意義：高斯分布式概率論與數理統(tǒng)計中最重要的一個分布。中心極限定理表明，一個變量如果是由大量微小的、獨立的隨機因素的疊加結果，那么這個變量一定是正態(tài)變量。因此許多隨機變量可以用高斯分布表述或近似描述。密度函數：f(x|,)=-(x-)222,-<x<

8、;,(-<<,>0)數字特征：E(X)=,Var(X)=28、 對數正態(tài)分布：lnorm(,2)意義：ln(X)服從參數為(,2)的正態(tài)分布，則X服從參數為(,2)的對數正態(tài)分布。密度函數：f(x|,)=-(ln(x)-)22,x>0,(-<<,>0) 1222數字特征：E(X)=exp(+2),Var(X)=e(e-1)e29、 逆正態(tài)分布：inorm(,)意義：正態(tài)隨機變量的倒數服從的分布。 密度函數：-f(x|,)=(x-)2x,(-<<,>0)數字特征：3E(X)=,Var(X)= 10、 伽馬分布：gamma(a,b)意義：

9、k個相互獨立的參數為1/b的指數分布的和服從(k,b)的伽馬分布。密度函數：f(x|a,b)=1a-1-x/bxe,x>0,(a>0,b>0) a(a)b數字特征：E(X)=ab,Var(X)=ab2 特例：a=1時的分布為指數分布；a=,b=2的分布為卡方分布。11、 伽馬分布：igamma(a,b)意義：伽馬分布隨機變量的倒數服從逆伽馬分布。 n2密度函數：f(x|a,b)=1x-(a+1)e-1/bx,x>0,(a>0,b>0) a(a)b數字特征：E(X)=n211(a>1),Var(X)=(a>2) 22(a-1)b(a-1)(a-2)

10、b特例： a=,b=2的分布為逆卡方分布。12、 卡方（2）分布：chisq(n)意義：n個獨立正態(tài)隨機變量的平方和服從自由度為n的卡方分布。 密度函數：xn/2e-x/2f(x|n)=n/2,x>0 2(n/2)數字特征：E(X)=n,Var(X)=2n(n>2)13、 逆卡方分布：ichisq(n)意義：卡方分布隨機變量的倒數服從逆卡方分布。 密度函數：x-(n/2+1)e-1/2xf(x|n)=n/2,x>0 2(n/2)數字特征：E(X)=12(n>2),Var(X)=(n>4) n-2(n-2)2(n-4)14、 t分布：t(n)意義:隨機變量X與Y獨立

11、，X服從標準正態(tài)分布，Y服從自由度為n的卡方分布，則T=密度函數： 服從自由度為n的t分布。x2-(n+1)/2(1+) f(x|n)=1n(,)22數字特征：E(X)=0,Var(X)=15、F分布：f(n,m) n(n>2) (n-2)意義：隨機變量X與Y獨立，X服從自由度為n的卡方分布，Y服從自由度為m的卡方分布，則T=X/n服從自由度為(n,m)的t分布。 Y/mn()n/2xn-2/2nx密度函數：f(x|n,m)=(1+)-(n+m)/2 mB(,)22m2m2(n+m-2)數字特征：E(X)=(m>2),Var(X)=(n>2) m-2n(m+2)16、logi

12、stic分布：logis(a,b)意義：生態(tài)學中的增長模型常用logistic分布來刻畫，它也常用于logistic回歸中。密度函數：f(x|a,b)=1+e-(x-a)/b-1數字特征：E(X)=a,Var(X)=23b217、Dirichlet分布：Dirichlet(1,k)意義：在貝葉斯分析中作為多項分布參數的共軛分布。Dirichlet分布的密度函數表示在已知k個競爭事件已經出現了i-1次條件下，他們出現的概率為xi,i=1,2,k的信念。密度函數：f(x1,xk|)=1i=1(i) i-1x,x>0,x=1(>0),B()=iiiikB()i=1(i)i=1kki=1k

13、數字特征：E(X)=i(-i)k,Var(X)=i20,Cov(Xi,Xj)=-2i0,0=i=1i 00(0+1)0(0+1)18、Pareto分布：pd(a,b)意義：財富的分配的規(guī)則（稱為Pareto規(guī)則）是大部分的財富（80%）被少數（20%）的人擁有，這可以較好地用Pareto分布來刻畫。 密度函數：baf(x|a,b)= axb+1,x>a(b>0)數字特征：aba2bE(X)=(b>1),Var(X)=(b>2) 2b-1(b-1)(b-2)19、非中心分布.與前面卡方分布，t分布和F分布相對應還有三個非中心的分布：非中心的卡方分布：chisq(n,)，n個獨立正態(tài)隨機