高中數(shù)學(xué)（111正弦定理）示范教案新人教A版必修5

1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理從容說課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯(lián)系教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊

2、和兩個角的問題”這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認(rèn)識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)教學(xué)重點1.正弦定理的概念；2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用教學(xué)難點1.正弦定理的探索和證明；2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)教具準(zhǔn)備直角三角板一個三維目標(biāo)一、知識與技能1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；2.會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題二、過程與方法1.讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系；2.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊

3、到一般歸納出正弦定理；3.進行定理基本應(yīng)用的實踐操作三、情感態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一教學(xué)過程導(dǎo)入新課師如右圖，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動師思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？生顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大師能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？師在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系如右圖，在RtABC中，設(shè)BC =A,AC =

4、B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.推進新課 合作探究師那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如右圖，當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當(dāng)ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作ABC的外接圓，在ABC中,令BC=A,A

5、C=B,AB=C,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關(guān)系師很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法. 在ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B,設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAB=90°，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同

6、時,易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. 知識拓展師接下來,我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式A·B=|A|B|Cos,其中為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?生 可以通過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin=Cos(90°-)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90°-,這就為輔助

7、向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評: (1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時間后,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學(xué)生在鞏固

8、向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到由分配律可得.|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).AsinC=CsinA.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點為前提,

9、防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B).(2)ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°),AsinC=CsinA.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得.（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明

10、了正弦定理之后,我們來進一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用. 教師精講（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價于 (形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題. 已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題.已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件一般地，已知三角形的某些邊和角，求其

11、他的邊和角的過程叫作解三角形師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié).例題剖析【例1】在ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°根據(jù)正弦定理，b=80.1(cm);c=74.1(cm).方法引導(dǎo) (1)此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和18

12、0°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器.【例2】在ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）分析:此例題屬于BsinAab的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理，sinB =0.899 9.因為0°B180°，所以B64°或B116°.（1）當(dāng)B64°時，C =180°-（A+B）=180°-（4

13、0°+64°）=76°，C =30(cm).（2）當(dāng)B116°時，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C=13(cm). 方法引導(dǎo)通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當(dāng)然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在ABC中,已知A60,B50,A38°,求B(精確到1°)和C(保留兩

14、個有效數(shù)字). 分析:此題屬于AB這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B<A,所以B<A,因此B也是銳角.sinB=0.513 1,B31°.C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.C=91. 方法引導(dǎo)同樣是已知兩邊和一邊對角,但可能出現(xiàn)不同結(jié)果,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意解題的靈活性,對于本題,如果沒有考慮角B所受限制而求出角B的兩個解,進而求出邊C的兩個解,也可利用三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)進而驗證而達到排除不符合題意

15、的解.變式二：在ABC中,已知A28,B20,A120°,求B(精確到1°)和C(保留兩個有效數(shù)字). 分析:此題屬于A為鈍角且A>B的情形,有一解,可應(yīng)用正弦定理求解角B后,利用三角形內(nèi)角和為180°排除角B為鈍角的情形.解：sinB=0.618 6,B38°或B142°(舍去).C =180°-（A+B）=22°. C =12. 方法引導(dǎo)(1)此題要求學(xué)生注意考慮問題的全面性,對于角B為鈍角的排除也可以結(jié)合三角形小角對小邊性質(zhì)而得到.(2)綜合上述例題要求學(xué)生自我總結(jié)正弦定理的適用范圍,已知兩角一邊或兩邊與其中一邊

16、的對角解三角形.(3)對于已知兩邊夾角解三角形這一類型,將通過下一節(jié)所學(xué)習(xí)的余弦定理來解.師為鞏固本節(jié)我們所學(xué)內(nèi)容,接下來進行課堂練習(xí)：1.在ABC中(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)，(1)已知C =,A =45°,B=60°，求B;(2)已知B12,A30°,B120°,求A.解：(1)C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，B =1.6.(2)，A =6.9.點評:此題為正弦定理的直接應(yīng)用,意在使學(xué)生熟悉正弦定理的內(nèi)容,可以讓數(shù)學(xué)成績較弱的學(xué)生進行在黑板上解答,以增強其自信心.2.根據(jù)

17、下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1):(1)B=11,A=20,B=30°(2)A=28,B=20,A=45°(3)C =54,B=39,C=115°(4)A=20,B=28,A=120°.解： (1) .sinA =0.909 1.A165°，A2115°.當(dāng)A165°時，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，C1=22.當(dāng)A2115°時，C2=180°-(B+A2)=180°-(30

18、6;+115°)=35°,C2=13.(2)sinB=0.505 1,B130°，B2150°.由于A+B2=45°+150°180°,故B2150°應(yīng)舍去(或者由BA知BA,故B應(yīng)為銳角).C=180°-(45°+30°)=105°.C=38.(3),sinB=0.654 6.B141°,B2139°.由于BC,故BC,B2139°應(yīng)舍去.當(dāng)B=41°時，A=180°-(41°+115°)=24°,A=24.(4) sinB= =1.2121.本題無解.點評:此練習(xí)目的是使學(xué)生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂