線性代數(shù)第五章 特征值和特征向量 矩陣對(duì)角化

1、 é ê ê ê ê 由此得到 U = ê ê ê ê ê ê ê ë 2 2 2 2 0 0 - 1 6 1 6 2 6 0 - - - 3 6 3 6 3 6 3 2 1 ù ú 2 ú é1 ù 1ú - ú ê 1 ú 2ú ê ú. , 對(duì)角矩陣為 ú ê ú 1 1 ê ú - 

2、0; 5û 2ú ë ú 1 ú ú 2 û 4證明： Þ 顯然成立. Ü 因?yàn)?A, B 有相同的特征多項(xiàng)式 , 則 A, B 必有相同的特征根 . 不妨設(shè)這些根為 l1 , l2 , , ln , 因 為 A, B 均 為 n 階 實(shí) 對(duì) 稱 矩 陣 , 所 以 存 在 可 逆 矩 陣 P, Q 使 得 él1 ê l2 -1 P AP = ê ê ê ë ù él1 ú ê l2 ú , Q

3、 -1 BQ = ê ú ê ú ê ln û ë ù ú ú ú ú ln û . 由 此 可 知 P-1 AP = Q-1BQ , 所以有 A = (QP-1 -1 BQP-1 , 其中 QP -1 是可逆的, 因此 A 與 B 相 似. l -1 1 解： 因?yàn)?lE - A = 0 -1 0 l -2 0 -1 0 = l (l - 2 2 , 所以 A 特征值為 0,2,2.（然后 l -1 驗(yàn)證 A 可對(duì)角化，從而 B 可對(duì)角化） 因?yàn)?B = ( kE

4、 + A = k E+ 2 kA+ A = f ( A ( 其中 f ( x = x + 2kx + k , 所以 B 2 2 2 2 2 的特征值為 f (0 = k , f (2 = k + 4k + 4, f (2 = k + 4k + 4. 2 2 2 ék 2 ê 所以 L = ê ê ë ù ú k 2 + 4k + 4 ú. 2 k + 4k + 4 ú û 習(xí)題 5.5 5 解： 因?yàn)?l E - A = l - (n - 1b(l + bn-1 , 所以 A 的特征值為一個(gè)一重

5、特征值 (n - 1b 和一個(gè) n - 1 重特征值 -b . 因?yàn)橹? (n - 1bE - A = n - 1 , 所以 n1 = n - ( n -1 = 1 與 重?cái)?shù)相同. 因?yàn)橹? -bE - A =1 , 所以 n2 = n - 1 與重?cái)?shù)相同. 所以 A 能對(duì)角化（也可 é(n - 1b ê -b 由實(shí)對(duì)稱矩陣得到）, 與其相似的對(duì)角矩陣為 ê ê ê ë ù ú ú. ú ú -b û 6證明：設(shè) l 為 n 階方陣 A 的特征值, x 為 A 的屬于 l 的

6、特征向量, 則有 Ax = lx . 所以 A2x = l 2x = x , 即有 l 2 = 1 , 因此 A 的特征值或?yàn)?1，或?yàn)?1. 7 解： (1 因?yàn)榫仃?A 與 B 相似, 所以 trA=trB, A = B , 由此可以得到 í 而可知 a = 5, b = 6 . 當(dāng) a = 5, b = 6 時(shí), 易知 A 的特征值為 2,2,6. ì5 + a = 4 + b, , 從 î 6a - 6 = 4b. é 1 -1 1 ù ê 4 -2 ú 求解方程組 (2 E - 2 ê ú X

7、= O , 得到屬于 2 的線形無關(guān)的特征向量為 ê ë -3 -3 5 ú û 1, 0, 1 , -1, 1, 0 . T T é 1 -1 1 ù ê 4 -2 ú 求解方程組 (6 E - 2 ê ú X = O , 得到屬于 6 的線形無關(guān)的特征向量為 ê ë -3 -3 5 ú û 2 é1 ù , - , 1ú . ê 3 ë3 û 所以此時(shí) A 可以對(duì)角化。 類似可以證明此時(shí) B

8、也可以對(duì)角化。所以由他們的特征值相同可以知道此時(shí) A 與 B 合 同。 T 1 ù é ê1 -1 3 ú ê ú 2ú ê （2）由（1）可知 P = 0 1 - . ê 3ú ê ú 1 ú ê1 0 ê ú ë û l -1 8解：因?yàn)?l E - A = -a -2 -2 0 l -1 -3 -3 0 0 0 0 0 l -2 l -2 -c = (l - 1 2 (l - 2 2 , 所以 A 有一個(gè)兩 重

9、特征值 1 和一個(gè)兩重特征值 2. n1 = n - 秩( E - A , n2 = n - 秩( 2E - A , A 能與對(duì) 角 矩 陣 相 似 所 以 必 有 n1 = 2, n2 = 2 . 因 此 要 求 秩 ( E - A = 秩 ( 2E - A =2. é0 0 0 0ù é -1 -c -3 -2 ù ê -a 0 0 0 ú ê 0 -1 -3 -2 ú ê ú ú , 要使得秩 ( E - A =2, 必有 E-A= ¾¾ ®

10、4; ê -2 -3 -1 0 ú ê 0 0 0 -a ú ê ú ê ú ë -2 -3 -c -1û ë0 0 0 0 û 0ù é1 -a -2 -2 ù ê0 1 -3 -3 ú 0ú ú ¾¾ ú , a=0 ; ®ê ê0 0 0ú 0 -c ú ú ê ú 0û 0 0û ë0 0 ( 2E - A =2,