居民區(qū)供水問題(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上居民區(qū)供水問題的研究與分析摘要：本文針對居民區(qū)供水問題進(jìn)行研究與討論。根據(jù)擬合原理對水塔的流量進(jìn)行模擬，運用數(shù)值積分對一天的總用水量進(jìn)行估計。本文建立了水塔流量模擬的數(shù)學(xué)模型，并對模型進(jìn)行了分析與評價。 對于問題一，流量是單位時間流出的水的體積，由于水塔是正圓柱形，橫截面積是常數(shù)，在水泵不工作的時段，流量很容易從水位對時間的變化率算出，水泵供水時段的流量只能靠供水時段前后的流量擬合得到，在本文的計算中，我們先表中所給數(shù)據(jù)擬合水位時間函數(shù)，對此函數(shù)進(jìn)行求倒，得到連續(xù)時間的流量函數(shù)。對于問題二，運用問題一得出的結(jié)果，分別對第1、2時段和第1、2供水時段流量進(jìn)行積分，然后求

2、和，得出的結(jié)果即是一天的總用水量。對于問題三,根據(jù)水泵的功率（單位時間泵如的水量）等于供水時段的用水量加上水位上升值除以時段長度，可以很容易的得出水泵的功率。關(guān)鍵詞：水塔 流量 擬合 模擬 數(shù)值積分一、問題的提出    某居民區(qū)的民用自來水是由圓柱形水塔提供,水塔高12.2米,直徑17.4米.水塔是由水泵根據(jù)水塔內(nèi)水位高低自動加水,一般每天水泵工作兩次.現(xiàn)在需要了解居民區(qū)用水規(guī)律與水泵的工作功率.按照設(shè)計,當(dāng)水塔的水位降至最低水位,約8.2米,水泵自動啟動加水;當(dāng)水位升高到一個最高水位, 約10.8米,水泵停止工作.    

3、可以考慮采用用水率(單位時間的用水量)來反映用水規(guī)律,并通過間隔一段時間測量水塔里的水位來估算用水率,表1是某一天的測量記錄數(shù)據(jù),測量了28個時刻,但是由于其中有3個時刻遇到水泵正在向水塔供水,而無水位記錄(表1中用/表示).    試建立合適的數(shù)學(xué)模型,推算任意時刻的用水率,一天的總用水量和水泵工作功率.    表1 原始數(shù)據(jù)(單位:時刻(小時),水塔中水位(米)時刻t00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.686時刻t7.0067.9288.

4、9679.981110.92510.95412.032水位8.5258.3888.220/10.82010.500時刻t12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662時刻t19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220/10.82010.59710.35410.180二、模型的基本假設(shè)1、 流量只取決于水位差，與水位本身無關(guān)，由于從小孔流出的流體的流速正比于水面高度的平房根，由題目給出的水塔的最低和最高水位分別為8.2m

5、和10.8m（設(shè)出口的水位為0），所以可以忽略水位對流速的影響。因為2、 水泵第一次供水時段為到，第二次供水時段為到，這是根據(jù)最低和最高水位分別是8.2m和10.8m，及表一的水位測量記錄做出的假設(shè)，其中前3個時刻直接取自實測數(shù)據(jù)（精確到0.1h），最后一個時刻來自每次供水約兩個小時的已知條件（從記錄看，大約在20.84h之后開始供水，大約在22.9h之前結(jié)束供水）。3、 假設(shè)水泵工作時單位時間的供水量是常數(shù)，此常數(shù)大于單位時間的平均流量。4、 假設(shè)流量是關(guān)于時間的連續(xù)函數(shù)。5、 假設(shè)流量與水泵是否工作無關(guān)。6、 由于水塔截面積是常數(shù)，計算中將流量定義為單位時間流出的水的高度，即水位對時間變化

6、率的絕對值，將最后的乘以S即可。即：水位是時間的連續(xù)函數(shù) 水位對時間的變化率（流量） 任何時刻的流量： 三：符號說明：測量時刻：水塔截面積：水位測量記錄：第1時段的用水量：第2時段的用水量：第1供水時段用水量：第2供水時段用水量：一天總用水量：第1時段水位下降高度：第2時段水位下降高度：第1供水時段水位下降高度：第2供水時段和第3時段水位下降高度四：問題的分析與準(zhǔn)備1、 擬合水位時間函數(shù)從表1測量記錄看，一天有兩個供水時段（簡稱第1供水時段和第2供水時段），和三個水泵不工作時間段（以下簡稱第1時間段t=0到t=8.967，第2時間段t=10.954到t=20.839和第3時段t=23以后）。對

7、第1，2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)。為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不宜太高，一般在36.由于第三時段只有三個測量記錄，無法對這一時段的水位做出較好的擬合。2、 確定流量時間函數(shù)對于第1、2時段只要將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第二供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi)，需要擬合四個流量函數(shù)。3、 一天總用水量的估計總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，他們都可以由流量對時間的積分得到：五：模型的建立與求解1、擬合第1、2時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸

8、入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），為了計算方便，也為了提高精度，將水位的單位化為cm，時間精確到0.01h。t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91;h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892

9、866 843 822 0 0 1059 1035 1018;第1時段各時刻的流量可如下得：1）c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）；% a1輸出多項式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)3）tp1=0：0.1：9；x1=-polyval（a1，tp1）；% x1輸出多項式（系數(shù)a1）在tp1點的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時刻的流量。4）流量函數(shù)為：具體程序見附錄shuita1.m用程序進(jìn)行計算，求得在0，9內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：ti00.921.842.953.874

10、.985.907.017.938.97h122.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69fig.1 第一用水時段流量曲線圖第2時段各時刻的流量可如下得： 1）c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),4) %用4次多項式擬合第2時段水位，c2輸出4次多項式的系數(shù)2）a2=polyder(c2) % a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)3）tp2=10.9:0.1:21 x2=-polyval(a2,tp2) % x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時刻的流量4）流量函數(shù)為：具體程序見附

11、錄shuita2.m用程序進(jìn)行計算，求得在11,20.8內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：ti10.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.84h131.8030.5329.2927.9926.5025.4024.5223.9123.9024.4625.56fig.2 第二用水時段流量曲線圖2. 擬合供水時段的流量 在第1供水時段（t=911）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實

12、現(xiàn)如下：xx1=-polyval(a1,8 9);%取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyval(a2,11 12);%取第2時段在t=11,12的流量 xx12=xx1 xx2; c12=polyfit(8 9 11 12,xx12，3);%擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11; x12=polyval(c12,tp12);%x12輸出第1供水時段各時刻的流量 擬合的流量函數(shù)為： 具體程序見附錄shuita3.m用程序進(jìn)行計算，求得在9,11內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：ti911h116.73831.72 fig.3 第一供水時段流量曲線圖在第2供水時段之前取t=2

13、0，20.8兩點的流水量，在該時刻之后（第3時段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后3個時刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個水位的兩兩之差dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %擬合3次多項式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）； % x3

14、輸出第2供水時段（外推至t=24）各時刻的流量擬合的流量函數(shù)為： 具體程序見shuita4.m 用程序進(jìn)行計算，求得在20.8,24內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表： ti22.0122.9623.8824.9925.91h125.57423.93721.62218.478 16.08 fig.4 第2供水時段和第3用水時段流量曲線圖3. 一天總用水量的估計第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計算：（1）第一用水時段的用水量其中積分值通過梯形公式計算 （2）第二用水時段的用水量 （3）第一供水時

15、段的用水量 (4). 第二供水和第三用水時段的用水量 y1=0.1*trapz(x1)； %第1時段用水量（仍按高度計），0.1為積分步長y2=0.1*trapz(x2)； %第2時段用水量y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時段用水量y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時段用水量y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01; %一天總用水量計算結(jié)果：y1=146.18, y2=266.59, y12=50.25, y3=70.00，y=1267.52具體程序見shuita5.m通過程序可以計算出各時段的用水量及一天的總用水量如下：各時段用水量第一用水時段用量

16、第二用水時段用量第一供水時段用量第二供水時段用量一天總用水量ViV1V2V12V3V347.62633.95119.49166.461267.52其中四個時段都用三次多項式進(jìn)行擬合，如果第一用水時段、第一、二供水時段用三次多項式，第二用水時段用四次多項式擬合，得另一計算結(jié)果：y1=146.18 y2=266.75 y12=49.00 y3= 77.34 程序見shuita6.m各時段的用水量及一天的總用水量如下:各時段用水量第一用水時段用量第二用水時段用量第一供水時段用量第二供水時段用量一天總用水量ViV1V2V12V3V347.62613.76115.33187.021263.7 fig.5

17、一天內(nèi)用水流量曲線圖4. 流量及總用水量的檢驗與功率的計算 計算出的各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗用水量可用第1時段水位測量記錄中下降高度來計算并檢驗，在第一用水時段水的實際用量為 類似地，用來計算和檢驗，在第二用水時段實際用水量為：而計算值為：=347.62, =613.767比較接近。供水時段流量的一種檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供水時段水泵的功率應(yīng)大致相等第1、2時段水泵的功率可計算如下：p1=(y12+260)/2； %第1供水時段水泵的功率（水量仍以高度計） tp2=20.8：

18、0.1：23；xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2輸出第2供水時段各時刻的流量p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2；%第2供水時段水泵的功率（水量仍以高度計）計算結(jié)果：p1=153.7 ，p2=140.1具體程序見附錄shuita7.m.六：模型的分析與改進(jìn)從計算結(jié)果可以看出，第1時段用水量與水位測量記錄中的下降高度146相差無幾，第2時段用水量與記錄中的下降高度260相差無幾，所以數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分的精度是足夠的。對不同次數(shù)的擬合多項式，第1、2供水時段用水量相差稍大，兩供水時段水泵的功率也有差別，這都說明供水時段用3次曲線通過四點的做法不夠好，應(yīng)該多取幾點

19、做擬合，但要注意讓流量曲線在不同的時段相接處保持連續(xù)。下面給出擬合第1、2用水時段水位函數(shù)，采用不同次數(shù)的多項式所得流量及總用水量的結(jié)果，用n = (n1,n2)表示這兩個時段所用多項式的次數(shù)，下表是各時段的用水量、一天總用水量及兩個供水時段水泵的功率。(n1,n2)V1V2V12V3Vp1p2(3,4)347.62613.76115.33187.021263.7366.81366.05(5,6)348.41612.95108.79181.761251.9363.53363.66兩個供水時段水泵的功率相當(dāng)，說明該算法切實可行！另外可以得知各個時段的用水量及一天的總用水量，便于掌握用水情況。 f

20、ig.6 n=(3,4)流量曲線 fig.7 n=(5,6)流量曲線由上圖可以看出，流量曲線與原始記錄基本上那個相吻合，0點到10點流量很低，10點到下午3點是用水高峰，全天流量平均在22（）左右，若按這個平均流量計算，一天的總用水量應(yīng)為與表二的結(jié)果很接近。七：模型的推廣與應(yīng)用通過對水塔流量的問題進(jìn)行研究，掌握其工作和控制原理并對模型進(jìn)行評價，此模型不僅適用于水塔的供水水位控制系統(tǒng)，而且還可以應(yīng)用于其他的領(lǐng)域，像自動蓄水裝置、水壩閘門控制蓄水系統(tǒng)。通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計，建立模型，掌握水量的需求情況，合理控制閘門，使水量保持在一定的范圍內(nèi)，從而達(dá)到最優(yōu)的效果。八：參考文獻(xiàn)1 趙靜 但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實

21、驗，北京：高等教育出版社，2000.112 陳杰，Matlab寶典，北京：電子工業(yè)出版社，2007.13 朱仁峰，精通7，北京清華大學(xué)學(xué)研大廈：北京大學(xué)出版社，2006.5九：附錄程序Shuita1.mt=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91;h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0

22、 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018;c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)a1=polyder(c1)tp1=0:0.1:9x1=-polyval(a1,tp1)plot(tp1,x1,'r.')程序shuita2.mt=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20

23、.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91;h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018;c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),4)a2=polyder(c2)tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);plot(tp2,x2,'b.')hold onxlabel('hour');ylabel('cm/hou

24、r');程序Shuita3.mt=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.9 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.9 20.84 23.88 24.99 25.91;h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018;c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)a1=polyder(c1);c2

25、=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),4)a2=polyder(c2);xx1=-polyval(a1,8 9);xx2=-polyval(a2,11 12);xx12=xx1 xx2;c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3)a12=polyder(c12)tp12=9:0.02:11;x12=polyval(c12,tp12)plot(tp12,x12,'r.')hold onaxis(9 11 16 32)xlabel('hour')ylabel('cm/houor')程序shuita4.mt=0 0

26、.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.9 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.9 20.84 23.88 24.99 25.91;h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018;c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),4);a2=polyder(c2);dt3=diff(t(22:24);dh3=d

27、iff(h(22:24);dht3=-dh3./dt3;t3=20 20.8 t(22) t(23)xx3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3;c3=-polyfit(t3,xx3,3);a3=polyder(c3)tp3=20.8:0.05:24;x3=-polyval(c3,tp3);plot(tp3,x3,'b.')hold on axis(20.5 24.5 18 27)xlabel('hour')ylabel('cm/houor')title('流量曲線圖')程序shuita5.mt=0 0.92 1.84

28、 2.95 3.87 4.98 5.9 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.9 20.84 23.88 24.99 25.91;h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018;c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);a1=polyder(c1);tp1=0:0.1:9;x1=-polyval(a1,tp1);c

29、2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3);a2=polyder(c2);tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);xx1=-polyval(a1,8 9);xx2=-polyval(a2,11 12);xx12=xx1 xx2;c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);tp12=9:0.1:11;x12=polyval(c12,tp12);dt3=diff(t(22:24);dh3=diff(h(22:24);dht3=-dh3./dt3;t3=20 20.8 t(22) t(23);xx3=-polyval(a2,t3(1:

30、2),dht3;c3=-polyfit(t3,xx3,3);tp3=20.8:0.1:24;x3=-polyval(c3,tp3);y1=0.1*trapz(x1)y2=0.1*trapz(x2)y12=0.1*trapz(x12) y3=0.1*trapz(x3)y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01程序shuita6.mt=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.9 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.9 20.84 23.88 24.99 25.9

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