高中數(shù)學人教B版必修2課件：113 圓柱、圓錐、圓臺和球

1、1 1.1 1.3 3圓柱、圓錐、圓臺和球1.理解圓柱、圓錐、圓臺和球的有關概念,并能從運動的觀點來認識這四種幾何體的形成過程.2.掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的軸截面的特征.3.掌握圓柱、圓錐、圓臺和球及簡單組合體的結(jié)構特征.4.能進行簡單的有關圓柱、圓錐、圓臺以及球的計算問題.1231.圓柱、圓錐、圓臺(1)概念:分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺.其中用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐,截面與底面之間的部分也叫做圓臺.旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸;在軸上的

2、這條邊(或它的長度)叫做幾何體的高;垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做幾何體的底面;不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做幾何體的側(cè)面,無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都叫做側(cè)面的母線;我們常將圓柱的側(cè)面稱為圓柱面,圓錐的側(cè)面稱為圓錐面.123(2)規(guī)定:圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體,圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體,圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體.123【做一做1-1】 下列圖形為圓柱體的是()解析:圓柱的上、下兩個底面是相互平行并且完全相等的.答案:C123【做一做1-2】 下列命題中正確的是()A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓臺C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D

3、.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑解析:以直角梯形垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺,所以選項B不正確;圓錐僅有一個底面,所以選項C不正確;圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長,所以選項D不正確;很明顯選項A正確.答案:A1232.球(1)概念:一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面,球面圍成的幾何體叫做球.形成球的半圓的圓心叫球心;連接球面上一點和球心的線段叫球的半徑;連接球面上兩點且通過球心的線段叫球的直徑.(2)表示:用表示球心的字母表示.(3)球面也可以看作空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.球

4、面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓,被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓.在球面上,兩點之間的最短距離,就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度.事實上,人們把這個弧長叫做兩點的球面距離.123(4)圓柱、圓錐、圓臺、球等幾何體,都是由一個平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體,這類幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體,這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.知識拓展 1.從集合的角度理解球.在空間中,到定點的距離等于或小于定長的點的集合,叫做球體(簡稱球).定點叫做球的球心;定長叫做球的半徑;到定點距離等于定長的點的集合叫做球面.2.球面上兩點間的球面距離,必須是在球過此兩點的大圓中求此兩點所對應的劣弧的

5、長度,不能在此兩點的球的小圓中求.123【做一做2】 有下列說法:球的半徑是連接球心和球面上任意一點的線段;球的直徑是連接球面上兩點的線段;不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓.其中正確說法的序號是.解析:利用球的結(jié)構特征判斷:正確;不正確,因為直徑必過球心;正確.答案:1233.組合體(1)概念:由柱、錐、臺、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體.(2)基本形式:有兩種,一種是由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體;另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的簡單組合體.名師點撥 三種簡單的組合體:多面體與多面體的組合;多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合;旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.常見的簡單組合體及其結(jié)構特征:(1

6、)正方體的八個頂點在同一個球面上,此時正方體稱為球的內(nèi)接正方體,球是正方體的外接球,并且正方體的對角線是球的直徑;(2)一個球與正方體的所有棱相切,則正方體每個面上的對角線長等于球的直徑;(3)一個球與正方體的所有面相切,則正方體的棱長等于球的直徑.123【做一做3-1】 一個直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)360形成的空間幾何體為()A.一個圓錐B.一個圓錐和一個圓柱C.兩個圓錐D.一個圓錐和一個圓臺答案:C123【做一做3-2】 一個正方體內(nèi)接于一個球,過球心作一截面,則截面不可能是()解析:過球心的任何截面都不可能是圓的內(nèi)接正方形.答案:D123451.圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)剖析:(1)對于圓柱的性

7、質(zhì),要注意以下兩點:一是軸線垂直于圓柱的底面;二是三類截面的性質(zhì)平行于底面的截面是與底面全等的圓,軸截面是一個由上、下底面圓的直徑和母線組成的矩形,平行于軸線的截面是一個由上、下底面圓的弦和母線組成的矩形.(2)對于圓錐的性質(zhì),要注意以下兩點:一是兩類截面平行于底面的截面是與底面相似的圓,過圓錐的頂點且與底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形;二是圓錐的母線l、高h和底面圓的半徑R組成一個直角三角形.有關圓錐的計算,一般歸結(jié)為解這個直角三角形,往往會用到關系式l2=h2+R2.12345(3)對于圓臺的性質(zhì),要注意以下兩點:一是圓臺的母線共點,所以由任意兩條母線確定的截面為

8、等腰梯形,但是與上、下底面都相交的截面不一定是梯形;二是圓臺的母線l、高h和上底面圓的半徑r、下底面圓的半徑R組成一個直角梯形,且有l(wèi)2=h2+(R-r)2,有關圓臺的計算問題,常歸結(jié)為解這個直角梯形.123452.球的截面的性質(zhì)(1)用任意一個平面去截球,得到的截面為圓面.設球心為O,截面圓的圓心為O,球的半徑為R,截面圓的半徑為r,球心到截面圓的(2)解決有關球的截面問題的關鍵是尋找球的半徑、截面圓的半徑及球心到截面圓的距離OO構成的直角三角形這一常用圖形.(3)對于球的兩個平行截面圓的問題要注意這兩個截面是在球心的同側(cè)還是異側(cè),否則對問題的探求不全面.(4)有關球的計算,往往先作出大圓,

9、從而化球為圓,再用平面幾何的有關定理求解.123453.地球的經(jīng)緯線和經(jīng)緯度(1)經(jīng)線和經(jīng)度.剖析:經(jīng)線是地球表面上從北極到南極的半個大圓,在同一條經(jīng)線上的點的經(jīng)度都相等,如圖,圓O是赤道面,圓O是緯線圈,點P的經(jīng)度與點A的經(jīng)度相等,如果經(jīng)過點B的經(jīng)線是本初子午線(即0經(jīng)線),那么點P的經(jīng)度等于AOB的度數(shù),也等于POC的度數(shù).12345(2)緯線和緯度.剖析:赤道是一個大圓,它是0緯線,其他的緯線都是小圓,它們是由與赤道面平行的平面截球所得到的.如圖,圓O是赤道面,圓O是緯線圈,若點P,A在同一條經(jīng)線上,則點P的緯度等于POA的度數(shù),也等于OPO的度數(shù).123454.教材中的“探索與研究”對

10、圓柱、圓錐、圓臺:(1)平行于底面的截面是什么樣的圖形?(2)過軸的截面(簡稱軸截面)分別是什么樣的圖形?(3)研究圓柱、圓臺和圓錐之間的關系.剖析:(1)平行于底面的截面,圖形都是圓.(2)過軸的截面,對于圓柱是矩形,對于圓錐是等腰三角形,對于圓臺是等腰梯形.(3)圓柱的上底面變小,就變?yōu)閳A臺,當上底面變?yōu)橐粋€點時,它就變成了圓錐.圓臺是由圓錐截得的,“還臺為錐”不失為解決圓臺問題的好辦法.123455.教材中的“思考與討論”在平面幾何中,你學習了直線與圓的位置關系,那么平面與球的位置關系如何?剖析:類比平面上直線與圓的位置關系,平面與球有以下幾種位置關系:相離、相切、相交,其中相離是平面與

11、球無公共點,相切是平面與球有且只有一個公共點,相交則是平面與球有無數(shù)多個公共點.題型一題型二題型三題型四【例1】 (1)若把圖中的4個圖形分別繞虛線旋轉(zhuǎn)一周,能形成圖中的幾何體,按順序與1,2,3,4對應的幾何體分別是圖中的.圖 圖題型一題型二題型三題型四(2)給出以下說法:圓臺中平行于底面的截面都是圓面;圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的;用一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺;球是以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體;球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段;圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線段是圓錐的母線.其中,正確的說法是.(填序號)題型一題型二題型三題型四解析

12、:(1)第1個平面圖形為半圓,繞其直徑旋轉(zhuǎn)一周,應形成一個球;第2個平面圖形為矩形,繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周,應形成一個圓柱;第3個平面圖形是上、下兩個直角三角形,繞其直角邊旋轉(zhuǎn)一周,應形成上、下兩個圓錐;第4個平面圖形是一個直角梯形,繞其較短的底邊旋轉(zhuǎn)一周,形成的是一個下部挖去一個小圓錐的圓柱.因此圖形1,2,3,4對應的幾何體分別是a,d,b,c.(2)正確.圓臺中所有平行于底面的截面都是圓面.正確.由圓柱母線的定義知,圓柱的任意兩條母線是平行的.錯誤.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,才能得到一個圓錐和一個圓臺,用不平行于圓錐底面的平面截圓錐,則不能得到一個圓錐和一個圓臺.題型一題型二題型三題型四

13、正確.由球的定義易知該說法正確.正確.由球的定義可知,球面上任意一點與球心的連線段都是半徑.正確.由圓錐母線的定義知,圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線段都是母線.答案:(1)a,d,b,c(2)題型一題型二題型三題型四反思 判斷一個平面圖形旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的形狀時,關鍵是明確軸的位置以及平面圖形中各邊與軸的位置關系.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】 下列給出的圖形中,繞虛線旋轉(zhuǎn)一周,能形成圓臺的是()解析:利用旋轉(zhuǎn)體的定義判斷.答案:A題型一題型二題型三題型四【例2】 圓臺的母線長為2a,母線與軸的夾角為30,一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑及兩底面面積之和.分

14、析:由題目可獲取以下主要信息:已知圓臺的母線長及母線與軸的夾角;上、下底面圓的半徑關系.本題利用圓臺的軸截面不難求出.題型一題型二題型三題型四解:設圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,如圖,ASO=30.所以SA=2r,所以SA=4r,所以SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a,所以S=S1+S2=r2+(2r)2=5r2=5a2,所以圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為5a2.題型一題型二題型三題型四反思 解決圓柱、圓錐、圓臺中有關量的計算問題時,關鍵是作出軸截面,通過軸截面,在矩形、三角形、梯形中構造直角三角形,利用勾股定理進行計算求解.題型一題型二題型三題型四

15、【變式訓練2】 已知某圓臺一個底面的面積為36,母線長為A.5B.7 C.5或7D.9解析: 圓臺的軸截面為一個等腰梯形,如圖所示,易知AD=5,由題意可得一個底面圓的半徑為6,故若CD=12,則可知另一個底面圓的半徑為7;若AB=12,則可知另一個底面圓的半徑為5,故選C.答案:C題型一題型二題型三題型四【例3】 用一個平面截一個半徑為13 cm的球,得到一個面積為25 cm2的圓,試求球心到該截面圓圓心的距離.分析:根據(jù)球的截面的性質(zhì),球心與截面圓圓心的連線垂直于截面,據(jù)此構造直角三角形,利用勾股定理求解.解:設球的半徑為R,截面圓的半徑為r,球心O到該截面圓圓心O1的距離為d,題型一題型

16、二題型三題型四反思 解有關球的問題時,常用如下性質(zhì):(1)用任意平面截球所得的截面是一個圓面,過球心和截面圓的圓心的直線垂直于截圓.(2)若分別用R和r表示球的半徑和截面圓的半徑,用d表示球心到截面的距離,則R2=r2+d2.球的有關計算問題,常歸結(jié)為解直角三角形問題.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 在半徑為13的球面上有A,B,C三點,AB=6,BC=8,CA=10,則球心到平面ABC的距離為.解析:AB2+BC2=CA2,ABC=90.ABC外接圓的圓心為AC的中點,且半徑為5.如圖,BO1=5,且OO1平面ABC,答案:12 題型一題型二題型三題型四【例4】 圓錐底面半徑為r,高

17、為h,正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于此圓錐,求這個正方體的棱長.分析:與圓錐有關的問題主要通過軸截面來討論,而正方體只有唯一基本量棱長,圓錐的軸截面在任何位置都相同,故過正方體的頂點作軸截面便于建立棱長與r,h之間的聯(lián)系.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思 本題畫出軸截面圖形是解決問題的關鍵,從圓錐與正方體的結(jié)合入手,過正方體一組對棱的平面截圓錐得到軸截面,從而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.題型一題型二題型三題型四答案:C 題型一題型二題型三題型四易錯點:忽視球截面的位置致錯【例5】 已知半徑為10的球內(nèi)有兩個截面,其面積分別為36和64,求這兩個截面之間的距離.題型一題

18、型二題型三題型四錯解:如圖,設兩個截面圓的圓心分別為O1,O2,球的球心為O,由已知得O1A=6,O2B=8.故兩截面之間的距離d=O1O2=OO1-OO2=8-6=2.錯因分析:錯解中只考慮了兩個截面在球心同側(cè)的情況,事實上,兩個截面還可以位于球心的異側(cè),因此,兩個截面之間的距離有兩種不同的結(jié)果.題型一題型二題型三題型四正解:設兩個截面圓的圓心分別為O1,O2,半徑分別為O1A,O2B.則有O1A=6,O2B=8,設球心為O.(1)當兩截面位于球心O的同側(cè)時(如圖),所以兩截面之間距離d=OO1-OO2=8-6=2.圖 圖題型一題型二題型三題型四(2)當兩截面位于球心O的異側(cè)時(如圖),所以兩截面之間的距離為d=OO1+OO2=8+6=14.綜上(1)(2)可知,這兩個截面之間的距離為2或14.123451.下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是()圓柱;六棱錐;正方體;球體;四面體.A.和B.和C.和D.和答案:D123452.對于圓柱、圓錐和圓臺的底面,下列說法正確的是()A.一定都是圓 B.可以是一個點C.是橢圓D.是圓或橢圓解析: