圓的幾何綜合題27題

1、成都市龍泉驛區(qū)第九中學(xué) 陳禮勇一、歷年圓的幾何綜合題回顧1、 一般分成三個(gè)問題，三個(gè)問題由易到難，由一般到特殊或由特殊到一般層層遞進(jìn)的方式設(shè)置問題；2、 一般三個(gè)問題涉及到圓的切線的證明，線段相等、角相等、線段與角的計(jì)算、圖形面積的計(jì)算、幾何變量之間的函數(shù)關(guān)系探究、線段關(guān)系式的證明、角的關(guān)系式的證明等；3、常見的知識(shí)點(diǎn)有：垂徑定理及其推論、圓心角定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、全等三角形與相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值等；4、 常見的數(shù)學(xué)思想方法有：方程思想、函數(shù)思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等

2、；二、命題規(guī)律：1、圓中的如下定理出現(xiàn)的頻率很高：垂徑定理及其推論，圓心角定理及其推論，圓周角定理及其推論，切線的性質(zhì)及其判定定理；2、常與等腰三角形(兩半徑加弦)，直角三角形（直徑、半圓），相似三角形，全等三角形和銳角三角函數(shù)的概念結(jié)合考查；3、相似三角形基本圖形的分解是關(guān)健，如：正A字形（A1形）、斜A字形（A2形）、正八字形（X1形）、斜八字形（X2形或蝴蝶形）、射影定理圖、共角共邊相似（A3形）圖等出現(xiàn)的頻率很高.4、結(jié)合重要的幾何定理（及其逆定理）的基本圖形命題，如弦切角定理的逆定理，切線長定理的逆定理，相交弦定理，切割線定理，割線定理等（具體見后面的例題）三、常見的幾何模板及輔助線

3、回顧1、三角形：圖中若有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)；角平分線平行線，等腰三角形來添；角平分線加垂線，三線合一試試看；線段垂直平分線，常向兩端把線連；要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)；三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線；三角形中有中線，延長中線等中線.  2、四邊形：平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)；梯形里面作高線，平移一腰試試看；平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見；證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣；等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵；直接證明有困難，等量代換少麻煩；斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片.3、圓：半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站；圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半

4、徑連；切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便；要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨；是直徑，成半圓，想成直角徑連弦；弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全；圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連；弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完；如果遇到相交圓，不要忘作公共弦；內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線；若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面；要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難.四、27題解題程序1、畫：生長性畫圖，邊畫圖邊解決三個(gè)小問；2、標(biāo)：將題中的已知條件標(biāo)在圖中；3、標(biāo)：將未知問題、猜想的結(jié)論標(biāo)在圖中；4、聯(lián)：聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)、聯(lián)想常見的幾何模塊、不同知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，聯(lián)系前面證明的結(jié)論；5、寫：寫出解題過程.五、常見定理及基本圖形分析1、垂直于弦的

5、直徑，徑連弦得射影定理；如2007成都、2010成都、2011成都.2、角平分線加“相似三角形的斜八字形”會(huì)出現(xiàn)“共邊共角相似”：如2009成都、2010成都.3、以切線長定理的基本圖形，關(guān)于切線的性質(zhì)與判定的證明，出現(xiàn)兩公共底邊的兩等腰三角形：如2007成都、2012遼寧朝陽、2012北京.4、直徑與切線（性質(zhì)或判定）相結(jié)合命題：如2007成都、2012成都、2012湖北天門、2012遼寧朝陽、2012北京、2012福建甫田、2012遼寧錦州. （1）圓中常見的二級(jí)圖垂徑定理圖 垂徑定理與射影定理 點(diǎn)C為弧AF中點(diǎn) AB垂 相交弦定理圖直于CD，有AE=CE點(diǎn)C為弧BD中點(diǎn)，有 切割線定理圖

6、 割線定理圖 切線長定理圖BEC (2） 部分中考題圖形選 2007成都 2008成都 2009成都 2010成都 2011成都 2012成都2012湖北天門 2012遼寧朝陽 2012北京中考 2012福建甫田 2012遼寧錦州 六、中考真題分析1、（成都中考2007，10分）如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作O的切線，與的延長線相交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長與相交于點(diǎn)，延長與的延長線相交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：是O的切線；（3）若，且O的半徑長為，求和的長度2、 （成都中考2008，共10分）如圖，已知O的半徑為2，以O(shè)的弦AB為直徑作M，點(diǎn)C是O優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重

7、合）.連結(jié)AC，BC，分別與M相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，連結(jié)DE.若AB=2.(1) 求C的度數(shù)；(2) （2）求DE的長；(3) （3）如果記tanABC=y，=x（0<x<3），那么在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，試用含x的代數(shù)式表示y.3、 （成都中考2009，共10分）如圖，RtABC內(nèi)接于O，AC=BC，BAC的平分線AD與0交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，延長BD，與AC的延長線交于點(diǎn)F，連結(jié)CD，G是CD的中點(diǎn)，連結(jié)0G(1) 判斷0G與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(2)求證：AE=BF；（3） 若，求O的面積.4、（成都中考2010，共10分）已知：如圖，內(nèi)接于O，為直徑，弦于，是的

8、中點(diǎn)，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，分別交，于點(diǎn)，（1）求證：是的外心；（2）若,求的長；（3）求證：5、 （成都中考2011，共10分）已知：如圖，以矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)為圓心，以O(shè)A長為半徑作O，O經(jīng)過B，D兩點(diǎn)過點(diǎn)B作BKAC，垂足為K過點(diǎn)D作DHKB，DH分別與AC，AB，O及CB的延長線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H（1）求證：AE=CK；（2）如果AB=a，AD=為大于零的常數(shù)），求BK的長；（3）若F是EG的中點(diǎn)，且DE=6，求O的半徑.6、（成都中考2012，共10分）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于H，過CD延長線上一點(diǎn)E作O的切線交AB的延長線于F切點(diǎn)為G，連接AG交

9、CD于K （1）求證：KE=GE； （2）若=KD·GE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由； （3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長7、（2013年成都）如圖，的半徑，四邊形內(nèi)接圓，于點(diǎn)，為延長線上的一點(diǎn)，且.（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由：（2）若，求的長；（3）在（2）的條件下，求四邊形的面積.8、（2014年成都）如圖，在的內(nèi)接ABC中，ACB=90°，AC=2BC，過C作AB的垂線交上異于A,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G.（1）求證：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的長；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程

10、中，設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫出的取值范圍）9、（2013年北京)如圖，AB是O的直徑，PA，PC分別與O 相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長線于點(diǎn)D，DEPO交PO的延長線于點(diǎn)E（1）求證：EPD=EDO（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的長10、（2014北京）如圖，AB是O的直徑，C是的中點(diǎn)，O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D，E 是OB的中點(diǎn)，CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F，AF交O于點(diǎn)H，連接BH（1）求證：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的長11、（2014南昌）如圖1，AB是O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，CP

11、（1）求OPC的最大面積；（2）求OCP的最大度數(shù)；（3）如圖2，延長PO交O于點(diǎn)D，連接DB，當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是O的切線12、（2014遼寧盤錦）如圖，ABC中，C=90°，點(diǎn)G是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G不與A、C重合），以AG為直徑的O交AB于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BD，垂足為F，EF交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE.(1)求證：DE是O的切線；(2)若cosA=,AB=，AG=，求BE的長；(3)若cosA=,AB=，直接寫出線段BE的取值范圍.13、（2013瀘州)如圖，D為O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且.（1）求證：；（2）求證：是O的切線；（3）過點(diǎn)B作O的切線交

12、CD的延長線于點(diǎn)E，若BC=12,，求BE的長.14、（2012上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）ODBC，OEAC，垂足分別為D，E（1）當(dāng)BC=1時(shí)，求線段OD的長；（2）在DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長度，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)BD=x，DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域15、（2014德陽）如圖，O中，F(xiàn)G、AC是直徑，AB是弦，F(xiàn)GAB，垂足為點(diǎn)P，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D，交GF的延長線于點(diǎn)E，已知AB=4，O的半徑為（1）分別求出線段AP

13、、CB的長；（2）如果OE=5，求證：DE是O的切線；（3）如果tanE=，求DE的長16、（2014甘孜州）如圖，在ABC中，ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE（1）判斷DE與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：BC2=2CDOE；（3）若cosBAD=，BE=，求OE的長17、（2012湖北天門8分）如圖，為上一點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的延長線上，（1）求證：是的切線；（2）過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，若，求的長18、（2012北京中考）已知：如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作O的切線，交OD的延長線于點(diǎn)E，連

14、結(jié)BE（1）求證：BE與O相切；（2）連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F，若，求BF的長19、(2012遼寧朝陽)如圖已知P為O外一點(diǎn)PA為O的切線，B為O上一點(diǎn)，且PA=PB，C為優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（不與A，B重合），連接OP，AB，AB與OP相交于點(diǎn)D，連接AC，BC（1）求證：PB為O的切線；（2）若，O的半徑為，求弦AB的長20、（2012遼寧錦州）如圖：在ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，過D做直線DE垂直BC于F，且交BA的延長線于點(diǎn)E. （1）求證：直線DE是O的切線； （2）若cosBAC=，O的半徑為6，求線段CD的長. 21、(福建甫田2012，本小題滿分10分)如圖

15、，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上，延長BC到點(diǎn)D，使得CDBC，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，連接CG，OF，F(xiàn)B(1)(5分)求證：CG是O的切線；(2)(5分)若AFB的面積是DCG的面積的2倍，求證：OFBC22、（福建廈門2012，本題滿分9分）已知：如圖8，O是ABC的外接圓，AB為O的直徑，弦CD交AB于E，BCDBAC. （1）求證：ACAD；（2）過點(diǎn)C作直線CF，交AB的延長線于點(diǎn)F，若BCF30°,則結(jié)論“CF一定是O的切線”是否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉反例.ABCEDPO×23、（肇慶2012，本小題滿分10分）如圖

16、7，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)BE，AD交于點(diǎn)P. 求證：（1）D是BC的中點(diǎn)；（2）BEC ADC；（3）AB×CE=2DP×AD24、如圖，已知AB為O的直徑，過O上的點(diǎn)C的切線交AB 的延長線于點(diǎn)E ，ADEC 于點(diǎn)D 且交O于點(diǎn)F ，連接BC ，CF ，AC （1）求證：BC=CF；（2）若AD=6 ，DE=8 ，求BE 的長；（3）求證：AF + 2DF = AB25、（湖北十堰2012）如圖1，O是ABC的外接圓，AB是直徑，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于點(diǎn)E（1）求證：BD是O的切線；（2）若點(diǎn)E為線段OD

17、的中點(diǎn)，證明：以O(shè)，A，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；（3）作CFAB于點(diǎn)F，連接AD交CF于點(diǎn)G（如圖2），求FG ：FC 的值26、（2012年湖北襄陽市）如圖，PB為O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交O于點(diǎn)A，延長AO與O交于點(diǎn)C，連接BC，AF（1）求證：直線PA為O的切線；（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若BC=6，求cosACB的值和線段PE的長27、(2012廣西桂林，10分)如圖，等圓O1和O2相交于A，B兩點(diǎn)，O1經(jīng)過O2的圓心，順次連接A，O1，B，O2(1)求證：四邊形AO1BO2是菱形；(2)過直徑AC的端點(diǎn)C作O1的切線CE交AB的延長線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE2O2D；(3)在(2)的條件下，若AO2D的面積為1，求BO2D的面積28、（內(nèi)蒙古包頭12分）如圖，已知ABC=90°，AB=BC直線l與以BC為直徑的圓O相切于點(diǎn)C點(diǎn)F是圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，直線BF與l相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作AF的垂線交直線BC與點(diǎn)D（1）如果BE=