拉普拉斯變換

1、13 拉普拉斯變換重點：1.拉普拉斯反變換部分分式展開2.基爾霍夫定律的運算形式、運算阻抗和運算導納、運算電路3.應用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟難點： 1. 拉普拉斯反變換的部分分式展開法 2. 電路分析方法及定理在拉普拉斯變換中的應用本章與其它章節(jié)的聯(lián)系：是后續(xù)各章的基礎(chǔ)，是前幾章基于變換思想的延續(xù)。 預習知識：積分變換131 拉普拉斯變換的定義1. 拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換法是一種數(shù)學積分變換，其核心是把時間函數(shù) f(t) 與復變函數(shù) F(s) 聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學變換為復頻域問題，把時間域的高階微分方程變換為復頻域的代數(shù)方程，在求出待求的復變函數(shù)后，再作相反的變換得

2、到待求的時間函數(shù)。由于解復變函數(shù)的代數(shù)方程比解時域微分方程較有規(guī)律且有效，所以拉普拉斯變換在線性電路分析中得到廣泛應用。2. 拉普拉斯變換的定義一個定義在 0,+) 區(qū)間的函數(shù) f(t) ，它的拉普拉斯變換式 F(s) 定義為 式中s=+j為復數(shù)，被稱為復頻率；F(s)為f(t)的象函數(shù)，f(t)為F(s)的原函數(shù)。由 F(s) 到 f(t) 的變換稱為拉普拉斯反變換，它定義為 式中 c 為正的有限常數(shù)。 注意：1）定義中拉氏變換的積分從 t=0- 開始，即： 它計及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的沖激和電路動態(tài)變量的初始值，從而為電路的計算帶來方便。2）象函數(shù) F(s) 一般用大寫字

3、母表示, 如I(s)，U(s) ，原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如i(t),u(t)。3）象函數(shù) F(s) 存在的條件：3.典型函數(shù)的拉氏變換1) 單位階躍函數(shù)的象函數(shù) 2) 單位沖激函數(shù)的象函數(shù) 3) 指數(shù)函數(shù)的象函數(shù) 132 拉普拉斯變換的性質(zhì) 拉普拉斯變換的性質(zhì)列于表13.1中。 表 13-1 拉氏變換的若干性質(zhì)和定理 特性和定理 表 達 式 條 件 和 說 明 線性 a 、 b 為常數(shù) 位移特性 時域延遲 為一非負實數(shù) 頻域延遲 微分 若所有初值為零，則有積分 初值定理 或 存在終值定理 或 所有奇點均在 s 平面左半部 卷積定理 為 與的卷積 應用拉氏變換的性質(zhì)，同時借助于表13.

4、2中所示的一些常用函數(shù)的拉普拉斯變式可以使一些函數(shù)的象函數(shù)求解簡化。 表 13-2 拉氏變換簡表 1 Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at ) 例13-1 已知 ，求函數(shù) 的像函數(shù)。解： 例13-2 已知 ，求 f(t)= 的象函數(shù)。 解： 根據(jù)積分性質(zhì)和時域延遲性質(zhì) 例13-3 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 例13-4 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 根據(jù)微分性質(zhì)，因為 ，所以 例13-5 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 根據(jù)頻域?qū)?shù)性質(zhì)有： 例13-6 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 根據(jù)頻域?qū)?shù)性質(zhì)有： 例13-7 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 根據(jù)頻域?qū)?shù)性質(zhì)有： 133 拉普拉斯

5、反變換的部分分式展開 1拉普拉斯反變換法 用拉氏變換求解線性電路的時域響應時，需要把求得的響應的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法有：1） 利用公式 2) 對簡單形式的 F(S) 可以查拉氏變換表得原函數(shù) 3) 把 F(S) 分解為簡單項的組合，也稱部分分式展開法。 則 133 拉普拉斯反變換的部分分式展開 2.部分分式展開法用部分分式法求拉氏反變換(海維賽德展開定理)，即將展開成部分分式，成為可在拉氏變換表中查到的 的簡單函數(shù)，然后通過反查拉氏變換表求取原函數(shù)。設(shè) ，的階次不高于的階次，否則，用除 ，以得到一個的多項式與一個余式（真分式）之和。部分分式為真分式時，需對為分母多

6、項式作因式分解，求出=0的根。設(shè)象函數(shù)的一般形式： 即 F（s）為真分式。下面討論 =0 的根的情況。 1） 若=0 有 n 個不同的單根 p1、p2pn 。利用部分分式可將F(s)分解為： 待定常數(shù)的確定： 方法一：按 ， i =1, 2, 3, , n 來確定。 方法二：用求極限方法確定ai的值 得原函數(shù)的一般形式為： 2） 若=0有共軛復根和 ，可將F(s)分解為： 則， 因為F(s)為實系數(shù)多項式之比，故和為共軛復數(shù)。設(shè)， 3） =0 的具有重根時，因含有 的因式。 則， ； ； ；總結(jié)上述得由 F(s) 求 f( t) 的步驟： 1） n = m 時將 F(s) 化成真分式和多項式之

7、和； 2） 求真分式分母的根，確定分解單元； 3） 將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)； 4） 對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換。例13-8 已知 求原函數(shù) 解法一： 設(shè) 其中 所以 解法二： 例13-9 已知 求原函數(shù) 。 解： 因為 的根為： 所以 例13-10 已知 ，求原函數(shù) 解： ； ； ； 則， 例13-11 已知 ，求原函數(shù) 。 解： 原式 所以 134 運算電路 應用拉普拉斯變換求解線性電路的方法稱為運算法。運算法的思想是：首先找出電壓、電流的像函數(shù)表示式，而后找出 R 、 L 、 C 單個元件的電壓電流關(guān)系的像函數(shù)表示式，以及基爾霍夫定律的像函數(shù)表示式，得到用像

8、函數(shù)和運算阻抗表示的運算電路圖，列出 復頻域的代數(shù)方程，最后求解出電路變量的象函數(shù)形式，通過拉普拉斯反變換，得到所求電路變量的時域形式。顯然運算法 與相量法的基本思想類似，因此，用相量法分析計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的那些方法和定理在形式上均可用于運算法。1. 電路定律的運算形式 基爾霍夫定律的時域表示： 把時間函數(shù)變換為對應的象函數(shù)： 得基爾霍夫定律的運算形式： 2.電路元件的運算形式 根據(jù)元件電壓、電流的時域關(guān)系，可以推導出各元件電壓電流關(guān)系的運算形式。1) 電阻 R 的運算形式 圖 13.1（a） 圖13.1(a)所示電阻元件的電壓電流關(guān)系為：u=Ri，兩邊取拉普拉斯變換，得電阻元件 VCR 的運

9、算形式： 或 根據(jù)上式得電阻 R 的運算電路如圖（b）所示。 圖 13.1（b）2) 電感 L 的運算形式圖13.2(a)所示電感元件的電壓電流關(guān)系為 兩邊取拉普拉斯變換并根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)，得電感元件 VCR 的運算形式： 或 根據(jù)上式得電感L的運算電路如圖(b)和圖(c)所示。圖中表示附加電壓源的電壓，表示附加電流源的電流。式中分別稱為電感的運算阻抗和運算導納。 圖 13.2（a） 圖 13.2（b） 圖 13.2（c） 3) 電容 C 的運算形式圖13.3(a)所示電容元件的電壓電流關(guān)系為： 兩邊取拉普拉斯變換并根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)，得電容元件 VCR 的運算形式： 或 根據(jù)上式得

10、電容 C 的運算電路如圖(b)和圖(c)所示。圖中表示附加電流源的電流，表示附加電壓源的電壓。式中 分別為電容的運算阻抗和運算導納。 圖 13.3（a）圖 13.3（b）圖 13.3（c）4) 耦合電感的運算形式圖13.4（a）所示耦合電感的電壓電流關(guān)系為： 兩邊取拉普拉斯變換，得耦合電感 VCR的運算形式：圖13.4（a） 根據(jù)上式得耦合電感的運算電路如圖(b)所示。圖中和都是附加電壓源。式中 分別稱為互感運算阻抗和互感運算導納。 5) 受控源的運算形式圖13.5（a）所示 VCVS 的電壓電流關(guān)系為： 兩邊取拉普拉斯變換，得運算形式為： 圖13.4（b）根據(jù)上式得 VCVS 的運算電路如圖

11、（b）所示。 圖13.5（a） 圖13.5（b）3. 運算電路模型 圖13.6（a）圖13.6（b）圖13.6為RLC 串聯(lián)電路，設(shè)電容電壓的初值為，電感電流的初值為，其時域方程為： 取拉普拉斯變換，得運算方程 或?qū)憺?即： 上式稱運算形式的歐姆定律，式中稱運算阻抗。根據(jù)上式得圖（b）所示的運算電路。因此，運算電路實際是：（1） 電壓、電流用象函數(shù)形式（2） 元件用運算阻抗或運算導納表示；（3） 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。例13-12 給出圖（a）所示電路的運算電路模型。已知 例 13-12 圖（a）解： 運算電路如圖（b）所示。 例 13-12 圖（b）例13-13 給出圖（a

12、）所示電路的運算電路模型，已知 t=0 時打開開關(guān)。 例 13-13 圖（a）解：由圖（a）可知：uc(0-)=25V，iL(0-)=5A，則運算電路模型如圖（b）所示。 例 13-13 圖（b）注意圖中的附加電源。135 應用拉普拉斯變換法分析線性電路 應用拉普拉斯變換法分析線性電路計算步驟為： 1. 由換路前的電路計算 uc(0-) , iL(0-) 。 2. 畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用。 3. 應用電路分析方法求象函數(shù)。 4. 反變換求原函數(shù)。 注意：1）運算法直接求得全響應；2）用 0- 初始條件，躍變情況自動包含在響應中；例13-14 電路如圖（a）所示，開關(guān)

13、 S 原來閉合，求 S 在 0 時刻打開后電路中的電流及電感元件上的電壓。其中，R1=2，R2=2，L1=0.3H，L2=0.1H，Us=10V 。 例 13-14 圖（a）例 13-14 圖（b）解：圖（b）是開關(guān) S 打開后的運算電路圖。 L1 中的初始電流為 Us/R1=5A 。則 故 A 所以 V V例13-15電路如圖(a)所示，t=0 時刻開關(guān) S 閉合，用運算法求 S 閉合后電路中感元件上的電壓及電流。已知 。 例 13-15 圖（a）解： (1)首先計算初值由已知條件和圖(a)得： (2)畫運算電路如圖(b)所示。其中 例 13-15 圖（b） (3)應用回路法，回路電流方向如圖示，得回路方程： 從中解得： (4) 反變換