中位線與中線

1、講義編號：學(xué)員編號：年 級：八年級 課 時 數(shù)： 3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：初中數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課 題 中位線與中線的專題授課日期及時段 2014 年 8月14日 15：0017：00 教學(xué)目的1 掌握中位線與中線的性質(zhì)，同時能夠?qū)⒍吆芎玫蔫b別開來。2 能夠在做題中聯(lián)想到中位線及中線，并能靈活運用。教學(xué)內(nèi)容蘇步青（大陸數(shù)學(xué)家）說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索。先知其然，然后知其所以然”?！局R點回顧】一、中位線 (一)三角形中位線 1.定義:三角形中位連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 2.定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半如圖，ABC中，DE是中位線，則有DE

2、BC，。 (1)證明1：如圖，延 長DE 到 F，使EF=DE ，連 結(jié)CF.DE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFEAD=FC 、A=ECFABFC又AD=DB BD=CF所以 ，四邊形BCFD是平行四邊形DEBC 且 DE=1/2BC (2)證明2：如圖，延 長DE 到 F，使EF=DE ，連 結(jié)CF、DC、AFAE=CE DE=EF四邊形ADCF為平行四邊形AD=CFAD=BDBD=CF四邊形BCFD為平行四邊形BC=DFDEBC 且 DE=1/2BCEBDACF(二) 梯形中位線：1. 定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.2.定理：梯形的中位線平行于兩底，并且

3、等于兩底和的一半。（三）中點四邊形：1）順次連接任意四邊形、平行四邊形各邊中點所得的四邊形是 平行四邊形；2）順次連接矩形、等腰梯形及對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是 菱形；3）順次連接菱形、對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是 矩形；4）順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是 正方形；總結(jié)：中點四邊形取決與原四邊形的對角線；1）當(dāng)原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形。2）當(dāng)原四邊形的對角線互相垂直時，中點四邊形是矩形。3）當(dāng)原四邊形的對角線相等且垂直時，中點四邊形是正方形。ABCD二、中線 1.定義：三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段。 2.表示法：(1)AD 是AB

4、C 的 BC 上的中線. (2)BD=DC = BC 注意：三角形的中線是線段；三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點；中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。3.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)(1)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖1，在RtBAC中，BAC=90，D為BC的中點，則。(2)性質(zhì)的拓展：如圖1：D為BC中點，AD=BD=DC=，1=2，3=4，ADB=23=24，ADC=21=22。因而可得如下幾個結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線將直角三角形分成兩個等腰三角形；分成的兩個等腰三角形的腰相等，兩個頂角互補、底角互余，并且其中一個等腰三角形的頂角等于另

5、一個等腰三角形底角的2倍（3）證明：方法一、構(gòu)造矩形完成證明：如圖，延長CD到點E，使DE=CD，連接AE和BE。由于AD=BD，所以四邊形ACBE是平行四邊形，又因為ACB=90°，所以ACBE是矩形。所以CE=AB，由于，所以。方法二、構(gòu)造三角形的中位線完成證明：延長BC到點E使CE=BC，連接AE。點D是AB的中點，點C是BE的中點，CD是BAE的中位線，.在ACE與ACB中，AC=AC，CE=BC，ACB =ACE=90°，ACEACB（SAS）。AE=AB，?！纠}講解】1.如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的點，AE=BF，AF與BE相交于點M， CE

6、與DF相交于點N.求證：MNBC.分析：從要證明的結(jié)論可以看到MN與BC的關(guān)系很像三角形的中位線與三角形的第三邊之間的關(guān)系。因此，應(yīng)考慮證明點M、N分別是EB和EC的中點。證明：如圖，連接EF，在ABCD中， AD=BC，ADBC，AE=BF，DE=CF四邊形ABFE和四邊形EFCD都是平行四邊形。點M、N分別是EB和EC的中點。MN是EBC的中位線。MNBC.評析：本題借助平行四邊形的性質(zhì)，通過證明三角形的中位線，然后利用中位線定理證明結(jié)論。2. 如圖，四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=BD，M、P、N分別是邊AB、BC、CD的中點，Q是MN的中點，（1）求證：PQMN；（

7、2）判定OEF的形狀.分析：本題出現(xiàn)的線段中點比較多，考慮運用三角形的中位線定理解決問題。證明：（1）如圖，連接PM和PN，M、P分別是邊AB、BC的中點，PM是BAC的中位線。PMAC，。同理，PNBD，.AC=BD，PM=PN .Q是MN的中點，PQMN.（2）OEF是等腰三角形。PMAC，PNBD，OFE =PMN，OEF =PNM。PM=PN，PMN =PNM，OFE =OEF，OEF是等腰三角形。評析：綜合利用三角形的中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)解決問題?！井?dāng)堂練習(xí)】一、選擇題1. 點D、E分別是ABC的邊AB和AC上的點，下列說法不正確的是（ ）A、若點D、E分別是AB和AC的中點

8、，則B、若點D是AB的中點，DEBC，則點E也是AC的中點。C、若點D是AB的中點，則DEBC。D、若DEBC，則點D、E分別是AB和AC的中點。2. 如圖，已知，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，下列說法中不正確的是（ ）A、四邊形EFGH是平行四邊形。 B、若AC=BD，則四邊形EFGH是菱形。C、若ACBD，則四邊形EFGH是矩形。 D、四邊形EFGH的形狀不能確定。3. 如圖，依次取三角形三邊的中點組成三角形，最大三角形的周長是20cm，最小三角形的周長是（ ）A、10cm B、5cm C、3cm D、2cm 4. 如圖，ABC 中，AB=8cm，AC=6cm，點E是BC

9、的中點，若AD平分BAC，CDAD，線段DE的長為（ ）A、1cm B、2 cm C、3 cm D、4cm5. 如圖，點D、E分別是ABC的邊AB和AC的中點，BE和CD相交于點F，則DF：DC等于（ ）A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4第3題 第4題 第5題 6梯形的上底長4cm，下底長6cm，則梯形的中位線長為( ) 7如果等邊三角形的邊長為3，那么連結(jié)各邊中點所成的三角形周長為( )D. 8在四邊形ABCD中，對角線ACBD，那么順次連結(jié)四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形一定是( ) 9M、N、P、Q順次為四邊形ABCD各邊的中點，下面條件使四邊形MNPQ為正方形的條件是(

10、 )D.四邊形ABCD中，ACBD，且ACBD二、填空題1. 如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E、F分別是AB和CD的中點，AD=BC，PEF=18°，則PFE的度數(shù)是。 第1題第2題 第3題2. 如圖，ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，AB=7cm， AC=5cm ，則四邊形AFDE的周長等于。 3. 如圖，矩形ABCD，P、G分別是BC和CD上的點，E、F分別是AP和GP的中點，如果DG=3，AD=4，則EF的長為。 4. 順次連接等腰梯形四邊中點得到的四邊形的形狀是。三、解答題1. 如圖，RtABC中，ACB=90°，點D是AB的中點

11、，E、F分別是AC和BC的中點。求證：CD=EF. 2如圖所示， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE=EB，求證：OEBC 3如圖所示，在ABC中，點D在BC上且CD=CA，CF平分ACB，AE=EB，求證：EF=BD4. 如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC于D,E、F、G分別是AC、AB、BC的中點。 求證：四邊形OEFG是等腰梯形。5、如圖所示，BD、CE是三角形ABC的兩條高，M、N分別是BC、DE的中點 求證：MNDE【課后習(xí)題】一、選擇題1、如果順次連結(jié)四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形，那么原來的四邊形的對角線（ ）A.互相平分 B.互相垂直 2、順次連結(jié)下列各四邊形中點所

12、得的四邊形是矩形的是（ ）. A等腰梯形 B矩形 C平行四邊形 D菱形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 3、已知三角形的3條中位線分別為3cm、4cm、6cm，則這個三角形的周長是（ ）. A3cm B26cm C24cm D65cmBADCEFDO 4、如圖，梯形ABCD中，AD/BC，BD為對角線，中位線EF交BD于O點，若FOEO=3，則BCAD等于（）A4 B6 C8 D10 5如圖，中，、分別為、邊上的點，為邊上的中線，若=5，=3，=4，則的長為（）A. B. C. D. 6.如圖，梯形ABCD中，ADBC，如果中位線EF的長為4cm，且BC3AD, 則梯形下底的長為( ) 7如圖，ABC中，如果AB30cm，BC24cm，AC27cm，AEEFFB，EGDFBC，F(xiàn)MENAC，則圖中陰影部分的三個三角形周長之和為( )第6題圖 第7題圖 二、解答題 1、過矩形ABCD對對角線AC的中點O作EFAC分別交AB、DC于E、F，點G為AE的中點，若AOG30o 求證：3OG=DC2、如圖所示；過矩形ABCD的頂點A作一直線，交BC的延長線于點E，F(xiàn)是AE的中