機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)第四章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法ppt課件

1、第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)一一 列方程法列方程法單自在度無(wú)阻尼自在振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)0mxkx只需列出單自在度無(wú)阻尼自在振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分只需列出單自在度無(wú)阻尼自在振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，就可以得到振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率方程，就可以得到振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率nkm第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)一一 列方程法列方程法例4-1-1：建立圖4-1-1(a)所示的均質(zhì)桿繞O點(diǎn)作微幅轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：?jiǎn)巫栽诙认到y(tǒng)，取均質(zhì)桿為研討對(duì)象，畫(huà)其受力圖如圖(b)。根據(jù)動(dòng)量矩定理 0()oJMF

2、22oJkacl 第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)一一 列方程法列方程法即解：?jiǎn)巫栽诙认到y(tǒng)，取均質(zhì)桿為研討對(duì)象，畫(huà)其受力圖如圖(b)。根據(jù)動(dòng)量矩定理 0( )oJMF22oJkacl 220oJkacl振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率： 22233313nokakakaJmlml第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)二能量法二能量法原理：原理：對(duì)于單自在度無(wú)阻尼自在振動(dòng)系統(tǒng)，其呼應(yīng)為簡(jiǎn)諧振對(duì)于單自在度無(wú)阻尼自在振動(dòng)系統(tǒng)，其呼應(yīng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)，系統(tǒng) 或或 。在靜平衡。在靜平衡位置，勢(shì)能為位置，勢(shì)能為0，

3、動(dòng)能到達(dá)最大，即：，動(dòng)能到達(dá)最大，即： 。在最大位移處，動(dòng)能為在最大位移處，動(dòng)能為0，勢(shì)能到達(dá)最大，勢(shì)能到達(dá)最大，即：即： 。所以有：。所以有：例：對(duì)圖例：對(duì)圖4-1-1所示的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能所示的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能TUconst()0dTUdtmax0,UTTmax,0UUTmaxmaxUT2012TJ系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能21()2Uk a第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-1 單自在度系統(tǒng)單自在度系統(tǒng)二能量法二能量法令例：對(duì)圖例：對(duì)圖4-1-1所示的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能所示的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能2012TJ系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能21()2Uk a0=sinnt

4、那么有：0222220000111=JJ (-cos) =Jcos222nnnnTtt 0222220111=()(sin) =sin222nnUk ak atkat最大動(dòng)能022max01=J2nT 022max1=2Uka最大勢(shì)能：由maxmax=UT022220011J=22nka 得：系統(tǒng)的固有頻率20=nkaJ第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-1求特征值法求特征值法令對(duì)于多自在度振動(dòng)系統(tǒng)，其無(wú)阻尼自在振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方帶入方程4-2-1并消去 項(xiàng)得欲使方程有非0解，令方程的系數(shù)行列式等于0可得到特征方程的n個(gè)特征根 ，即振動(dòng)系

5、統(tǒng)的固有頻率0MXKX 4-2-1 sin()Xutsin()t2() 0KMu特征方程，又稱(chēng)振幅方程2=0KM(1,2,., )niin第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-1求特征值法求特征值法例4-2-1：2個(gè)自在度振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為： 令其特征方程的系數(shù)行列式等于0得即：1122020020 xxmkkxxmkk 222=02kmkkkm222(2)(2)=0km kmk可得固有頻率2122=0.2192=2.2808kmkm第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-

6、2計(jì)算固有頻率的近似法計(jì)算固有頻率的近似法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法瑞利法從單自在度振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率計(jì)算的能量方法出發(fā)，對(duì)于多自在度振動(dòng)系統(tǒng)，在作無(wú)阻尼自在振動(dòng)時(shí)， 呼應(yīng)為同步振動(dòng)。系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為：系統(tǒng)的勢(shì)能設(shè)maxmaxTU12TTX MX12TUX KX sininiXut帶入得最大動(dòng)能2max 2TniiiTuM umax1 2TiiUuK u最大勢(shì)能第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-2 多自在度系統(tǒng)多自在度系統(tǒng)4-2-2計(jì)算固有頻率的近似法計(jì)算固有頻率的近似法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法帶入公式 得：利用4-2-7準(zhǔn)確計(jì)算多自在度

7、振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，前提條件是需求知系統(tǒng)的振型，這是無(wú)法做到的。但振動(dòng)系統(tǒng)的一階振型的近似值普通可以預(yù)測(cè)，大都數(shù)情況下與其靜載荷作用下產(chǎn)生的靜變形非常接近。例如例4-2-1所給出的振動(dòng)問(wèn)題，假設(shè)取maxmaxTU代入式4-2-7進(jìn)展試算：2 TiiniTiiuK uuM u4-2-7111u 第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法一、瑞利法一、瑞利法Rayleigh法法假設(shè)取假設(shè)取與準(zhǔn)確解相比，一階固有頻率的相對(duì)計(jì)算誤差211111211 11 =0.33301 31 1021TnTkkkkuK ukkmuM ummm 112u 代入式4-2-7進(jìn)展試算21111121122

8、 2=0.22201 912022TnTkkkkuK ukkmuM ummm 211u22222221111 5=1.66701 311021TnTkkkkuK ukkmuM ummm1.35%-26.92%二階固有頻率的相對(duì)計(jì)算誤差瑞利法的計(jì)算精度決議瑞利法的計(jì)算精度決議于對(duì)振型的假設(shè)。計(jì)算于對(duì)振型的假設(shè)。計(jì)算一階固有頻率精度較高一階固有頻率精度較高但數(shù)值偏大但數(shù)值偏大第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法二、鄧克利法Dunkenley法對(duì)于二個(gè)自在度系統(tǒng)：展開(kāi)整理對(duì)于多自在度振動(dòng)系統(tǒng)，假設(shè)用柔度法建立的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：XMX 4-2-8同樣地令同樣地令 sinnXu

9、t 2()0IM u20IM特征方程特征方程22111122222112221-0-1-mmmm1112221211 2212 21421() 0mmmm (a) 第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法二、鄧克利法Dunkenley法普通有 ，即 因此有設(shè) 為方程的兩個(gè)根，那么有比較ab兩式，可得422222121211111()0 b11122221211mm222122211111122222112111mm第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法二、鄧克利法Dunkenley法用Dunkenley法求解上例普通地，對(duì)于具有n個(gè)自在度的振動(dòng)系統(tǒng)即Dunke

10、nley法計(jì)算自在度的振動(dòng)系一致階固有頻率的計(jì)算公式。111222222211121111+ + +=nnnniiiinmmmm1121 111 2kkKkkk11122211125=2mmmmmkkk 210.2kmDunkenley法計(jì)算結(jié)果偏小法計(jì)算結(jié)果偏小第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方法固有頻率的適用計(jì)算方法4-3 傳送矩陣法傳送矩陣法Transfer Matrix Method傳送矩陣法屬于一種半解析數(shù)值解法，其根傳送矩陣法屬于一種半解析數(shù)值解法，其根本思緒：將系統(tǒng)離散成假設(shè)干單元，每一個(gè)本思緒：將系統(tǒng)離散成假設(shè)干單元，每一個(gè)單元與臨近單元界面上用位移協(xié)調(diào)條件和力單元與臨近單元界面

11、上用位移協(xié)調(diào)條件和力的平衡條件予以聯(lián)絡(luò)；每一單元可以用牛頓的平衡條件予以聯(lián)絡(luò)；每一單元可以用牛頓第二定律建立運(yùn)動(dòng)方程，從而建立單元兩端第二定律建立運(yùn)動(dòng)方程，從而建立單元兩端之間的傳送矩陣。求解從系統(tǒng)的邊境開(kāi)場(chǎng)，之間的傳送矩陣。求解從系統(tǒng)的邊境開(kāi)場(chǎng)，在邊境上有的外力及位移關(guān)系是知的，求出在邊境上有的外力及位移關(guān)系是知的，求出另一側(cè)的力和位移；依次進(jìn)展下去最后可得另一側(cè)的力和位移；依次進(jìn)展下去最后可得到問(wèn)題的解。傳送矩陣法既可求振動(dòng)系統(tǒng)的到問(wèn)題的解。傳送矩陣法既可求振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，也可以求振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)呼固有頻率，也可以求振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)呼應(yīng)問(wèn)題。應(yīng)問(wèn)題。第第4章章 固有頻率的適用計(jì)算方

12、法固有頻率的適用計(jì)算方法4-3 傳送矩陣法傳送矩陣法Transfer Matrix Method4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)圖4-3-1 軸的縱向振動(dòng)離散化模型第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法的求解步驟傳送矩陣法的求解步驟1.系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的離散化利用集中質(zhì)量法將具有分布質(zhì)量的延續(xù)系統(tǒng)離散為具有利用集中質(zhì)量法將具有分布質(zhì)量的延續(xù)系統(tǒng)離散為具有n個(gè)自在個(gè)自在度的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，如圖度的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，如圖4-3-1(b),并進(jìn)展編號(hào)并進(jìn)展編號(hào)2.建立點(diǎn)場(chǎng)矩陣建立點(diǎn)場(chǎng)矩陣取第取第i

13、個(gè)質(zhì)量彈簧元件研討個(gè)質(zhì)量彈簧元件研討兩端形狀向量關(guān)系兩端形狀向量關(guān)系111()LRiiLRLRiiiiiFFFFk xx寫(xiě)成矩陣方式寫(xiě)成矩陣方式1111=01iiLRiiiLRxxkFF第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)場(chǎng)傳送矩陣場(chǎng)傳送矩陣研討質(zhì)量元件研討質(zhì)量元件在沒(méi)有外鼓勵(lì)力作用時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，可得以下關(guān)系在沒(méi)有外鼓勵(lì)力作用時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，可得以下關(guān)系式式假設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，那么有(1)11=11ii ikFRLiiRRLiiiixxm xFF2RRiixx 2=-RLiiRLLiiiixxFF

14、mx第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)即質(zhì)量質(zhì)量 兩側(cè)形狀向量之間的關(guān)系方程兩側(cè)形狀向量之間的關(guān)系方程210=1iiRLiiRLixxmFFim點(diǎn)傳送矩陣點(diǎn)傳送矩陣(1)210=1i iiPm3.求系統(tǒng)的傳送矩陣求系統(tǒng)的傳送矩陣第第i個(gè)質(zhì)量彈簧單元的形狀向量傳送關(guān)系個(gè)質(zhì)量彈簧單元的形狀向量傳送關(guān)系1111222211111010=11101iiiiRLRRiiiiiiRLRRiiiiixxxxkkmmFFFFmmk第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法

15、分析軸的縱向振動(dòng)令令 ,稱(chēng)振動(dòng)系統(tǒng)的形狀向量稱(chēng)振動(dòng)系統(tǒng)的形狀向量寫(xiě)成簡(jiǎn)約的方式寫(xiě)成簡(jiǎn)約的方式對(duì)于圖對(duì)于圖4-3-1(b)所示的振動(dòng)系統(tǒng)，最右端形狀所示的振動(dòng)系統(tǒng)，最右端形狀 與最左端形狀與最左端形狀 之之間的關(guān)系間的關(guān)系xZF22111iiiiikCmmk第i個(gè)質(zhì)量彈簧單元的傳送矩陣1RRiiiZC Z1121100=RRRRRnnnnnnnnZC ZC CZC CC ZCZ4-3-7第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)稱(chēng)系統(tǒng)的總的傳送矩陣而形狀向量 依賴(lài)于邊境條件。4.求系統(tǒng)的固有頻率11nnCC CC11122

16、122( )( )( )( )ccCcc0RRnZZ，求系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，從最左邊的形狀 向量 出發(fā)，利用式4-3-7計(jì)算最右邊的形狀向量 得到一個(gè)關(guān)于 的方程式，其中滿足所需處理問(wèn)題邊境條件的 就是系統(tǒng)的固有頻率。0RZRnZ ，第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)對(duì)于圖5-3-1所示的懸臂梁的縱向振動(dòng)問(wèn)題，其邊境條件為 ， ，代入3-3-7式有從而得 ， 。滿足 的 即 為系統(tǒng)的固有頻率。00Rx 0RnF1112212200( )( )( )( )0RnRccxccF120( )RRnxcF220( )0Rc

17、F22( )0c0第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)例4-3-1用傳送矩陣法求圖4-3-2所示的單自在度系統(tǒng)的固有頻率解：1：編號(hào)：如下圖 2：計(jì)算點(diǎn)、場(chǎng)矩陣點(diǎn)矩陣21210=1Pm場(chǎng)矩陣1011=11kF 3、計(jì)算傳送矩陣：221121100ZP ZP F Z第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)4、求系統(tǒng)的固有頻率、求系統(tǒng)的固有頻率(無(wú)阻尼自在振動(dòng)無(wú)阻尼自在振動(dòng))根據(jù)邊境條件根據(jù)邊境條件 代入：代入：0022222001111011

18、011xxxkkFmFFmmk 020,0 xF00200(1)nFxkmFk固有頻率2nkm第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)例例4-3-2用傳送矩陣法求圖用傳送矩陣法求圖4-3-3所示的所示的2個(gè)自在度系統(tǒng)的固有頻率個(gè)自在度系統(tǒng)的固有頻率解：解：1：編號(hào)：如下圖：編號(hào)：如下圖 2：計(jì)算點(diǎn)、場(chǎng)矩陣及傳送矩陣：計(jì)算點(diǎn)、場(chǎng)矩陣及傳送矩陣圖4-3-30022222001111011011xxxkkFmFFmmk4222224221111012120121xxxkkFmFFmmk 0422222224202202220

19、22111111=222121111(2)=25(3)12()xxxkkkFFFmmmmmmkkkmmxkkkFmmmmkkk 第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-1傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)傳送矩陣法分析軸的縱向振動(dòng)3.求系統(tǒng)的固有頻率求系統(tǒng)的固有頻率(無(wú)阻尼自在振動(dòng)無(wú)阻尼自在振動(dòng))由邊境條件由邊境條件 代入上式得代入上式得: 由上式的第2式得：22422202211(2)0025(3)12()mmxkkkFmmmmkkk 2042220(2)5012() FmxkkmmFkk即：即：222512() =0mmkk可解出兩個(gè)根，即系統(tǒng)的固有頻率：21,20.219251742.2808kkmkmm第第4章固有頻率的適用計(jì)算方法章固有頻率的適用計(jì)算方法4-3-2傳送矩陣法分析圓軸的改動(dòng)振動(dòng)傳送矩陣法分析圓軸的改動(dòng)振動(dòng)一一 傳送矩陣的計(jì)算傳送矩陣的計(jì)算圖4-3-4b)為系統(tǒng)