初中數(shù)學(xué)輔助線秘籍

1、當(dāng)已知條件中出現(xiàn)一個中點時，你首先想到的輔助線的解題方法是什么？如果已知兩個中點呢？介紹以下方法：1) 倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形；2) 三角形中位線定理；3) 已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構(gòu)造斜邊中線；4) 已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”。例1 在ABC中，AB=5，AC=3，BC邊上的中線AD=2，求BC的長.例2 已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF=EF，求證：AC=BE.變式：如圖，在ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF/AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，若AD為

2、ABC的角平分線，求證：BG=CF.例3 在RtABC中，BAC=90°，點D為BC的中點，點E、F分別為AB、AC上的點，且EDFD. 以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形，還是直角三角形，或者是鈍角三角形？例4 已知在ABC中，BE、CF分別為邊AC、AB上的高，D為BC的中點，DMEF于點M.求證：FM=EM.例5 已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90°. 如圖，連接DE，設(shè)M為DE的中點，連接MB、MC.求證：MB=MC.例6 問題一：如圖（1），在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，

3、連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，求證：BME=CNE.問題二：如圖（2），在四邊形ABCD中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論.問題三：如圖（3），在ABC中，AC>AB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若EFC=60°，連接GD，判斷AGD的形狀并證明.（1）（2）（3）例7 問題一：如圖（1），ABC中，點D是AB的中點，AEBC，BFAC，垂足分別為點E、F，AE、BF交于點M，連接DE

4、、DF. 若DE=kDF，則k的值為_. 問題二：如圖（2），ABC中，CB=CA，點D是AB的中點，點M在ABC的內(nèi)部，且MAC=MBC. 過點M分別作MEBC，MFAC，垂足分別為點E、F，連接DE、DF. 求證：DE=DF. 問題三：如圖（3），若將上面的問題（二）中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈BCA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（1）（2）（3）例8 （2012廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設(shè)ABC=（60°90°）（1）當(dāng)=60°時，求CE的長；（2）當(dāng)60&#

5、176;90°時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由第2章 角平分線模型的構(gòu)造已知，P是MON平分線上一點，角平分線的四大基本模型：（1） 若PAOM于點A，可過點P作PBON于B，則PB=PA;（2） 若點A是射線OM上任意一點，可在ON上截取OB=OA，連接PB，則構(gòu)造了OPBOPA；（3） 若APOP于點P，可延長AP交ON于點B，則構(gòu)造了AOB是等腰三角形,且P是AB中點；（4） 若過點P作PQ/ON交OM于點Q，則構(gòu)造了POQ是等腰三角形。（1）（2）（3）（4）例1 （1）如圖，在ABC中，C=90°，CAB的平分線

6、AD交BC于點D，BC=8，BD=5，那么點D到AB的距離是（）A3B4C5D6例2 已知1=2，3=4，求證：AP平分BAC例3 (1)在ABC中，AD是A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，請比較PB+PC與AB+AC的大小并說明理由 (2)如圖，AD是ABC中BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且ABAC，請比較PB-PC與AB-AC的大小并說明理由例4 已知BAD=CAD，AB>AC，CDAD于點D，H是BC的中點. 求證：.例5 如圖1，BD、CE分別是ABC的外角平分線，過點A作AFBD，AGCE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交于M、N（1

7、）試說明：（2）如圖2，若BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由；（3）如圖3，若BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線，則線段FG與ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是_例6 如圖，在ABC中，AB=3AC，BAC的平分線交BC于點D，過點B作BEAD，垂足為E，求證：AD=DE.例7 在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出BDG的度數(shù)；（3）若ABC=120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)G=CE

8、，分別連接DB、DG（如圖3），求BDG的度數(shù)例8 （1）如圖1，在ABC中，ABC與ACB的角平分線相交于點F，過點F作DE/BC，交AC于點E，若BD+CE=9，則線段DE的長為_;（2） 如圖2，在ABC中，BD、CD分別平分ABC和ACB，DE/AB，F(xiàn)D/AC，如果BC=6，求DEF的周長. 圖1 圖2例9 如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點P，連接AP、CP，若BPC=40°，求CAP的度數(shù).第3章 弦圖的構(gòu)造及應(yīng)用如以下圖是弦圖及其衍生圖：例1 2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股弦方圖，它是由四個全

9、等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為_.例2 如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為_例3 如圖，四邊形ABCD是正方形，直線l1，l2，l3分別通過A，B，C三點，且l1l2l3，若l1與l2的距離為5，l2與l3的距離為7，則正方形ABCD的面積為_.例4 如圖1，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q（1）試

10、探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若連接EF交GA的延長線于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？（3）圖2中的ABC與AEF的面積相等嗎？（不用證明）例5 已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，-4），P為y軸上B點下方一點，PB=m（m0），以AP為邊作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，點M落在第四象限（1）求直線AB的解析式；（2）用m的代數(shù)式表示點M的坐標(biāo)；（3）若直線MB與x軸交于點Q，判斷點Q的坐標(biāo)是否隨m的變化而變化，寫出你的結(jié)論并說明理由例6 已知：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2

11、，BC=3，設(shè)BCD=a，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE、CE（1）當(dāng)a=45°時，求EAD的面積；（2）當(dāng)a=30°時，求EAD的面積；（3）當(dāng)0°a90°時，猜想EAD的面積與大小有何關(guān)系？若有關(guān)，寫出EAD的面積S與a的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論例7 如圖（1）至圖（3），C為定線段AB外一動點，以AC、BC為邊分別向外側(cè)作正方形CADF和正方形CBEG，分別作DD1AB、EE1AB，垂足分別為D1、E1當(dāng)C的位置在直線AB的同側(cè)變化過程中，（1）如圖（1），當(dāng)ACB=90°，AC=4，BC=3時，求D

12、D1+EE1的值；（2）求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，DD1+EE1的值為定值；（3）求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，線段DE的中點M為定點例8 如圖，已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為 (1，0)。求該拋物線的解析式；動點P在x軸上移動，當(dāng)PAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)P。第4章 三角形的中位線三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊中線中位線相關(guān)問題(涉及

13、中點的問題)見到中線(中點)，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理(以后還要學(xué)習(xí)中線長公式)，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見例1 如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點求證：.例2 如圖所示在四邊形ABCD中，CDAB，AB與CD不平行，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點求證：.例3 已知：如圖，E為ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CEDC，連結(jié)AE分別交BC、BD于點F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF求證：AB2OF例4 如圖，已知ABC中，E是AB的中點，CD平分ACB，ADCD與點D，求證：（1）DE/BC； （2）.

14、例5 是的中線，是的中點，的延長線交于求證：例6 如圖所示，在中，延長到，使，為的中點，連接、，求證：例7 已知：ABCD是凸四邊形，且AC<BD E、F分別是AD、BC的中點，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G點 求證：GMN>GNM例8 在中，以為底作等腰直角，是的中點，求證：且例9 如圖，在五邊形中，為的中點求證：例10 已知，如圖四邊形中，、分別是和的中點，、的延長線分別交于、兩點 求證：例11 如右下圖，在中，若，為邊的中點求證：例12 (2009年大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試)已知：在中，動點繞 的頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，且，連結(jié)過、的中點、作直線，直線與直線、分

15、別相交于點、 如圖1，當(dāng)點旋轉(zhuǎn)到的延長線上時，點恰好與點重合，取的中點，連結(jié)、，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論(不需證明) 當(dāng)點旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時，與有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明第5章 圖形變換之軸對稱最短路徑問題，需考慮軸對稱。幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法如下圖所示：問題作圖方法備注（1）在直線l上求點P，使|PA-PB|最大.（2）在直線l上求點P，使|PA-PB|最大.（3）在直線l上求點P，使PA+PB最小.（4）在直線l上求點P，使PA+PB最小.（5）在直線l上求兩點M、N（M在左），使得MN=a,并使AM+MN+NB最小.（6

16、）在射線l1、l2上分別求點M、N，使PMN周長最小.（7）在射線l1、l2上分別求點M、N，使四邊形PMNQ周長最小.（8）在射線l2上求作一點D，在射線l1上求作一點C，使得PD+CD最小.（9） 在直線l上求點P，使PA=PB.（1） 如圖(a)，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處，則AE、AB、BF之間的關(guān)系是 _ (a) (b) （2）如圖(b)，在矩形ABCD中，將矩形ABCD折疊使點D和點B重合，折痕為EF，如果AB=4，AD=8，則EF=_（3）如圖(c)，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，如果AB=8cm，BC=10cm，則

17、CF=_cm，EC=_cm. (c) (d)（4）如圖(d)，在矩形ABCD中，將BCD沿對角線BD折疊，記點C的對應(yīng)點為C'. 如果AB=6cm，AD=8cm，則AE=_cm.例1 如圖，RtABC中，ACB=90°，A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A處，折痕為CD，則ADB=（）A40° B30° C20° D10°例2 如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A，折痕交AD于點E，若M、N分別是AD、BC邊的中點，則AN=_；若M

18、、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點（n2，且n為整數(shù)），則AN=_（用含有n的式子表示）例3 在四邊形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40,ABD+BDC=90°，求四邊形ABCD的面積.例4 （1）如圖(a)，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，P是對角線BD上一個動點，則PE+PC的最小值是_.（2） 如圖(b)，若將（1）中的正方形改成菱形且ABC=60°，其他條件均不變，則PE+PC的最小值是_. (a) (b)例5 （2012廣東）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C處，BC

19、交AD于點G；E、F分別是CD和BD上的點，線段EF交AD于點H，把FDE沿EF折疊，使點D落在D處，點D恰好與點A重合（1）求證：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的長例6 （2012德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這

20、個最小值；若不存在，請說明理由第6章 圖形變換之旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)是中考壓軸題中的常見題型，什么時候需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)？怎么構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形呢？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件：等線段，共頂點。構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的解題方法：遇中點，旋180°，構(gòu)造中心對稱； 遇90°，旋90°，造垂直；遇60°，旋60°，造等邊；遇等腰，旋頂角.例1 如圖，設(shè)P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=5，PB=4，PC=3，求BPC的度數(shù).例2 如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且EAF45° 求證：BEDFEF例3 如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD

21、C=120°. 以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，AC于點N，連接MN. （1）證明：MN=BM+CN; （2）求AMN的周長.例4 如圖，在ABC中，M是BC的中點，E、F分別在AC、AB上，且MEMF，試說明EF<BF+CE.例5 已知：在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD探究下列問題：（1）如圖1，當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3，且ACB=60°，則CD=_；（2）如圖2，當(dāng)點D與點C位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6，且ACB=90°，則CD=_；（3）如圖3，當(dāng)ACB變化，且點D與點C

22、位于直線AB的兩側(cè)時，求CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù)例6 已知MAN，AC平分MAN（1）在圖1中，若MAN=120°，ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；（2）在圖2中，若MAN=120°，ABC+ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）在圖3中：MAN=60°，ABC+ADC=180°，則AB+AD=_AC；若MAN=（0°180°），ABC+ADC=180°，則AB+AD=_AC（用含的三角函數(shù)表示），并給出證明 圖1 圖2 圖

23、3 例7 如圖1，在ABCD中，AEBC于E，E恰為BC的中點，AD=AE（1）如圖2，點P在線段BE上，作EFDP于點F，連接AF求證：DF-EF=AF；（2）請你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點（P不與點E重合）時，作EFDP于點F，連接AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論例8 請閱讀下列材料：已知：如圖1在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若DAE=45度探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABE，連接ED，使問題得到解決請你參考小

24、明的思路探究并解決下列問題：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；（2）當(dāng)動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明例9 請閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC若ABC=BEF=60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及的值提示：延長GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形試探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

25、，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；（3）若圖1中ABC=BEF=2（0°90°），將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）第7章 圖形變換之平移平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離。平移的基本性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連線段平行且相等（或在同一直線上），對應(yīng)線段平行且相等（或在同一直線上）。常見的構(gòu)造平移的方式：構(gòu)造平行線平移線段 構(gòu)造平行四邊形或等邊三角形平移圖形例1

26、如圖，在ABC中，AB>AC，D、E分別為AB、AC上兩點且BD=CE. 求證：DE<BC.例2 （1）如圖（a），在正方形ABCD中，AB、BC、CD三邊上分別有點E、G、F，且EFDG. 求證：EF=DG.（2） 如圖（b），在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的點，且EGFH. 求證：EG=FH. (a) (b)例3 在ABC中，點P為BC的中點. (a) (b) (c)（2） 如圖（a），求證：;（3） 延長AB到D，使得BD=AC，延長AC到點E，使得CE=AB，連接DE.1 如圖（b），連接BE，若BAC=60°，請你探究線段BE

27、與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系。寫出你的結(jié)論，并加以證明。2 請在圖（c）中證明：例4 在RtABC中，C=90°，D、E分別為CB、CA延長線上的點，BE與AD的交點為P.（1） 如圖a，若BD=AC，AE=CD，求APE的度數(shù)；（2） 如圖b，若，求APE的度數(shù). (a) (b)例5 已知：如圖（a），ABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，連接DE、DF、EF. 將BDF向右平移，使點B與點C重合；將ADE向下平移，使點A與點C重合，如圖（b）.例13 設(shè)ADE、BDF、EFC的面積分別為S1、S2、S3，則（用“<、=、>”填空）例14 已