概率論基礎(chǔ)知識(shí)1ppt課件

1、周周 圣圣 武武數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì): 52385 : zswcumt163中國礦業(yè)大學(xué)中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院理學(xué)院 1.6大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理 1. 大數(shù)定律大數(shù)定律2. 中心極限定理中心極限定理本章是關(guān)于隨機(jī)變量序列的極限實(shí)際。本章是關(guān)于隨機(jī)變量序列的極限實(shí)際。大數(shù)定律：對于隨機(jī)變量序列大數(shù)定律：對于隨機(jī)變量序列12,nXXX描畫其平均值描畫其平均值11niiXn在什么條件下以什么方式趨于穩(wěn)定。在什么條件下以什么方式趨于穩(wěn)定。中心極限定理：對于隨機(jī)變量序列中心極限定理：對于隨機(jī)變量序列12,nXXX其部分和其部分和1niiX在什么條件下趨于什么分布。在什么條件下趨于什么分

2、布。1. 大數(shù)定律大數(shù)定律切比雪夫切比雪夫ChebyshevChebyshev不等式不等式幾個(gè)常見的大數(shù)定律幾個(gè)常見的大數(shù)定律定義定義1 11|limaXPnn.PnXa 依概率收斂于依概率收斂于a a ，記為，記為設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列0有有: :那么稱那么稱12,nX XX，假設(shè)存，假設(shè)存在常數(shù)在常數(shù) a ，使得對于恣意，使得對于恣意nX依概率收斂依概率收斂依分布收斂依分布收斂),()(limxFxFnn分分別別是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量，定定義義：設(shè)設(shè))(, 2 , 1)(xFnxFnxXnXn連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)的分布函數(shù)，若對的分布函數(shù)，若對及及), 2 , 1(.XXXXLnn，記記為為依

3、依分分布布收收斂斂于于則則稱稱并不需要定義在共同的并不需要定義在共同的注：對于分布收斂，注：對于分布收斂，nX而而是是斂斂的的并并不不是是概概率率空空間間。實(shí)實(shí)際際上上，收收,nX.nnFX分布函數(shù)分布函數(shù)可以證明可以證明，則）若（XXPn1；XXLn的充要條件為為常數(shù)，則）設(shè)（cXcPn2. cXLnr-階收斂階收斂,2nnXEXX，有及設(shè)對隨機(jī)變量定義, 0lim2XXEnn.XXn均方收斂于則稱如果,2XE其中更一般地，設(shè),rrnXEXE, 0limrnnXXE,XrXn階收斂于則稱為常數(shù)，如果0r.XXrn記作1-階收斂又稱為平均收斂，階收斂又稱為平均收斂，2-階收斂即為均方收斂。階收

4、斂即為均方收斂。以概率以概率1 1收斂收斂，（簡簡記記為為若若定定義義1)()(lim:XXPnn.XXXXsan，記作隨機(jī)變量（或幾乎處處）收斂于1,1lim以概率則稱隨機(jī)變量序列）nnnXXXP四種收斂關(guān)系：四種收斂關(guān)系：以概率以概率1收斂或收斂或r-階收斂階收斂依概率收斂依概率收斂依分布收斂依分布收斂定義定義 設(shè)設(shè)Xn為為p 維隨機(jī)向量序列，數(shù)學(xué)期望維隨機(jī)向量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xn)存在存在niinXnX11假設(shè)對于恣意的假設(shè)對于恣意的 ，都有，都有00limnnnXEXP那么稱那么稱Xn服從大數(shù)定律，其中服從大數(shù)定律，其中piixx1210limnnnXEXP假設(shè)假設(shè)那么稱那么稱Xn服

5、從強(qiáng)大數(shù)定律。服從強(qiáng)大數(shù)定律。大數(shù)定律大數(shù)定律幾個(gè)常見的大數(shù)定律幾個(gè)常見的大數(shù)定律定理定理1 1切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律11lim1nknkPXn那那么么即對恣意的即對恣意的 0 0，設(shè)設(shè) X1 , X2 , X1 , X2 , 是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有一樣的數(shù)學(xué)期望它們都有一樣的數(shù)學(xué)期望2()iiE XD X和方差 （ ）11.nPiiXn 證明證明11niiEXn1111()nniiiE Xnn22221111()nniiiD Xnnn由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得 22111nkkPXnn 1所以所以11lim1niniPXn11

6、niiDXn定理定理2 2辛欽定律辛欽定律且具有一樣的數(shù)學(xué)期望且具有一樣的數(shù)學(xué)期望辛欽設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1 , X2 , X1 , X2 , 獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，那么那么(),1,2,iE Xi11lim1nknkPXn辛欽大數(shù)定律中，隨機(jī)變量的方差可以不存在，只需辛欽大數(shù)定律中，隨機(jī)變量的方差可以不存在，只需獨(dú)立同分布就可以了。獨(dú)立同分布就可以了。定理定理3 3伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律P是事件是事件A發(fā)生的概率，那么對任給的發(fā)生的概率，那么對任給的 0，有有1AnnPpnlim設(shè)設(shè)nAnA是是n n重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件A A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，即即.P

7、Anpn 證明證明 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量1,0iiXi第 次， 第 次實(shí)驗(yàn)中A發(fā)生，實(shí)驗(yàn)中A不發(fā)生，12i ， ，顯然顯然12AnnXXX且且11,2,ikE XpD Xppkn（ ）， （） （） ，又由于各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，所以又由于各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，所以12,nXXX獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布, 那么由辛欽大數(shù)定律可得那么由辛欽大數(shù)定律可得1AnnPpnlim5.2 中心極限定理中心極限定理中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景: :在實(shí)踐問題中，經(jīng)常需求思索許多隨機(jī)在實(shí)踐問題中，經(jīng)常需求思索許多隨機(jī)要素所產(chǎn)生的綜合影響要素所產(chǎn)生的綜合影響. .定理定理1 1記記 為為 的分布函數(shù)的分

8、布函數(shù)設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立同分布，相互獨(dú)立同分布，12,nXXXniiinXEXnX11 nxxFnx, 0sup x其中其中 為規(guī)范正態(tài)分布函數(shù)。為規(guī)范正態(tài)分布函數(shù)。 xFn, 2 , 1, 02iXDi記為記為1, 0NXLn例例1 1 某人要丈量甲、乙兩地之間的間隔。某人要丈量甲、乙兩地之間的間隔。限于丈量限于丈量工具，他分成工具，他分成 1200 段來丈量。段來丈量。 每段丈量誤差單位：每段丈量誤差單位：厘米服從于厘米服從于-0.5, 0.5)上的均勻分布。求總間隔誤上的均勻分布。求總間隔誤差的絕對值超越差的絕對值超越20厘米的概率。厘米的概率。解解 設(shè)第設(shè)第k 段的丈量誤差為段的丈量誤差為

9、.1200, 2 , 1kXk120021,XXX且且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。且0 5 0 51 21200. ,., ,.kXUk()0,kE X211()0.5( 0.5)1212kD X 由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得1200120kkPX1200102011120012001212kkXP1200101210kkXP 122 222 20.02280.0456 根據(jù)以往閱歷，某種電器元件的壽命服從均根據(jù)以往閱歷，某種電器元件的壽命服從均值為值為100100小時(shí)的指數(shù)分布小時(shí)的指數(shù)分布. . 現(xiàn)隨機(jī)地取現(xiàn)隨機(jī)地取1616只，設(shè)它們的

10、只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的壽命是相互獨(dú)立的. . 求這求這1616只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于19201920小時(shí)的概率小時(shí)的概率. .那么那么X1,X2,XnX1,X2,Xn相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，1616只元件的壽命的總和為只元件的壽命的總和為161kkXY解解 設(shè)第設(shè)第i i 只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16Xi , i=1,2, ,16E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000例例2 2E(Y )=1600,D(Y )=160000由中心極限定理由中心極限定理, ,近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N (0,1)N (0,1)4001

11、600Y1920 16001400 192011920P YP Y 1(0.8) 1 0.7881 0.2119定理定理2 2棣莫佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理De Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplacelim(1)nnnpPxnppdtext2221n設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為服從參數(shù)為10, ppn的二項(xiàng)分布，的二項(xiàng)分布，那么對恣意的那么對恣意的x x，有，有 xbnpanpnpqnpq ( , ).nYB n p推論：推論： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量當(dāng)當(dāng)n n充分大時(shí)有：充分大時(shí)有：kkn knna k bP aYbC p q 這個(gè)公式給出了這個(gè)公式給出

12、了n n 較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。例例3 報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，假設(shè)每位行人買報(bào)報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，假設(shè)每位行人買報(bào)的概率為的概率為0.2, 且他們能否買報(bào)是相互獨(dú)立的。求報(bào)童且他們能否買報(bào)是相互獨(dú)立的。求報(bào)童向向100位行人兜售之后，賣掉位行人兜售之后，賣掉1530份報(bào)紙的概率。份報(bào)紙的概率。解解 設(shè)報(bào)童賣掉報(bào)紙的份數(shù)為設(shè)報(bào)童賣掉報(bào)紙的份數(shù)為X，,Xb n p1000 220164,. ,npnpnpq1530PX3020152044 2 51 25. 0 99180 10560 8862.例例4 有有100臺(tái)車床彼此獨(dú)立地任務(wù)。每臺(tái)車床的實(shí)臺(tái)車床彼

13、此獨(dú)立地任務(wù)。每臺(tái)車床的實(shí)際任務(wù)時(shí)間占全部任務(wù)時(shí)間的際任務(wù)時(shí)間占全部任務(wù)時(shí)間的80，求以下事件的，求以下事件的概率。概率。1任一時(shí)辰有任一時(shí)辰有7086臺(tái)車床任務(wù)。臺(tái)車床任務(wù)。2任一時(shí)辰有任一時(shí)辰有80臺(tái)以上車床任務(wù)。臺(tái)以上車床任務(wù)。解解 設(shè)任一時(shí)辰任務(wù)的車床臺(tái)數(shù)為設(shè)任一時(shí)辰任務(wù)的車床臺(tái)數(shù)為X 。1000 880164,. ,npnpnpq8670 XP8680708044 927. 019938. 09332. 015 . 25 . 180180XPXP 5 . 001,Xb n p例例5 某單位有某單位有200臺(tái)分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有臺(tái)分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間的時(shí)間要運(yùn)用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)

14、能否運(yùn)用外線是相互獨(dú)要運(yùn)用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)能否運(yùn)用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才干以立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才干以90%90%以以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解解 設(shè)有設(shè)有X X 部分機(jī)同時(shí)運(yùn)用外線，那部分機(jī)同時(shí)運(yùn)用外線，那么有么有),(pnBX200,0.05,10,(1-)3.08.npnpnpp設(shè)有設(shè)有N N 條外線。由題意有條外線。由題意有9 . 0 NXP由德莫佛由德莫佛- -拉普拉斯定理得拉普拉斯定理得NXP(1)(1)XnpNnpPnppnpp其中其中10.3.08(1)NnpNnpp 條外線。即至少要安裝

15、取即14,14.94.13NN.90. 0)28. 1 (查表得101.283.08N 故故 N 應(yīng)滿足條件應(yīng)滿足條件設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)(0,10)上上)20, 2 , 1(kVk.201kkVV348. 0)387. 0(1一加法器同時(shí)收到一加法器同時(shí)收到2020個(gè)噪聲電壓個(gè)噪聲電壓服從均勻分布，記服從均勻分布，記求求 PV 105 的近似值的近似值。210520 5110 /12 20 例例6 210()5()(1,2,20)12kkE VD Vk，解解由定理由定理1 知知105P V 例例7 利用利用 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 中心極限定理中心極限定理分別確定投擲一枚均勻硬幣的次數(shù)，使得出現(xiàn)分別確定投擲一枚均勻硬幣的次數(shù)，使得出現(xiàn)“正面正面向上向上的頻率在的頻率在0.4到到0.6之間的概率不小于之間的概率不小于0.9。解解 設(shè)設(shè) X 表示正面出現(xiàn)的次數(shù)表示正面出現(xiàn)的次數(shù)n 次實(shí)驗(yàn)次實(shí)驗(yàn) ( ,1/2)Xb n 利用契比雪夫不等式利用契比雪夫不等式0.40.6XPn1()2E Xnpn0.40.6PnXn