SolidWorks有限元高斯積分點

1、單元節(jié)點和積分點有什么區(qū)別學(xué)過數(shù)值積分的應(yīng)該知道，有限元中的積分點指高斯積分點，因為這些點的收斂性好，精度高。 r3SE7xCvM(S'Wy2H t u2xU:S5Lb1Z 1、節(jié)點7_ZJ1D oP(在單元內(nèi)，采用形函數(shù)來表述單元內(nèi)變量的分布規(guī)律。而節(jié)點值是在節(jié)點處的對應(yīng)物理量。eQ,Y0k |H:u)Ds'd 以簡單矩形單元的溫度為例：1n*1p"g I 四個節(jié)點i,j,m,n的溫度分別為Ti,Tj,Tm,Tn.B Nt7DA#l;AV 則以單元內(nèi)自然坐標(biāo)(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分別為四個節(jié)點，單元內(nèi)溫度分布為：T=Si,

2、 Sj, Sm, Sn Ti, Tj, Tm, TnA6L6zB|a Si=1/4(1-x)(1-y):INLG3_5of Sj=1/4(1+x)(1-y) qX v5uZSm=1/4(1+x)(1+y)E g0w4y6l.?-aSn=1/4(1-x)(1+y)M r S1T6R+d:C(單元的形函數(shù)我們可以從手冊中查到)a O 從而我們知道了溫度在單元內(nèi)的分布。;? vI(s7ML m" k2、積分節(jié)點5G z) |我們需要對溫度在單元內(nèi)的面積上進行積分時，因為節(jié)點的溫度顯然與x,y無關(guān)，我們只需要考慮對形函數(shù)積分。 f"X r1O采用Gauss_Legendre多項式計

3、算積分時，我們只需要計算根據(jù)特定積分點的值（在自然坐標(biāo)系下是固定的，可以查手冊，這些點也叫高斯點、積分點）并加以權(quán)重就可以。這就把復(fù)雜的積分問題變成了簡單的代數(shù)問題。因為形函數(shù)只有單元有關(guān)，所以積分點也只與單元形狀 有關(guān)。mx;B(tz8Do,g h mONg 3.應(yīng)力一般采用多個積分點的相互插值或外延來計算節(jié)點應(yīng)力。這只是為了減少誤差。因為在積分點應(yīng)力比節(jié)點具有更高階的誤差。 從理論上說，形函數(shù)已知后，用Maple或者Mathematic等軟件進行符號積分的話，是可以精確計算出剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，但是這樣做的話，對于工程實際應(yīng)用來說并不合適（9WIF;c#jxNx原因：1，費時；2，Mind

4、lin中厚板有剪力鎖死問題，有時候需要采用縮聚積分），所以有些書上會把2節(jié)點梁單元的剛度陣直接寫出來，但是再復(fù)雜點的單元，就使用數(shù)值積分（Newton-Cotes積分和高斯積分）;f6w3J&h:_Pm高斯積分的話，積分點不在節(jié)點上9B NV4L2K*o?M牛頓-科斯的積分點就是節(jié)點，這樣得到的質(zhì)量矩陣是集中質(zhì)量陣形式 個人理解：t+D f Tq 1.節(jié)點作用構(gòu)造形函數(shù)，節(jié)點的多少描述規(guī)則形狀單元內(nèi)的應(yīng)力的近似分布情況，并獲取節(jié)點上的位移值m0DHC8Y.p5pM2.積分點作用是構(gòu)造規(guī)則形狀單元與曲邊（曲面）單元的轉(zhuǎn)化的變換函數(shù)，積分點的選取多少和選取的位置直接關(guān)系到這種“映射”a C

5、1HQE? y-jA.|K7r的精確程度，剛度矩陣、邊界條件的轉(zhuǎn)化都用到了坐標(biāo)變換的積分關(guān)系，一般取高斯積分點能使被積函數(shù)計算精度盡量高。對于newton-cote積分點的選取，這種“映射”看起來，節(jié)點和積分點是同一個位置或說是同一點，而對于高斯積分點位置與節(jié)點是_z C0不同的。H:s5j,%aA 故有如下結(jié)果： 1.由于高斯積分點的這種變換比較高，在方程求解結(jié)束，返回積分點上的應(yīng)力解比較準(zhǔn)確F;-A Q"A1yN 2.至于Mindlin中厚板有剪力鎖死問題，采用縮聚積分，也是應(yīng)為這種坐標(biāo)的變換關(guān)系（可見有限單元法基本原理和數(shù)值方法GWY6jv,J!O_p345頁10.4.11式可

6、知），力的邊界條件只有剪切，采用縮聚積分可以較大降低剪切力的影響，但是也可能引起剛度矩陣的奇異，所I6Yc j*P:s以對于中厚板的積分點選取不同一般的方案 1.ANSYS手冊(Chapter 13)上列出各種單元的積分點位置。)p6p6FvK C4D2.王瑁成的有限單元法第五章，有解釋為什么積分點應(yīng)力更加精確。HQE"b7XrZ3.因為積分點應(yīng)力更精確，所以我們一般采用積分點的應(yīng)力內(nèi)插或外延確定節(jié)點應(yīng)力。特殊情況除外。單元節(jié)點和積分點是不同的兩個概念！1z#t0N+V S 積分點是在進行函數(shù)積分的時候，為了增加精度，選取的積分點，也就是高斯積分t g8? GoY7h單元節(jié)點是你選取

7、單元的時候就已經(jīng)定下的點，,?4_bk6| 一定有單元節(jié)點，但不一定有積分點 在網(wǎng)格劃分完了所有的節(jié)點就都給定了，就是你網(wǎng)格中的每個點，他是有限元模型中“真實存在”的點。-A0kY'Z)Y0ru A F+A B 但是高斯點純粹是因為高斯積分這種積分方式引入的。數(shù)值分析告訴我們，數(shù)值積分有很多方法，比如辛普森積分，高斯積分等，比如說，如果你采用辛普森積分就不存在高斯點這個概念，只有當(dāng)你采用高斯積分才會有高斯點，不過有限元大多都采用高斯積分。;看過高斯積分就知道高斯點是怎么一回事了。:c有限元求解的結(jié)果是每個節(jié)點的位移，然后通過形函數(shù)插值得到單元任何一個點的位移，當(dāng)然可以計算出高斯積分點的

8、位移。至于應(yīng)力，一般是先求解出高斯點出的應(yīng)力，然后通過平均化的技術(shù)平均到每個節(jié)點上，高斯點處的應(yīng)力精度最高，節(jié)點最差。有限元的基礎(chǔ)知識，如果要比較深入的了解，是非常難的，碩士都只能是應(yīng)用級別，博士都很難說了解清楚了。 但是也可以很簡單的說，讓你能定性的了解原理，拋開那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)的東西。 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析中:一般在構(gòu)成剛度矩陣的時候需要積分運算。而這些積分運算經(jīng)過等參數(shù)單元映射后，十分的復(fù)雜，所以需要一種簡單高效的數(shù)值積分方法。 高斯積分就是一種這類積分。下面對其形式作簡單定性的說明:如：y=sin(x)。積分ydx(-1到1) a1*f(a)+b1*f(b)。根據(jù)高斯積分公式，a1=1,a=-0.57,b1=1,b=0.57，你可以計算一下，這個誤差應(yīng)該是很小的。 上式變?yōu)?積分ydx(-1到1)=sin(-0.57)+sin(0.57) 如果你要問a1 ，a，這些系數(shù)怎么出來的，這個是數(shù)值分析中的勒讓德多項式相關(guān)知識