數(shù)據(jù)包絡分析法在管理決策運用中的實際案例分析

1、決策理論與方法課程報告數(shù)據(jù)包絡分析法在管理決策運用中的實際案例分析目 錄第一章 數(shù)據(jù)包絡分析簡介1第二章 數(shù)據(jù)包絡分析法模型12.1 基礎知識12.2 C2R模型22.3 模型求解方法4第三章 數(shù)據(jù)包絡分析法案例63.1 工程建設項目評標方法63.2 環(huán)保項目評價73.3 科研評價8第四章 總結114.1 DEA方法的優(yōu)點114.2 DEA方法的缺陷12參考文獻12第一章 數(shù)據(jù)包絡分析簡介數(shù)據(jù)包絡分析(Data Envelopment Analysis)，簡稱DEA，是由美國著名運籌學家ACharnes等人于1978年首先提出的。是使用數(shù)學規(guī)劃模型評價具有多個輸入、多個輸出的。部門”或“單位”

2、(稱為決策單元，簡記DMU)間的相對有效性(稱為DEA有效)的一種非參數(shù)的統(tǒng)計估計方法。數(shù)學、經濟學和管理科學是這一學科形成的柱石，優(yōu)化是其研究的主要方法，而DEA的廣泛應用是它能得以迅速發(fā)展的動力。數(shù)據(jù)包絡分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具方法，常被用來衡量擁有相同目標的運營單位的相對效率。這類組織例如學校、醫(yī)院、銀行的分支機構、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產出比這個指標，當各自的投入產出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產出比并按其大小進行績效排序。但當被衡量

3、的同類型組織有多項投入和多項產出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產出比的數(shù)值。如運營單位有多種投入要素(員工規(guī)模、工資數(shù)目、運作時間和廣告投入)，同時也有多種產出要素(利潤、市場份額和成長率)。在這些情況下，很難讓管理者知道，當輸入量轉換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。DEA方法在處理多輸入，特別是多輸出問題能力上具有絕對優(yōu)勢。第二章 數(shù)據(jù)包絡分析法模型2.1 基礎知識 （1）決策單元(DMU)：我們把具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業(yè)或時期稱為。評價的依據(jù)是決策單元的一組投入指標數(shù)據(jù)和一組產出指標數(shù)據(jù)。 （2）投入指標：指決

4、策單元在經濟和管理活動中需要耗費的經濟量，例如固定資產原值、流動資金平均余額、自籌技術開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 （3）產出指標：指決策單元在某種投入要素組合下，表明經濟活動產生成效的經濟量，例如總產值、銷售收入、利稅總額、產品數(shù)量、勞動生產率、產值利潤率等。 （4）指標數(shù)據(jù)：指實際觀測結果，根據(jù)投入指標數(shù)據(jù)和產出指標數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。2.2 C2R模型設有n個部門(企業(yè))，稱為n個決策單元，每個決策單元都有p種投入和q種產出，分別用不同的經濟指標表示。這樣，由n個決策單元構成的多指標投入和多指標產出的評價系統(tǒng)，可以做如下表示： 設：n個

5、決策單元(=j=1,2,3,.,n)，每個決策單元有相同的p項投入(輸入)(i=1,2,.,p) ，每個決策單元有相同的 q項產出(輸出)(r = 1，2，.，q)。xij第j決策單元的第i項投入 yij第j決策單元的第r項產出 (1)即：效率指標hk等于產出加權之和除以投入加權之和，表示第k個決策單元多指標投入和多指標產出所取得的經濟效率?？梢赃m當?shù)剡x擇權系數(shù)u、v，使得 hk1,建立評價第k0個決策單元相對有效性的C2R模型。 設第k0個決策單元的投入向量和產出向量分別為： 效率指標 ，在效率評價指標 的約束條件下，選擇一組最優(yōu)權系數(shù) U和V，使得h0達到最大值，構造優(yōu)化模型(分式規(guī)劃)

6、(2) 上述模型中xik,yjk為已知數(shù)(可由歷史資料或預測數(shù)據(jù)得到)，vi,uj為變量。模型的含義是以權系數(shù)vi,uj為變量，以h0所有決策單元的效率指標為約束，以第k0個決策單元的效率指數(shù)為目標。即評價第k0個決策單元的生產效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。 記，則有矩陣形式（P） （3） 作Charnes-Cooper變換，轉化為一個等價的線性規(guī)劃模型。 故將模型轉化為其對偶問題為寫成向量形式2.3 模型求解方法在評價決策單元是否為DEA有效時,如果利用原線性規(guī)劃問題:需要判斷是否存在最優(yōu)解，滿足：利用對偶線性規(guī)劃需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足:無論是對于線性規(guī)劃還是對于對偶規(guī)

7、劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量，從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計算和技術上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量的C2R模型。令是非阿基米德無窮小量，它是一個小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。最優(yōu)解為 設模型（D）的最優(yōu)解為 l0、s0-、s0+、q0 ，分三種情況進一步討論： q0 = 1，且 s0- = 0、s0+ = 0 ：決策單元k0為DEA有效。 其經濟意義是：決策單元k0的生產活動(X0,

8、Y0)同時為技術有效和規(guī)模有效。 所謂技術有效，是指對于生產活動(X0,Y0)，從技術角度來看，資源獲得了充分利用，投入要素達到最佳組合，取得了最大的產出效果，效率評價指標 h0=Vp=VD=q0 = 1 。 q0 = 1，但至少有某個 si0- 0 或者至少有某個 sj0+ 0：決策單元k0為弱DEA有效。 其經濟意義是：決策單元 k0 不是同時技術有效和規(guī)模收益有效。 若某個si0- 0，表示第 i 種投入指標有 si0- 沒有充分利用； 若某個sj0+ 0，表示第 j 種產出指標與最大產出值尚有 sj0+ 的不足。 q0 1：決策單元k0不是DEA有效。其經濟意義是：決策單元 k0 的生

9、產活動(X0,Y0)既不是技術效率最佳,也不是規(guī)模收益最佳。 第三章 數(shù)據(jù)包絡分析法案例3.1 工程建設項目評標方法1假定一待建工程項目, 對應的技術、經濟綜合指標設為X1 , X2 , , Xm ;Y1 ,Y2 , ,Ys ;其中Xi 表示負向指標,Yr 表示正向指標。有n個投標商, 用xij表示第j 個承包商的第i 個負向指標值, yrj表示第j 個承包商的第r個正向指標值(i =1 , 2 , , m; r =1 ,2 , ., s ; j =1 , 2 , ., n), 以負向指標做為輸入指標, 正向指標做為輸出指標?，F(xiàn)有6個承包商進行投標，其各項指標如下：表3.1 承包商各項指標承包

10、商年生產能力投標能力履約保險系數(shù)凈資產負債率（%）收益利息率（%）資產利潤率(%)可獲信貸（萬元）運營資本收益率（%）11.83.22.543.75.294.3810006908721.62.82.138.34.589.288006702632.86.15.1120.53.054.0420003905442.55.44.0140.72.551.23150030.2151.32.21.8225.62.029.5960023.3161.41.91.5214.31.914.3550018.95各指標中, 凈資產負債率和收益利息率為負向指標, 其余為正向指標。DEA 評價結論與指標量綱無關, 不必對上

11、述各指標進行無量綱化處理。現(xiàn)以凈資產負債率X1 、收益利息率X2 為輸入指標, 以年生產能力Y1 、投標能力Y2 、履約保險系數(shù)Y3 、資產利潤率Y4 、可獲信貸Y5 、運營資本收益率Y6 為輸出指標, 利用工程建設項目評標模型, 由MATLAB6 .1 軟件中的線性規(guī)劃程序可分別計算出6 個承包商的效率值和優(yōu)先序, 結果于表3.2。表3.2 各承包商模型效率值承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6模型效率值1.001.001.001.000.85200.7749排序111123發(fā)現(xiàn)求得的承包商1、2、3、4效率值均為1，無法進行排序，故引入一個虛擬決策單元，替代評價決策單元，

12、令 稱Xn+1和Yn+1為輸入、輸出的決策單元，并且作為這n個承包商決策 單元的虛擬決策單元，使原來的各個決策單元相對這個決策單元變得非有效，這樣就達到了進一步比較各決策單元差異程度的目的。把虛擬決策單元并入到實際的n個決策單元中，就可得到基于虛擬決策單元的工程建設項目評標的DEA模型： 可以驗證這一模型（P）的相關DEA理論都是成立的2。于是利用該模型進行計算得到下表表3.3 P模型下各承包商效率計算承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6P模型效率值0.87640.96260.63330.67860.44110.5000排序214365得到各承包商的優(yōu)劣順序依次為:2 , 1

13、 , 4 , 3 , 6 ,5 。故應當優(yōu)先選擇承包商2。3.2 環(huán)保項目評價3現(xiàn)有10個環(huán)境保護項目燃燒固體廢棄物發(fā)電的項目，需要對其進行有效性的評價。各項目的設備、工藝水平相當，其他項目指標如下表表3.4 環(huán)保項目指標項目煤炭資金供燃燒的廢物輸出電能飛灰項目187.2719040.435432.6113257.662651.75項目254.9611232.174789.7212378.541845.02項目385.5018499.924935.7013108.852563.64項目496.9318053.169170.0816067.432432.37項目597.4218074.18883

14、1.5416249.792752.78項目665.129687.736811.1215472.151737.60項目769.0911584.398669.4415763.831986.96項目868.8612314.164568.9210492.732081.35項目976.6510432.539347.3816532.112112.51項目1073.2114416.357392.4311230.652347.46于是將輸入選定為煤炭（x1）、資金（x2）、供燃燒的廢物（x3），輸出選定為輸出電能（y1）、飛灰（y2）。將每一個項目當做一個決策單元，運用C2R模型計算出不同環(huán)保項目有效性數(shù)值，

15、如下表表3.5 各項目相對效率值項目項目1項目2項目3項目4項目5項目6項目7項目8項目9項目10相對效率值0.70481.00000.70460.77500.75731.00001.00000.85981.00000.8908從上表中，可以發(fā)現(xiàn)項目2、6、7、9有效性均為1，說明這些項目是相對有效率的，而項目1、3、4、5、8、10有效性均小于1，說明是非DEA有效的，需要改進或者加強控制。3.3 科研評價4四家體育科研所在三年期間有不同的資源投入(平均值) 和不同的產出(省部級課題、發(fā)表專著、期刊文章和培養(yǎng)研究生人數(shù)) 見下表3.6。表3.6 四家體科所的投入和產出表項目國家體科所北京體科

16、所湖北體科所北京體育大學體科所投入投入資金（萬元）28.5216.2327.5721.04高學歷（人）12.3812.834.8515.41高職稱（人）10.676.4210.4110.40產出課題（篇）4.813.463.673.32專著（部）4.312.714.595.65期刊文章（篇）25.3014.8017.5016.0培養(yǎng)學生（人）4.102.702.308.40模型變量:A, B, C , D 分別為各科研所的權重;E 為待定的比例系數(shù), 求Min :E 約束條件之一:產出約束, 組合體科所產出待評價體科所的產出4.81A +3.46B+3.67C +3.32D3.464.31A

17、+2.71B+4.59C +5.65D2.7125.3A +14.8B+17.5C +16.0D14.84.1A+2.7B+2.3C+8.4D2.7約束條件之二:投入約束, 組合體科所投入待評價體科所的投入待定比例系數(shù)28.52A+16.23B+27.57C +21.04D16.23E12.38A+12.87B+34.85C +15.41D12.87E10.67A+6.42B+10.41C +10.4D6.42E約束條件之三:權重之和為1A+B +C +D=1A, B, C , D, E0通過計算得出結果如下表3.7、表3.8表3.7 北京體科所計算結果投入國家北京湖北北體大組合Suplus資

18、金28.555216.2327.5721.040.000.00高學歷12.3812.8734.8515.410.000.00高職稱10.676.4210.4110.400.000.00產出課題4.813.463.63.323.460.00專著4.312.714.595.652.710.00期刊文章25.3014.8017.5016.014.80培養(yǎng)學生4.102.702.308.402.70權重0.001.000.000.001目標函數(shù)1表3.8 湖北體科所計算結果投入國家北京湖北北體大組合Suplus資金28.555216.2327.5721.040.003.58高學歷12.3812.873

19、4.8515.410.0017.44高職稱10.676.4210.4110.400.000.00產出課題4.813.463.63.323.460.00專著4.312.714.595.652.710.00期刊文章25.3014.8017.5016.014.800.16培養(yǎng)學生4.102.702.308.402.703.70權重0.2120.2600.000.5271目標函數(shù)0.90524從表3.7中可看出目標函數(shù)值為1，表明北京體科所位于有效邊界上，其用適量資源投入，獲得較高的產出，工作效率是相對有效的。從表3.8可看出, 目標函數(shù)小于1 , 表明湖北體科所不在有效邊界上, 是相對非有效的。計算

20、結果解釋為:組合體科所由21.2%國家體科所, 26%北京體科所及北京體育大學體科所52.7%構成, 用了少于90.524%的資源獲得不少于湖北體科所的產出。組合體科所少使用資金3.58 萬元,高學歷17.44 人, 多產出期刊文章0.16 人, 培養(yǎng)學生3.70人。第四章 總結4.1 DEA方法的優(yōu)點DEA的優(yōu)點吸引了眾多的應用者，應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面目前，這一方法應用的領域正在不斷地擴大它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已

21、有的一些工廠是否為有效)DEA模型甚至可以用來進行政策評價。 自從數(shù)據(jù)包絡法提出至今，其應用范圍日漸廣泛。例如它被廣泛應用于學校、醫(yī)院、鐵路、銀行等公共服務部門的運行效率的評估實證研究。DEA作一種新的效率評估方法，與以前的傳統(tǒng)方法相比有很多優(yōu)點。首先，DEA方法可以用于對具有多投入、多產出的多個決策單元的生產(或經營)績效性進行評價，而且應用時可以避免像傳統(tǒng)方法那樣因為各指標量綱的不同而尋求權重因素所帶來的諸多困難，其評價結果相對而言比較客觀；其次，DEA模型中投入、產出指標的權重可以建立數(shù)學規(guī)劃模型，然后根據(jù)實際的數(shù)據(jù)而產生，而不是事先給定投入與產出的權重權重系數(shù)，因此它不受人為主觀因素的

22、影響，可避免在權重的分配時評價者的主觀意愿對評價結果的造成人為的影響。 另外，數(shù)據(jù)包絡法是一種典型的非參數(shù)估計方法，應用該方法評價時無須設定評價函數(shù)的具體形式，投入產出采用隱函數(shù)的形式表示，不同決策單元的評價函數(shù)其參數(shù)可以變動，針對各個決策單元都將通過數(shù)學規(guī)劃模型的手段給出最優(yōu)的投入產出函數(shù)，從而利用計算簡化。數(shù)據(jù)包絡法評價的是決策單元的相對有效性，其生產前沿面可以看成是最優(yōu)決策單元的投入與產出所組成的一個包絡面，如果對應被評價的決策單元在該生產前面上，則稱之為DEA有效，否則，稱之為非DEA有效以決策單元(DMU)各輸入輸出的權重向量為變量，從最有利于決策的角度進行評價，從而避免了人為因素確定各指標的權重而使得研究結果的客觀性收到影響。這種方法采用數(shù)學規(guī)劃模型，對所有決策單元的輸出都“一視同仁”。這些輸入輸出的價值設定與虛擬系數(shù)有關，有利于找出那些決策單元相對效益偏低的