橢圓離心率求法總結(jié)

1、一、 運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義?；A(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PDL于D，QFAD于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ評：AQP為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。題目1：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？BAF2F1思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取AF2 的中點(diǎn)B，連接BF1 ,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造F1BF2分析三角形的

2、各邊長及關(guān)系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=cc+c=2a e= = -1 變形1：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，點(diǎn)P在橢圓上，使OPF1 為正三角形，求橢圓離心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：連接PF2 ,則OF2=OF1=OP,F1PF2 =90°圖形如上圖，e=-1 變形2: 橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1 X軸，PF2 AB,求橢圓離心率？BAF2F1PO解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB

3、= 又 b= a2=5c2 e=點(diǎn)評：以上題目，構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，通過各邊的幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的 方程式，推導(dǎo)離心率。二、運(yùn)用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓 +=1(a>b >0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂點(diǎn)，ABF=90°，求e?FBAO解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 兩邊同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)變形：橢圓 +=1(a>b >0)，e=, A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂點(diǎn)，求ABF？點(diǎn)評：此題是上一題的條

4、件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、ABF=90°2、假設(shè)下端點(diǎn)為B1 ,則ABFB1 四點(diǎn)共圓。3、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長?？偨Y(jié)：焦點(diǎn)三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。題目3：橢圓 +=1(a>b >0)，過左焦點(diǎn)F1 且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若F1A=2BF1,求e?解：設(shè)BF1=m 則AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：兩式相除 =e=題

5、目4：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點(diǎn)，且PF1F2 =5PF2F1 ,求e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理： = = 根據(jù)和比性質(zhì)：= 變形得： = =ePF1F2 =75°PF2F1 =15°e= =點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變形1：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2 =60°，求e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)F1F2

6、P=，則F2F1P=120°-e=e<1變形2：已知橢圓+ =1(t>0) F1F2 為橢圓兩焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)（M不與長軸兩端點(diǎn)重合）設(shè)PF1F2 =,PF2F1 =若<tan < tan <,求e的取值范圍？分析：運(yùn)用三角函數(shù)的公式，把正弦化正切。解;根據(jù)上題結(jié)論e= =e <<<e<三、 以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，用設(shè)而不求的方法找e所符合的關(guān)系式.題目5：橢圓 +=1(a>b >0)，斜率為1，且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，+與=(3,-1)共線，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法

7、一：設(shè)A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c=+=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=法二：設(shè)AB的中點(diǎn)N，則2=+ - 得：=- 1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。題目6：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，滿足1·2 =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：1·2 =0以F1F2 為直徑作圓，M在

8、圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。解：c<b a2=b2+c2 >2c2 0<e<題目7：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P為右準(zhǔn)線L上一點(diǎn)，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過F2 點(diǎn)，求e的取值范圍？MPF2F1O分析：思路1,如圖F1P與 F2M 垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。 思路2：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 則1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 1·2 =0 ( +c, y0 ) ·(

9、-c, )=0 ( +c)·( -c)+ =0a2-3c20 e<1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 則2c-c 3c3c2a2 則e<1設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值范圍。解法1：利用曲線范圍設(shè)P（x，y），又知，則將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得解法2：利用二次方程有實(shí)根由橢圓定義知解法3：利用三角函數(shù)有界性記解法4：利用焦半徑由焦半徑公式得解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性由，知點(diǎn)P在以為直徑的圓上。又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P故有離心率的五種求法橢圓的離心率，雙曲

10、線的離心率，拋物線的離心率一、直接求出、，求解已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或、易求時，可利用率心率公式來解決。例1：已知雙曲線（）的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 解：拋物線的準(zhǔn)線是，即雙曲線的右準(zhǔn)線，則，解得，故選D變式練習(xí)1：若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為、，則其離心率為（）A. B. C. D. 解：由、知，又橢圓過原點(diǎn)，所以離心率.故選C.變式練習(xí)2：如果雙曲線的實(shí)半軸長為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為（）A. B. C. D 解：由題設(shè)，則，因此選C變式練習(xí)3：點(diǎn)P（-3，1）在橢圓（）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)且方向?yàn)榈墓饩€，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，

11、則這個橢圓的離心率為（）A B C D 解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對稱關(guān)系）為，則解得，則，故選A1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于2.已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為3.若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為,則橢圓的離心率為4.已知矩形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。短軸端點(diǎn)為滿足，則橢圓的離心率為。6.已知則當(dāng)mn取得最小值時，橢圓的的離心率為7.橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是8.已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1

12、A，POAB（O為橢圓中心）時，橢圓的離心率為。9.P是橢圓+=1（ab0）上一點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知橢圓的離心率為10.已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若， 則橢圓的離心率為 11.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為12.設(shè)橢圓=1（ab0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是。13.橢圓（a>b>0）的兩頂點(diǎn)為A（a,0）B(0,b),若右焦點(diǎn)F到直線AB的距離等于AF，則橢圓的離心率是。 14.橢圓（a>b>0）的四個頂點(diǎn)為A、B、C、D，若

13、四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是15.已知直線L過橢圓（a>b>0）的頂點(diǎn)A（a,0）、B(0,b),如果坐標(biāo)原點(diǎn)到直線L的距離為，則橢圓的離心率是16.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=二、構(gòu)造、的齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件，借助、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率。例2：已知、是雙曲線（）的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D. 解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，則的橫坐標(biāo)為，由焦半徑公式，即，得，

14、解得（舍去），故選D變式練習(xí)1：設(shè)雙曲線（）的半焦距為，直線過，兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 解：由已知，直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，又, ,兩邊平方，得，整理得，得或，又，故選A變式練習(xí)2：雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為、，則雙曲線的離心率為（）A B C D 解：如圖所示，不妨設(shè)，則，又，在中，由余弦定理，得,即，故選B1已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是3以橢圓的一個焦點(diǎn)

15、F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，如果MF=MO，則橢圓的離心率是4設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是5已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是6設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 （為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求

16、解例4：設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，若過且垂直于軸的弦的長等于點(diǎn)到的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖所示，是過且垂直于軸的弦，于，為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，變式練習(xí)：在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該橢圓的離心率為（）A B C D 解：五、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。1已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是2已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，橢圓離心率e的取值范圍為3已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，橢圓離心率e的取值范圍為4設(shè)橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，若橢圓上

17、存在一點(diǎn)Q，使F1QF2=120º，橢圓離心率e的取值范圍為5在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率6設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是配套練習(xí)1.設(shè)雙曲線（）的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（）A. B. C. D. 2已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于（）A BCD3已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A B C D 4在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為A B C D 5在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于

18、實(shí)軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A B C D 6如圖，和分別是雙曲線（）的兩個焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A B C D 7. 設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（）AB C D8設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線離心率為（）A B C D 9已知雙曲線（）的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）A B C D 10橢圓（）的焦點(diǎn)為、，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為、，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）AB CD可得故選D2倍，橢圓的離心率，選D。3.雙曲線焦點(diǎn)在x軸,由漸近線方程可得,故選A4.不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e5.不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則有，據(jù)此解得e，選C6.解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點(diǎn)