理論分布和抽樣分布

1、第四章 理論分布和抽樣分布本章的二項(xiàng)式分布和正態(tài)分布在數(shù)學(xué)上已講過，在本書中不作為重點(diǎn)內(nèi)容。 自學(xué)內(nèi)容：1、 事件：事件的概念、事件間的關(guān)系、事件的運(yùn)算2、 概率：概率的概念、計(jì)算概率的法則3、 二項(xiàng)式分布：二項(xiàng)總體及二項(xiàng)式分布、二項(xiàng)式分布的概率計(jì)算方法、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù)。4、 正態(tài)分布：正態(tài)分布的意義、正態(tài)分布曲線的特征、標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布、正態(tài)分布的概率計(jì)算。第一節(jié) 概率一、事件及其類型事物發(fā)生某種情況或?qū)嶒?yàn)中獲得的某種結(jié)果稱為某一事件必然事件(U)在一定條件下必然會(huì)出現(xiàn)的不可能事件(V)在一定條件下必然不會(huì)出現(xiàn)的隨機(jī)事件(A)在一定條件下必然可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)事件關(guān)系：a 事件和：至

2、少發(fā)生一個(gè)事件。 b 事件積：同時(shí)發(fā)生事件。c 事件差：A發(fā)生而B不發(fā)生。d 互不相容事件： 不能同時(shí)發(fā)生的事件關(guān)系，如一胎生1只和生2只豬。e 對(duì)立事件： 嚴(yán)格的不相容事件，是一種非此即彼的事件關(guān)系。如男和女，生和死，A和非A。f 獨(dú)立事件： 互不影響發(fā)生的事件關(guān)系，如張三生男孩和李四生女孩。二、頻率與概率A正面向上aA出現(xiàn)的次數(shù)n總次數(shù)a/nA出現(xiàn)的頻率P(A)A的概率，若實(shí)驗(yàn)或觀察的次數(shù)n無限大，則A發(fā)生的頻率a/n必穩(wěn)定以某一定值p為中心上下做微小的擺動(dòng)，那么這個(gè)p就稱為隨機(jī)事件A的概率 三、“小概率事件實(shí)際不可能”原理小概率事件如果一個(gè)事件的概率小于一個(gè)很小的數(shù)值，如5%或

3、者1%，則稱其為小概率事件。小概率事件不可能原理小概率事件在一次試驗(yàn)中，實(shí)際上可以認(rèn)為不可能發(fā)生。 四、概率的計(jì)算法則（一）加法定理P(A+B)=P(A)+P(B)，A與B是互斥事件。（二）乘法定理P(AB)=P(A)P(B)，A與B是相互獨(dú)立的。五、隨 機(jī) 變 量 隨機(jī)變量：是指從隨機(jī)變數(shù)中所取得的某一實(shí)數(shù)值。 隨機(jī)變量：可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：試驗(yàn)只有幾個(gè)確定的結(jié)果，并可一一列出，變量y的取值可用實(shí)數(shù)表示，且y取某一值時(shí)，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機(jī)變量。將這種變量所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率一一列出所形成的分布稱離散型隨機(jī)變量的概率分布，

4、也可用函數(shù)f(y)表示，稱為概率函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量：變量y的取值僅是一個(gè)范圍，且y在該范圍內(nèi)取值時(shí)，其概率是確定的。這時(shí)取y為一固定值是無意義的，因?yàn)樵谶B續(xù)尺度上一點(diǎn)的概率幾乎為0。這種類型的變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。第二節(jié) 二項(xiàng)式分布一、二項(xiàng)總體及二項(xiàng)式分布1、 二項(xiàng)總體（binary population）：由非此即彼的對(duì)立事件構(gòu)成的總體。例如：小麥種子發(fā)芽和不發(fā)芽，硬幣的正面與反面，調(diào)查棉田盲椿象為害分為受害株和不受害株等等。這類變數(shù)均屬間斷性隨機(jī)變數(shù)。為便于研究，通常將二項(xiàng)總體中的“此”事件以變量“1”表示，具概率p；將“彼”事件以變量“0”表示，具概率q。因而二項(xiàng)總體又稱為0、1總體

5、，其概率則顯然有：p+q=1或q=1-p2、 二項(xiàng)分布：從二項(xiàng)總體抽取n個(gè)個(gè)體，將有n+1種取值，這n+1種取值各有其概率，這些概率構(gòu)成的分布就是二項(xiàng)分布。例如觀察施用某種農(nóng)藥后供試5只蚜蟲的死亡數(shù)目，記“死”為0，記“活”為1，觀察結(jié)果將出現(xiàn)6種事件，它們是5只全死、4死1活、3死2活、2死2活、1死4活、5只全活、這6種事件構(gòu)成了一個(gè)完全事件系，但6個(gè)事件的概率不同，將完全事件系的總概率1分布到6個(gè)事件中去，就是所謂的概率分布。如果將活的蟲數(shù)y來代表相應(yīng)的事件，便得到了關(guān)于變量y的概率分布。下面將給出二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。二、二項(xiàng)式分布的概率計(jì)算方法數(shù)學(xué)上的組合公式為：n相當(dāng)于抽樣單位數(shù)

6、，y相當(dāng)于某種事件發(fā)生的次數(shù)。因此y的概率函數(shù)為：p(y)變量y發(fā)生的概率，p為此事件發(fā)生的概率，q為彼事件發(fā)生概率例4.1棉田盲椿象為害的統(tǒng)計(jì)概率乃從調(diào)查2000株后獲得近似值p=0.35?，F(xiàn)受害株事件為A，其概率為p=0.35，未受害株事件為對(duì)立事件，其概率q=(1-0.35)=0.65。這一試驗(yàn)是可以重復(fù)的。假定做了n次試驗(yàn)，即抽出n株為一個(gè)抽樣單位，那么，試問出現(xiàn)有y株是受害的，其概率應(yīng)有多少？假定n=1，即抽出一株為一個(gè)抽樣單位，那么，總體2000個(gè)單位中有多少株受害？多少株未受害？這里已知P（A）=0.35和P（A）=0.65,總體的理論次數(shù)分布則以n乘上述概率分布，即np和n(1

7、-p)，所以有2000×0.35=700株受害和2000×0.65=1300株未受害。如調(diào)查5株為一個(gè)抽樣單位，即n=5，則受害株數(shù)y=0，1，2，3，4和5的概率可以計(jì)算出來，如表4.2。棉株受害數(shù)乃一隨機(jī)變數(shù)(y) ,可以計(jì)算變量y相應(yīng)的概率函數(shù)P(y=i)=Cinpiqn-i和累計(jì)函數(shù)如果每次抽5個(gè)單株，抽n=400次，則理論上我們能夠得到y(tǒng)=2的次數(shù)應(yīng)為：理論次數(shù)=400×P（2）=400×0.3364=134.56(次)對(duì)于任意y，其理論次數(shù)為：理論次數(shù)=Np(y)三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù)1、形狀：如果p=q，二項(xiàng)式分布呈對(duì)稱形狀，如果p&#

8、185;q，則表現(xiàn)為偏斜形狀，但當(dāng)n很大時(shí)，即使p¹q，它也呈接近對(duì)稱形狀。2、參數(shù)：凡描述一個(gè)總體分布，平均數(shù)和方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）兩個(gè)參數(shù)是重要的。例如抽取5株中受害標(biāo)數(shù)的多少（y）作為統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的話，從總體中可以抽取的所有樣本均有一個(gè)y， 這樣所有的y構(gòu)成了一個(gè)新總體，該總體也屬于二項(xiàng)式總體，其平均數(shù)、方差2和標(biāo)準(zhǔn)差如下式=np, 2=npq, 該總體的概率計(jì)算方法同于前述的二項(xiàng)式總體，只是由于統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的變化，使平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差有所不同。第三節(jié) 正態(tài)分布（normal distribution）一、 正態(tài)分布的意義：正態(tài)分布是一種連續(xù)性隨機(jī)變量的理論分布，它的分布狀態(tài)是多數(shù)變量都圍繞在

9、平均值附近，從平均值到分布的兩側(cè)，變量數(shù)減少。在理論和實(shí)踐問題上都具有非常重要意義?？陀^世界中有許多現(xiàn)象的數(shù)據(jù)是服從正態(tài)分布的，因此我們可通過這些現(xiàn)象的樣本分布從而發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象的理論分布。在適當(dāng)條件下，它可用來做二項(xiàng)分布及其它間斷性或連續(xù)性變數(shù)分布的近似分布，這樣就能用正態(tài)分布代替其它分布以計(jì)算概率和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論。雖然有些總體并不做正態(tài)分布，但從總體中抽出的樣本平均數(shù)及其它一些統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布，在樣本容量適當(dāng)大時(shí)仍然趨近正態(tài)分布，因此可用它來研究這些統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布。二、正態(tài)分布正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為： y是所研究的變數(shù)；fN(y)是某一定值y出現(xiàn)的函數(shù)，一般稱概率

10、密度函數(shù)；=3.1419；e=2.71828；為總體平均數(shù)；為總體標(biāo)準(zhǔn)差。這里y是從負(fù)無窮大到正無窮大的數(shù)值區(qū)間中的一個(gè)點(diǎn)，討論變量處在這個(gè)點(diǎn)的概率是沒有意義的，而且從正態(tài)總體抽取的變數(shù)資料的每一個(gè)觀察值均是從具有一定概率的數(shù)值區(qū)間中抽取的，所以討論正態(tài)變數(shù)在某一取值區(qū)間的概率才有意義。 因?yàn)椴煌傮w具不同的值和值，因此每個(gè)總體就對(duì)應(yīng)的一條正態(tài)曲線，這樣我們研究某一變量所處的概率區(qū)間時(shí)就很不方便，為簡化計(jì)算，一般以一個(gè)新變數(shù)u替代y變數(shù) 這里參數(shù)=0，2=1記作N（0，1）。各種不同平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布均可以經(jīng)過適當(dāng)轉(zhuǎn)換用標(biāo)準(zhǔn)化分布表示出來。二、正態(tài)分布曲線的特性1、正態(tài)分布曲線是一個(gè)對(duì)稱

11、曲線，以為對(duì)稱軸，相左右兩側(cè)對(duì)稱分布。2、正態(tài)分布曲線以參數(shù)和的不同而表現(xiàn)為一系列曲線，所以它是一個(gè)曲線簇而不僅是一個(gè)曲線。3、正態(tài)分布在資料的次數(shù)分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)集中于算術(shù)平均數(shù)附近，離相應(yīng)的次數(shù)越少；且在左右相等y-范圍內(nèi)具有相等次數(shù)；在y-3以上其次數(shù)極少。4、正態(tài)曲線在y-=1處有“拐點(diǎn)”。曲線兩尾向左右伸展，永不接觸橫軸，所以當(dāng)y±，分布曲線以y 軸為漸近線，因之曲線全距從-到+。5、正態(tài)曲線與橫軸之間的總面積等于1任兩個(gè)變量u值之間概率結(jié)果均可通過查附表2計(jì)算得出，下面為幾對(duì)常見的區(qū)間與其相對(duì)應(yīng)的面積或概率的數(shù)字：區(qū)間±1 面積或概率=0.6827±

12、2 =0.9545±3 =0.9973±1.960 =0.9500±2.57 =0.9900 三、正態(tài)分布區(qū)間概率的計(jì)算方法1、 首先將變量y值轉(zhuǎn)化成u值2、 查附表即可得出相應(yīng)的區(qū)間概率下面我們以一個(gè)例題來說明求解方法假定y是一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù)=30，標(biāo)準(zhǔn)差=5，試計(jì)算小于26，小于40的概率。介乎26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。首先計(jì)算：P（y26）=FN（26）計(jì)算FN（26）必須先將y轉(zhuǎn)換為u值。查附表2，當(dāng)u=-0.8時(shí)，F(xiàn)N(26)=0.2119,說明這一分布從-到26范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的21.19%，或者說，y26概率為0

13、.2119.同樣計(jì)算：P（y40）=FN（40）查附表2，當(dāng)U=+0.2JF ，F(xiàn)N（40）=0.9773，這是指從-到40范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的97.73%，或者說y40概率為 0.9773。計(jì)算：P（26y40=Fn(40)-FN(26)=0.9773-0.2119=0.7654,或者寫為（26y40=P(-0.8u2.0)=0.9773-0.2119-0.7654.計(jì)算：P（y40）=1-P（y40）=1-0.9773=0.0227第四節(jié) 抽樣分布（sampling distribution）生物統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究樣本與總體之間關(guān)系的科學(xué)。其方法是從總體中抽取一個(gè)含有若干個(gè)個(gè)體的樣本加以

14、研究，這樣的樣本可以連續(xù)抽取幾次，抽取樣本的單位數(shù)就是試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)。本節(jié)重要內(nèi)容是討論衍生總體的參數(shù)與母總體參數(shù)之間的關(guān)系。 N（） 體總樣 本3樣 本1樣 本2總體與樣本之間的關(guān)系可以從兩方面進(jìn)行研究統(tǒng)計(jì)推斷抽 樣總體 樣本從總體到樣本：即從一般到特殊的方向，目的是了解總體到樣本的變異特點(diǎn)，研究樣本分布的形狀及其統(tǒng)計(jì)數(shù)。從樣本到總體：即從特殊到一般的方向，目的是用樣本的試驗(yàn)結(jié)果去推斷總體的特征數(shù)，也就是統(tǒng)計(jì)推斷問題。一、統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)抽樣分布：從總體中隨機(jī)抽樣得到樣本，獲得樣本觀察值后可以計(jì)算一些統(tǒng)計(jì)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布稱為抽樣分布。抽樣分為復(fù)置抽樣和不復(fù)置抽樣，前者指將抽得的個(gè)體放

15、回總體后再繼續(xù)抽樣的方法，后者指將抽得的個(gè)體不放回總體而繼續(xù)進(jìn)行抽樣的方法。討論抽樣分布時(shí)考慮的是復(fù)置抽樣方法。一）樣本平均數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)從一個(gè)總體里以一定的樣本容量進(jìn)行隨機(jī)抽樣，可以抽取許多個(gè)樣本，如果總體容量為N，樣本容量為n則能抽取Nn個(gè)樣本，求出所抽樣本的平均數(shù)，那么所有樣本的平均數(shù)就組成了一個(gè)新的總體，這個(gè)新的總體稱為衍生總體，被抽總體稱為母總體。下面我們以一個(gè)實(shí)例講解衍生總體的參數(shù)與母總體的參數(shù)之間的關(guān)系。樣本平均數(shù)衍生總體的平均數(shù)用表示，方差用表示，標(biāo)準(zhǔn)差用表示。例：現(xiàn)有一總體，觀察值為2、4、6，分別以樣本容量n=1,n=2,n=3,從總體中進(jìn)行復(fù)置抽樣，試分析衍生總體參

16、數(shù)與母總體參數(shù)之間的關(guān)系。首先我們計(jì)算母總體的參數(shù)從母總體中以樣本容量n=1進(jìn)行抽樣： 從母總體中以樣本容量n=2進(jìn)行抽樣：得到樣本9個(gè)：2，2 4，2 4，22，4 4，4 4，42，6 4，6 4，6 f2 13 24 35 26 1 從母總體中以樣本容量n=3進(jìn)行抽樣：得到樣本27個(gè)：2： 2，2，2 8/3： 2，4，2 2，2，4 4，2，210/3： 2，6，2 2，2，6 6，2，2 4，4，2 4，2，4 2，4，44： 2，4，6 2，6，4 4，2，6 4，6，2 6，2，4 6，4，2 4，4，4 14/3： 6，4，4 4，6，4 4，4，6 6，6，2 6，2，6 2

17、，6，2 16/3： 6，4，6 6，6，4 4，6，6 6：6，6，6 從上我們可以看出，衍生總體的平均數(shù)和方差與母總體的平均數(shù)和方差有如下關(guān)系： 由于總體的平均數(shù)和方差往往是未知的，因此我們一般用樣本的平均數(shù)和方差來作為總體平均數(shù)和方差的估計(jì)值，因此可進(jìn)一步推出： （二）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)如果從一個(gè)總體隨機(jī)地抽取一個(gè)樣本容量為n1，同時(shí)隨機(jī)獨(dú)立地從另一個(gè)總體抽取一個(gè)樣本容量為n2的樣本，那么可以得到分別屬于兩個(gè)總體的樣本，這兩個(gè)樣本的平均數(shù)作和表示。設(shè)這兩個(gè)樣本所來自的兩個(gè)總體的平均數(shù)分別為1和2，它們的方差分別為。和22。兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)抽取的樣本平均數(shù)間差數(shù)（）的

18、抽樣分布參數(shù)與兩個(gè)母總體間存在如下關(guān)系：（1） 該抽樣分布的平均數(shù)y1-y2與母總體的平均數(shù)之差相等。 （2） 該抽樣分布的方差y12-y2與母總體方差的關(guān)系為 二、正態(tài)總體抽樣的分布規(guī)律 前面介紹了統(tǒng)計(jì)數(shù)抽樣分布的主要特征及其和母總體特征數(shù)間的關(guān)系，以下將討論統(tǒng)計(jì)數(shù)抽樣分布的規(guī)律。一）樣本平均數(shù)的分布定理1：若母總體呈正態(tài)分布，從母總體中抽出的樣本，不論其樣本容量大小，由樣本平均數(shù)構(gòu)成的衍生總體，也呈正態(tài)分布。定理2：中心極限定理：母總體的分布不呈正態(tài)分布，但只要樣本容量足夠大（n>30），樣本平均數(shù)的分布也趨近于正態(tài)分布。作用：這個(gè)定理很重要，因?yàn)槲覀兺磺宄闃涌傮w的性質(zhì)，有了這個(gè)定理，就可通過增大樣本容量的方法，使衍生總體呈正態(tài)分布，從而可以利用以正態(tài)分布為前題的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行抽樣估計(jì)或假設(shè)測(cè)驗(yàn)，使問題簡化。如已知 求=10-16的概率？首先