圓錐曲線中的最值問(wèn)題

1、圓錐曲線中的最值問(wèn)題一、圓錐曲線定義、性質(zhì)1.(文)已知F是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過(guò)其中心的一條弦，則ABF的面積最大值為()A6 B15 C20 D12答案D 解析S|OF|y1y2|OF|2b12.2、若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為()A1B.C2D2解析：設(shè)橢圓1(ab0)，則使三角形面積最大時(shí)，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)，S2cbbc1.a22.a.長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a2，故選D.3、(文)(2011山東省臨沂市質(zhì)檢)設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：(x4)2y21和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值、最大值分別為()

2、A9,12 B8,11 C8,12 D10,12解析：由已知條件可知兩圓的圓心恰是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|PF2|10，(|PM|PN|)min1028，(|PM|PN|)max10212，故選C.點(diǎn)評(píng)：圓外一點(diǎn)P到圓上所有點(diǎn)中距離的最大值為|PC|r，最小值為|PC|r，其中C為圓心，r為半徑，故只要連接橢圓上的點(diǎn)P與兩圓心M、N，直線PM、PN與兩圓各交于兩點(diǎn)處取得最值，最大值為|PM|PN|兩圓半徑和，最小值為|PM|PN|兩圓半徑和4、(2010福州市質(zhì)檢)已知P為拋物線y24x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值

3、是()A5 B8 C.1 D.2答案C 解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2(y4)21的圓心為C(0,4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.5、已知點(diǎn)F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_(kāi)解析如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，將|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即P為圖中的點(diǎn)P0時(shí)成立，故|PF|PA|的最小值為9.故

4、填9.答案96、已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D. 【解析1】直線為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)的距離，故本題化為在拋物線上找一個(gè)點(diǎn)使得到點(diǎn)和直線的距離之和最小，最小值為到直線的距離，即，故選擇A?！窘馕?】如圖，由題意可知【答案】A二、目標(biāo)函數(shù)法1、橢圓1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_解析：設(shè)橢圓上點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為u、v，則uv10，uvm；設(shè)F1PF2，由余弦定理可知cos，即u2v22uvcos64m，顯然，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，m最大答案：(3,0)

5、或(3,0)2、設(shè)F1、F2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； 解析(1)由已知得：F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則y21，且2x2.所以x23y2x231x22，當(dāng)x0，即P(0，1)時(shí)，()min2；當(dāng)x2，即P(2,0)時(shí)，()max1.3(2011長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為()A2 B C1 D0答案A 解析由已知得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)設(shè)P(x，y)(x1)，則(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4

6、x2x5，則f(x)在x1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即取最小值，最小值為2.4(2011安徽模擬)點(diǎn)A、B分別為橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值解析(1)由已知可得點(diǎn)A(6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，則(x6，y)，(x4，y)由已知得消去y得，2x29x180，x或x6由于y0，只能x，于是y，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)(2)直線AP的方程是xy60設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則M到直線

7、AP的距離是，于是|m6|，又6m6，解得：m2橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以當(dāng)x時(shí)d取最小值.5(文)已知點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y24x上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是_答案(0,0) 解析設(shè)P，則，y2y288，當(dāng)且僅當(dāng)y0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)6、 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。（）求r的取值范圍 （）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程（1）有兩

8、個(gè)不相等的正根即。解這個(gè)方程組得.（II）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法2：設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。設(shè)，由及（）得 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。 7、已知直線經(jīng)過(guò)橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。（I）求橢圓的方程；（）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；（解 方法一（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為

9、上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又，由得故，又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值8、已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)； 解 （）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得 解得 從而，該雙曲線的方程為.（）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，所以 ，是圓上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，故 從而當(dāng)在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為直線CD的方程為，

10、因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故由方程組 解得 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 9、如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程和AMN的最大面積 解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 點(diǎn)A到直線l的距離為d= =2(5

11、+m),從而 ,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào) 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 10、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線ykx(k0)與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值解依題設(shè)得橢圓的方程為y21.直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2滿足方程(14k2)x24，故x2x1.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式，得點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為h1，h2，又|AB|，所以四邊形AEBF的面積為S|AB|(h1h2)22，當(dāng)2k1，即k時(shí)，取等號(hào)所以四邊

12、形AEBF面積的最大值為2.三、切線法【例2】求橢圓y21上的點(diǎn)到直線yx2的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)橢圓的切線方程為yxb，代入橢圓方程，得3x24bx2b220.由(4b)243(2b22)0，得b.當(dāng)b時(shí)，直線yx與yx2的距離d1，將b代入方程3x24bx2b220，解得x，此時(shí)y，即橢圓上的點(diǎn)到直線yx2的距離最小，最小值是；當(dāng)b時(shí)，直線yx到直線yx2的距離d2，將b代入方程3x24bx2b220，解得x，此時(shí)y，即橢圓上的點(diǎn)到直線yx2的距離最大，最大值是.圓錐曲線中的最值問(wèn)題一、圓錐曲線定義、性質(zhì)1.(文)已知F是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過(guò)其中心的

13、一條弦，則ABF的面積最大值為()A6 B15 C20 D122、若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為()A1B.C2D23、(文)(2011山東省臨沂市質(zhì)檢)設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：(x4)2y21和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值、最大值分別為()A9,12 B8,11 C8,12 D10,124、(2010福州市質(zhì)檢)已知P為拋物線y24x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()A5 B8 C.1 D.25、已知點(diǎn)F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為

14、(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_(kāi)6、已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D. 二、目標(biāo)函數(shù)法1、橢圓1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_2、設(shè)F1、F2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； 3(2011長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為()A2 B C1 D04(2011安徽模擬)點(diǎn)A、B分別為橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦

15、點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值5(文)已知點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y24x上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是_6、 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。（）求r的取值范圍 （）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。7、已知直線經(jīng)過(guò)橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。（I）求橢圓的方程；（）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；8、已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率（）求該雙曲線的方程；（）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的