高中數(shù)學(xué)競賽講義直線和圓圓錐曲線練

1、課后練習(xí)1已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，是等邊三角形，則的面積是（A）（B）（C）（D）2平面上整點（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點）到直線的距離中的最小值是（A）（B）（C）（D）3若實數(shù)x, y滿足(x+5)2+(y 12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4直線橢圓相交于A，B兩點，該圓上點P，使得PAB面積等于3，這樣的點P共有(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個5設(shè)a，bR，ab0，那么直線axyb0和曲線bx2ay2ab的圖形是yyyyxxxx A B C D 6過拋物線y28(x2)的焦點F作傾斜角為60

2、o的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于A B CD7方程表示的曲線是A. 焦點在x軸上的橢圓B. 焦點在x軸上的雙曲線C. 焦點在y軸上的橢圓D. 焦點在y軸上的雙曲線8在橢圓中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B。若該橢圓的離心率是，則=。9設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1| :|PF2|2 :1，則三角形PF1F2的面積等于_10在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點M（1，2）和N（1，4），點P在X軸上移動，當(dāng)取最大值時，點P的橫坐標(biāo)為_。11若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個頂點在拋物線.12已

3、知：和：。試問：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時，對任意一點P，均存在以P為頂點、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。13 設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。（1）實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2）O為原點，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點A，當(dāng)0<a<時，試求OAP的面積的最大值（用a表示）。14已知點和拋物線上兩點使得，求點的縱坐標(biāo)的取值范圍15一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點A，且OAa. 拆疊紙片，使圓周上某一點A/ 剛好與A點重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當(dāng)A/取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集

4、合16（04，14）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。（）求點P的軌跡方程；（）若直線L經(jīng)過的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。17過拋物線上的一點A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足;點F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點P.當(dāng)點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.課后練習(xí)答案1.C 2.B 3.B 5.B 6.A 7.C8.90º 9.10.設(shè)橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a3，b2，c

5、，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三邊之長分別為2，4，2，而2242(2)2，可見PFlF2是直角三角形，且兩直角邊的長為2和4，故PFlF2的面積411. 解：經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上，設(shè)圓心為S（a，3a），則圓S的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應(yīng)的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故

6、點P（1，0）為所求，所以點P的橫坐標(biāo)為1。12.解：設(shè)正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo)為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長為則在上任取一點（6，,5），它到直線的距離為.、聯(lián)立解得或13.利用極坐標(biāo)解決：以坐標(biāo)原點為極點，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為-（1）顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設(shè)A，則B代入（1）式相加：由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB的距離為1，從而，14. 解：(1)由消去y得：設(shè)，問題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根只需討論以下三種情況： 1°0得：，此時xpa2，當(dāng)且僅當(dāng)a

7、a2a，即0a1時適合；2°f (a)f (a)0，當(dāng)且僅當(dāng)ama；3°f (a)0得ma，此時xpa2a2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a2a，即0a1時適合f (a)0得ma，此時xpa2a2，由于a2a2a，從而ma綜上可知，當(dāng)0a1時，或ama；當(dāng)a1時，ama(2)OAP的面積0a，故ama時，0a，由唯一性得顯然當(dāng)ma時，xp取值最小由于xp0，從而yp取值最大，此時，當(dāng)時，xpa2，yp，此時下面比較與的大?。毫睿霉十?dāng)0a時，此時當(dāng)時，此時 15.解：設(shè)點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為顯然，故由于，所以從而，消去，注意到得：由解得：或當(dāng)時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，均滿足是題意故點

8、的縱坐標(biāo)的取值范圍是或16.解：如圖，以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則有A(a，0)設(shè)折疊時，O上點A/()與點A重合，而折痕為直線MN，則 MN為線段AA/的中垂線設(shè)P(x，y)為MN上任一點，則PA/PA5分即10分可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化為1，即所求點的集合為橢圓圓1外(含邊界)的部分20分17. 解：（）直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，即，化簡得點P的軌跡方程為圓S：（）由前知，點P的軌跡包含兩部分圓S：與雙曲線T：因為B（1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上

9、，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為（i）當(dāng)k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。.10分（ii）當(dāng)時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：情況1：直線L經(jīng)過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程得，解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當(dāng)時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。情況2：直線L不經(jīng)過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數(shù)解，消去y并化簡得該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是或解方程得，解方程得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。18.解一：過拋物線上點A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點. 設(shè)、，則由知，得EF所在