第12章第3講一次函數的應用-滬科版八年級數學上冊教學案

1、一次函數的應用【要點梳理】要點一、數學建模的一般思路 數學建模的關鍵是將實際問題數學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數學轉化為什么樣的函數模型.要點二、正確認識實際問題的應用在實際生活問題中，如何應用函數知識解題，關鍵是建立函數模型，即列出符合題意的函數解析式，然后根據函數的性質綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.要點詮釋：要注意結合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點.要點

2、三、選擇最簡方案問題 分析問題的實際背景中包含的變量及對應關系，結合一次函數的解析式及圖象，通過比較函數值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數作為一種數學模型在分析解決實際問題中的重要作用.一次函數解決實際問題的步驟：（1） 認真分析實際問題中變量之間的關系；（2） 若具有一次函數關系，則建立一次函數的關系式；（3） 利用一次函數的有關知識解題?！镜湫屠}】類型一、利用一次函數的方案選擇例1、某商店欲購進甲、乙兩種商品，已知甲的進價是乙的進價的一半，購進3件甲商品和1件乙商品恰好用200元，甲、乙兩種商品的售價每件分別為80元、130元，該商店決定用不少于6710元且不超過6810元購進

3、這兩種商品共100件。（1） 求這兩種商品的進價；（2） 該商店有幾種進貨方案？哪種進貨方案可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】解：（1）設：甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，則： 解得： 甲商品的進價為40元；乙商品的進價為80元。（2）設：購進甲商品z件，則購進乙商品100-z件，則： 解得： z是整數，故z的取值為30，31，32. 該商店有三種進貨方案。 由題意可知：設利潤為w=（80-40）z+（130-80）（100-z） 即：w=-2z+5000 關于利潤w的函數是隨著z的增大而減小。 當購進甲商品30件時，有最大利潤4700元。【變式】某中學計劃購買A型和B型桌凳共2

4、00套，經招標，購買一套A型課桌凳比購買一套B型課桌凳少用40元，且購買4套A型和5套B型課桌凳共需1820元。（1） 求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元？（2） 學校根據實際情況，要求購買這兩種課桌凳的總費用不能超過40880元，并且購買A型課桌凳的數量不能超過B型課桌凳的，求該校本次購買A型和B型課桌凳共有幾種方案？哪種方案的總費用最低？【答案】解：（1）設購買一套A型課桌凳需要x元；購買一套B型課桌凳需要y元，則： 解得：（2）設購買A型課桌凳的數量為z，則購買B型課桌凳的數量為200-z,則： 解得： z的取值范圍為：78，79，80. 設購買課桌凳的總費用為w，則： W=

5、180z+220(200-z)=-40z+44000 總費用w是隨著z的增大而減小的 當z=80時，w=40800.例2、建設環(huán)境優(yōu)美、文明和諧的新農村，某村村委會決定在村道兩旁種植A,B兩種樹木，需要購買這兩種樹苗1000棵，A,B兩種樹苗的相關信息如下表：品種項目單價（元/棵）成活率植樹費（元/棵）A2090%5B3095%5設購買A種樹苗x棵，綠化村道的總費用為y元，解答下列問題：（1） 寫出y與x之間的函數關系式；（2） 若這批樹苗種植后成活了925棵，則綠化村道的總費用需要多少錢？（3） 若綠化村道的總費用不超過31000元，則最多可購買B種樹苗多少棵？【答案】解：（1）依題意得：y

6、=20x+30(1000-x) 即：y=-10x+30000,0x1000（2）這批樹苗成活了925棵，成活率為92.5%，則： 解得：x=500 總費用為：（20+30）×500+5×1000=30000元。（3）20x+30(1000-x)+5×100031000 解得：x500 當x=500時，B中樹苗最多，也是500棵。類型二、方案選擇問題例3、 學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商。經了解：兩家公司生產的這款服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元。經洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是全部服裝按單價打七折

7、，但校方需要承擔2200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按100元打八折，公司承擔運費，另外女生人數是男生人數的2倍少100人，如果設男生的人數為x人。（1） 分別寫出學校購買A、B兩公司的服裝的總費用y1(元)和y2(元)與男生人數x之間的函數關系式。（2） 問：該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由。【答案與解析】解：（1）依題意得：y1=120×0.7x+100×0.7(2x-100)+2200 =224x-4800 y2=100×0.8（x+2x-100） =240x-8000（2）當y1>y2，即224x-4800>240x-8

8、000時；解得： x<200當男生人數少于200時，B公司合算；同理：當男生人數多于200時，A公司合算； 當男生人數等于200時，兩公司費用一樣。舉一反三：【變式】某校實行學案式教學，需印制若干份教學學案，印刷廠有甲、乙兩種收費方式，除按印數收取印刷費外，甲種方式還需收取制版費而乙種不需要。兩種印刷方式的費用y(元)與印刷份數x(份)之間的關系如圖所示。（1） 填空：甲種收費的函數關系式是 ；乙種收費的函數關系式是 。（2） 該校某年級每次需印制100-450（含100和450）份學案，選擇哪種印刷方式較合算？【答案】解：（1）y=0.1x+6；y=0.12x。（2）當0.1x+6&g

9、t;0.12x，即x<300當100<x<300時，乙種印刷方式合算 當300<x<450時，甲種印刷方式合算 當x=300時，甲乙兩種印刷方式費用一樣。例4、 某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x2)個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用。該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價均為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動：A超市：所有商品均打九折銷售；B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球。設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA(元)，在B超市購買羽毛球拍和羽毛

10、球的費用為yB(元)，請解答下列問題：（1） 分別寫出yA和yB之間的關系式；（2） 若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？（3） 若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案。【答案與解析】解：（1）依題意得： yA=30×0.9×10+3×0.9x =2.7x+270 yB=30×10+3×（x-20） =3x+240 （2）當yA>yB時，即2.7x+270>3x+240， 解得x<100. 同理，當yA<yB時，x>100。 當羽毛球超過100個時，在B超市購買劃算

11、； 當羽毛球少于100個時，在A超市購買劃算。 （3）先在B超市購買10副羽毛球拍，再在A超市購買130個羽毛球。類型一、簡單的實際問題某工廠有甲種原料130kg，乙種原料144kg。現(xiàn)用這兩種原料生產出A,B兩種產品共30件。已知生產每件A產品需甲種原料5kg，乙種原料4kg，且每件A產品可獲利700元；生產每件B產品需甲種原料3kg，乙種原料6kg，且每件B產品可獲利900元。設生產A產品x件（產品件數為整數），根據以上信息解答下列問題：（1） 生產A,B兩種產品的方案有幾種；（2） 設生產這30件產品可獲利y元，寫出y關于x的函數解析式，寫出（1）中利潤最大的方案，并求出最大利潤?！敬鸢?/p>

12、】解：（1）依題意得： 解得： 16x20. 生產A,B兩種產品的方案有5種。 （2）y=700x+900(30-x) =-200x+27000 當x=16時，有最大利潤y=23800.舉一反三：【變式】賽龍舟是端午節(jié)的主要習俗，某市甲乙兩支龍舟隊在端午節(jié)期間進行劃龍舟比賽，從起點A駛向終點B，在整個行程中，龍舟離開起點的距離y(h)與時間x(min)的對應關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：（1） 起點A與終點B之間相距多遠？（2） 哪支龍舟隊先出發(fā)？哪支龍舟隊先到達終點？（3） 分別求甲、乙兩支龍舟隊的y與x函數關系式；（4） 甲龍舟隊出發(fā)多長時間時兩支龍舟隊相距200m？【答案】（1）

13、起點A與終點B之間相距3000m； （2）甲隊先出發(fā)，乙隊先到達終點。 （3）設甲隊直線的解析式為：y=kx(k0) 甲直線過點（25，3000） 3000=25k 解得：k=120 甲直線的解析式為：y=120x 設乙直線的解析式為：y=k1x+b(k10) 乙直線過點（5，0）和（20，3000） 解得： 乙直線的解析式為：y=200x-1000 （4）設甲隊出發(fā)t分鐘時兩隊相距200m |120x-(200x-1000)|=200 即：120x-(200x-1000)=±200 解得：x=10或x=15類型二、方案選擇問題甲乙兩組工人同時加工某種零件，乙組工作中有一次停產更換設

14、備，更換設備后，乙組的工作效率是原來的2倍，兩組各自加工零件的數量y(件)與時間x(時)的函數圖象如圖所示。（1） 求甲組加工零件的數量y與時間x之間的函數關系式；（2） 求乙組加工零件的總量a的值；（3） 甲乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每夠300件裝一箱，零件裝箱的時間忽略不計，求經過多長時間恰好裝滿第一箱？再經過多長時間恰好裝滿第2箱？【答案與解析】解：（1）設甲組的函數關系式為：y1=kx(k0) 甲組代表的函數直線過點（6，360） 6k=360 k=60 甲組函數關系式為：y=60x （2）設乙組前2小時的函數關系式為：y2=k1x(k10) 乙組前2小時的函數直線經過點（2，1

15、00） 2k1=100 k1=50 乙組前2小時的函數關系式為：y=50x 乙組更換設備之后的函數關系式為：y=100x a=100+100×2=300 （3）當x=2.8時，y1=168,y2=100,y1+y2<300 設再過t時，y1+y2=300 即：168+100+60t+100t=300 解得：t=0.2 經過3小時恰好裝滿第一箱。 設再經過T小時裝滿第2箱， 即：60T+100T=300 解得： 再經過小時恰好裝滿第2箱。舉一反三：庫爾勒某鄉(xiāng)A,B兩村盛產香梨，A村有香梨200噸，B村有香梨300噸，現(xiàn)將這些香梨運到C,D兩個冷藏倉庫。已知C倉庫可儲存240噸，D

16、倉庫可儲存260噸，從A村運往C,D兩處的費用分別為每噸40元和45元；從B村運往C,D兩村的費用分別為每噸25元和32元。設從A村運往C倉庫的香梨為x噸，A,B兩村運香梨往兩倉庫的運費分別為yA元，yB元。（1） 請?zhí)顚懴卤恚⑶蟪鰕A，yB之間的函數關系式； CD總計Ax噸200噸B300噸總計240噸 260噸500噸（2） 當x為何值時，A村的運費較少？（3） 請問怎樣調運，才能使兩村的運費之和最??？求出最小值。【答案】解 ：（1） CD總計Ax噸200-x200噸B240-x60+x300噸總計240噸260噸500噸由上表可得：yA=40x+45(200-x)=-5x+9000 y

17、B=25(240-x)+32(60+x)=7x+7920（2）yA=-5x+9000，yA隨x的增大而減小 當x=200時，A村費用最少為8000元。（3）設Y=yA+yB=-5x+9000+7x+7920=2x+16920, Y隨x的增大而增大 當x=0時，Y取得最小值為16920.例7、某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件，己知生產l件A種產品需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利700元；生產1件B種產品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利潤1200元(1)按要求安排A、B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案?請你設計出來

18、(2)設生產A、B兩種產品獲總利潤為元，其中生產A種產品的件數為，試寫出與之間的函數解析式，并利用函數性質說明(1)中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？【答案與解析】解：本題給出的信息繁雜、數據較多，可用列表分析， (1)設安排生產A種產品件，則B種產品為(50)件，由題意得解得 是整數， 只能取30、31、32 生產方案有三種，分別為A種30件，B種20件；A種31件，B種19件；A種32件，B種18件(2)由生產A種產品的件數為，則7001200(50)50060000，是的一次函數， 5000，根據一次函數的性質， 隨的增大而減小， 當30，值最大，500×306000045000，即安排生產A種產品30件，B種產品20件時，獲得利潤最大，最大利潤是45000元例8、某送奶公司計劃在三棟樓之間建一個取奶站，三棟樓在同一條直線，順次為A樓、B樓、C樓，其中A樓與B樓之間的距離為40米，B樓與C樓之間的距離為60米已知A樓每天有20人取奶，B樓每天有70人取奶，C樓每天有60人取奶，送奶公司提出兩種建站方案 方案一：讓每天所有取奶的人到奶站的距離總和最小； 方案二：讓每天A樓與C樓所有取奶的人到奶站的距離之和等于B樓所有取奶的人到奶站的距離之