函數(shù)的極值與最值題教師

1、例.已知函數(shù)，求的極值。解：由題意得 令，解得，變化時，、的變化情況如下表：0200極大值極小值所以的極大值為，極小值為變式.已知函數(shù)，求的極值。解：由題意得 令，解得，變化時，、的變化情況如下表：000極大值極小值所以的極大值為，極小值為。變式.已知函數(shù)，求的極值。解：由題意得 令，解得，若，當或時，,單調(diào)遞增；當,單調(diào)遞減。所以極大值為，極小值為。若，在單調(diào)遞增，所以既無極大值，也無極小值。若，當或時，,單調(diào)遞增；當,單調(diào)遞減。所以極小值為，極大值為。變式.已知函數(shù)，求在的最值。解：由題意得 令，解得，變化時，、的變化情況如下表：0200極大值0極小值又，在的最小值為，最大值為。變式.已知

2、函數(shù)，若在處取得極大值，求實數(shù)的值。解：在處取得極大值或當時，當或時，單調(diào)遞增；當時，,單調(diào)遞減。所以在處取得極小值，于是不合題意，應舍去。當時，當或時，,單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增。所以在處取得極大值，于是符合題意。綜上，實數(shù)的值是。例.已知函數(shù)(1)若，求的極值；(2)若,求在上的最大值；(3)若在上的最小值為，求的值.(4)若在上恒成立，求的取值范圍.解：(1)當時，則的定義域為,令得,當時,單調(diào)遞減；當時,的極小值為,無極大值。(2) 當時，則的定義域為,，于是，當在上變化時，的變化情況如下表：極小值由上表可得，當時函數(shù)取得最大值.(3) ，若,則即在上恒成立，此時在上是增函數(shù) (舍去)

3、若,則即在上恒成立，此時在上是減函數(shù) (舍去)若,令，得當時，在上為增函數(shù)當時，在上為減函數(shù)綜上，的值是() 又令，則在上是減函數(shù) 即在上也是減函數(shù),當時,在上恒成立.例已知函數(shù)() 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； () 當時，求函數(shù)在上的最值.()當時，求函數(shù)在上的最小值.()若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；解：()函數(shù)的定義域是，當時， 故函數(shù)增函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 當時，令，可得,當時，；當時，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間是. ()當時，令解得當時，；當時，故在時取得極大值，也是最大值，故在時取得最小值，()當,即時,函數(shù)在區(qū)間1,2上是減函數(shù),的最小值是. 當，即時，函數(shù)在區(qū)間1,

4、2上是增函數(shù)，的最小值是.當，即時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)又，當時,最小值是；當時,最小值為.綜上可知,當時, 函數(shù)的最小值是；當時，函數(shù)的最小值是.()由（1）知時，在單調(diào)遞增，當時，；當時，；所以只有一個零點，不合題意。當時，在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，所以當時，當時，；當時，；所以要使函數(shù)有兩個零點。只需即解得所以時，有兩個零點。例已知函數(shù).()若曲線在和處的切線互相平行，求的值；()求的單調(diào)區(qū)間；()設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.解：. （），解得.（）. 當時， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是

5、和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是. 當時， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. （）由已知，在上有由已知，由（）可知，當時，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得，故. 當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，所以， 綜上所述，. 例已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)在上都有三個零點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）因為，所以當時，函數(shù)沒有單調(diào)遞增區(qū)間；當時，令，得故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，令，得故的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由（1）知，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和所以函數(shù)在處取得極小值，函數(shù)在處取得極大值由于對任意，函數(shù)在上都有三個零點，所以即解得因為對任意，恒成立，所以所以實數(shù)的取值范圍是例（2009陜西卷文）已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間； 若在處取得極值，直線與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍。解：（1）當時，對，有當時，的單調(diào)增區(qū)間為當時，由解得或；由解得，當時，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。