北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑四

1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑（四）11什么是高階導(dǎo)數(shù)？我們知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是而導(dǎo)數(shù)仍是可導(dǎo)的，它的導(dǎo)數(shù)是這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就稱為對(duì)y對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)一般地我們有：函數(shù)yf（x）的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱的導(dǎo)數(shù)為yf（x）的二階導(dǎo)數(shù)記作相應(yīng)地，把yf（x）的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)yf（x）的一階導(dǎo)數(shù)同樣，若二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱其導(dǎo)數(shù)為yf（x）的三階導(dǎo)數(shù)記作一般地，若n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱其導(dǎo)數(shù)為yf（x）的n階導(dǎo)數(shù)記作這里的n稱為導(dǎo)數(shù)的階數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)若yf（x）具有n階導(dǎo)數(shù)，也常說(shuō)成函數(shù)f（x）為n階可導(dǎo)由以上高階導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求n階導(dǎo)數(shù)，需要求

2、出n1階導(dǎo)數(shù)，要求n1階導(dǎo)數(shù)，需要求出n2階導(dǎo)數(shù)，要求二階導(dǎo)數(shù)，需要求出一階導(dǎo)數(shù)，因此要求高階導(dǎo)數(shù)，只需要進(jìn)行一連串通常求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可例1 求n次多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù)思路啟迪首先求出f（x）的一階、二階、三階等階數(shù)較低的n階導(dǎo)數(shù)，從中找出導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)階數(shù)的關(guān)系可見，每經(jīng)一次求導(dǎo)運(yùn)算，多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次繼續(xù)求導(dǎo)下去，易知：是一個(gè)常數(shù)，由此有即n次多項(xiàng)式的一切階數(shù)高于n的導(dǎo)數(shù)都等于零思路啟迪要證明這個(gè)等式成立，而在此等式的左邊含有，只要能正確求y對(duì)x的兩階導(dǎo)數(shù)，將y及代入等式左邊并驗(yàn)證其為零即可規(guī)范證法例4求ysinx的n階導(dǎo)數(shù)思路啟迪求sinx的n階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是找出n階導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的階數(shù)的關(guān)系，為

3、此我們可以先求出較低n階導(dǎo)數(shù)，從中歸納出導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的階數(shù)的關(guān)系即可12怎樣求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？前面所討論的函數(shù)求導(dǎo)方法，函數(shù)都是因變量y已經(jīng)寫成自變量x的明顯表達(dá)式y(tǒng)f（x）的形式，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)但有時(shí)我們所遇到的函數(shù)關(guān)系不是明顯地用顯函數(shù)形式表示的情形如方程2x5y10及它們都表示x、y之間的函數(shù)關(guān)系一般地我們把由方程F（x，y）0表示的因變量y自變量x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x）稱為隱函數(shù)對(duì)于隱函數(shù)，有時(shí)可以根據(jù)確定隱函數(shù)關(guān)系的方程找出顯函數(shù)形式y(tǒng)f（x），從而可利用前面的求導(dǎo)方法把它的導(dǎo)數(shù)找出來(lái)，但有時(shí)要把這個(gè)隱函數(shù)表示成顯函數(shù)的形式是比較復(fù)雜的，有時(shí)甚至是不可能的，這時(shí)要利用前面的方法求導(dǎo)

4、數(shù)就比較困難，甚至不可能，因此，我們有必要尋求隱函數(shù)的求導(dǎo)方法實(shí)際上，對(duì)于隱函數(shù)我們不需要把它表示成顯函數(shù)的形式，就可以把它的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)方法是：將確定隱函數(shù)的方程的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)（注意到y(tǒng)表示x的函數(shù)），求導(dǎo)過(guò)程中，遇到變量y，把y看中間變量，先對(duì)y求導(dǎo)，再乘以y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)（即遇到變量y要利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）這樣，我們可以得到一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解出即可思路啟迪由于y是x的函數(shù)，可將y寫成x的函數(shù)的形式y(tǒng)（x），則可寫成思路啟迪由于方程所確定的是y為x的函數(shù)，可將y寫成x的形式y(tǒng)（x），則該方程可寫成于是由隱函數(shù)的求導(dǎo)法則得規(guī)范解法將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，并利用函數(shù)的求導(dǎo)法則得13什么是

5、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法？它主要適用于哪些類型函數(shù)的求導(dǎo)？對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是將函數(shù)yf（x）兩端取絕對(duì)值（由于求導(dǎo)之后絕對(duì)值同時(shí)去掉，因此常把取絕對(duì)值這一步省略，認(rèn)為f（x）為正值，即lnf（x）有意義）然后再兩端取對(duì)數(shù)（取自然對(duì)數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)形式比較簡(jiǎn)單）這時(shí)我們就把它化成隱函數(shù)，然后再求出它的導(dǎo)數(shù)這種把顯函數(shù)取對(duì)數(shù)化成隱函數(shù)再求導(dǎo)的方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法它常用于由若干因式的積、商或根式組成的函數(shù)和冪指函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn)是：它把積變成和，把商變成差，把冪指變成積易知，和差的求導(dǎo)運(yùn)算要比乘、商的求導(dǎo)運(yùn)算簡(jiǎn)單具體步驟如下：（1）兩端取絕對(duì)值（常略去）之后，再取自然對(duì)數(shù)（2）等式兩端分別對(duì)自變量求導(dǎo)舉例如下思路

6、啟迪在前面我們利用恒等式求出了該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在此我們將利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求它的導(dǎo)數(shù)這里可將等式兩端取對(duì)數(shù)首先把它變成隱函數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法規(guī)范解法兩端取對(duì)數(shù)lnyg（x）lnf（x），兩端對(duì)x求導(dǎo)思路啟迪該函數(shù)是由兩個(gè)函數(shù)的商構(gòu)成，而商的分子和分母都是由三個(gè)函數(shù)的積所構(gòu)成，若直接利用商與積的求導(dǎo)法則就比較麻煩，但若借助于兩端取對(duì)數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法就比較簡(jiǎn)單規(guī)范解法兩端取對(duì)數(shù)lnyln（x1）ln（x2）ln（x3）ln（x4）ln（x5）ln（x6）,兩端對(duì)x求導(dǎo)14怎樣利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性？我們知道，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)f（x）

7、在區(qū)間（a，b）具有單調(diào)性，區(qū)間（a，b）稱為f（x）的單調(diào)區(qū)間那么怎樣利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性呢？設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）可導(dǎo)，則曲線yf（x）處處有切線如圖3-4，曲線上每點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角是銳角，即這時(shí)函數(shù)在（a，b）是增函數(shù)如圖3-5曲線上每點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角為鈍角，即此時(shí)函數(shù)f（x）在（a，b）是減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，如果對(duì)任意的點(diǎn)xI，有則f（x）在I內(nèi)是增函數(shù)，若對(duì)于任意的點(diǎn)xI，有則f（x）在I內(nèi)為減函數(shù)思路啟迪利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性，首先要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)在哪些范圍內(nèi)是正值，哪些范圍內(nèi)是負(fù)值，從而確定出函數(shù)的增減區(qū)間即當(dāng)x（，1

8、）（3，）時(shí)，f（x）是增函數(shù)即當(dāng)x（1，3）時(shí)，f（x）是減函數(shù)（圖3-6）即當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）是增函數(shù)即當(dāng)x（0，）時(shí)f（x）是減函數(shù)（如圖3-7）分析上面的例題，當(dāng)x<1或x>3時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)1<x<3時(shí)，f（x）單調(diào)減少，而當(dāng)x1或x3時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)單調(diào)增加；當(dāng)x>0時(shí)，f（x）單調(diào)減少，而當(dāng)x0時(shí)，這說(shuō)明使點(diǎn)x可能是f（x）單調(diào)增加與單調(diào)減少的分界點(diǎn)因此討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，我們也可以按照以下步驟去作：即求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解出使的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，然后在各個(gè)區(qū)間上判別的符號(hào)，從而可得f（x）在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性

9、后兩步可用一個(gè)表格來(lái)完成列表由上表可知：f（x）在（1）與（1，）上是單調(diào)增加的；在（1，1）上是單調(diào)減少的15怎樣利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的極值？已知函數(shù)在點(diǎn)O附近的任意點(diǎn)x，都有即函數(shù)在點(diǎn)O的值要比它附近的任意點(diǎn)的函數(shù)值都要?。ㄈ鐖D3-8），這時(shí)，我們稱函數(shù)在點(diǎn)O取極小值而函數(shù)在點(diǎn)O附近的任意點(diǎn)x，都有，即函數(shù)在點(diǎn)O的值要比它附近的每一點(diǎn)的函數(shù)值都要大（如圖3-9），這時(shí)，我們就說(shuō)在點(diǎn)O取極大值一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)附近內(nèi)有定義，若對(duì)點(diǎn)附近的每一點(diǎn)x，都有，我們就稱它為f（x）在點(diǎn)取極大值，是f（x）在點(diǎn)處的極大值，記作稱為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)如果對(duì)點(diǎn)附近的所有點(diǎn)x，都有，我們就稱函數(shù)f（

10、x）在點(diǎn)取極小值，是f（x）在點(diǎn)處的極小值，記作稱為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，在點(diǎn)O的值是0，即在點(diǎn)O的左側(cè)，即當(dāng)x<0時(shí)，有導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)O的右側(cè)，即當(dāng)x>0時(shí)，導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)O取極小值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是在點(diǎn)O的左側(cè)，即當(dāng)x<0時(shí)，有導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)O的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，有導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)O取極大值一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的附近可導(dǎo)時(shí)，我們判別函數(shù)f（x）在點(diǎn)處取極大（小）值的方法是：（1）若在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)則是極小值（2）若在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)則是極大值從上面的討論，我們可以看到，若f（x）在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)取極值，則有，即可導(dǎo)的極

11、值點(diǎn)滿足但是滿足的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如，在O點(diǎn)處的值，但O不是f（x）的極值點(diǎn)一般地，我們求函數(shù)極值的步驟是：（）判別函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)在每個(gè)根兩側(cè)的符號(hào)，并根據(jù)的符號(hào)確定f（x）在是否取極值思路啟迪求出并令得其根等，用將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上用的符號(hào)列出y的增減性所以，當(dāng)x1時(shí)，有極小值；當(dāng)x1時(shí)，有極大值列表16怎樣利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值？對(duì)于實(shí)際問題該怎樣解決？在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中，常常遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸納為求某函數(shù)的最大值或最小值

12、問題如圖311，在閉區(qū)間a，b上，對(duì)于a，b，都有f（x）f（b），f（b）就稱為f（x）在a，b上的最小值；對(duì)于a，b，有就稱為f（x）在a，b上的最大值一般地，設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，若存在點(diǎn)，使對(duì)每一點(diǎn)xa，b都有，則稱f（x）在I上有最大值，記為M，即；若存在點(diǎn)，使對(duì)每一點(diǎn)xa，b都有，則稱函數(shù)f（x）在I上有最小值，記為m即一般地，若yf（x）在a，b上連續(xù)，則f（x）在a，b上必有最大值與最小值但函數(shù)yf（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，則不一定有最大值與最小值如在（0，）內(nèi)連續(xù)，但f（x）在（0，）內(nèi)沒有最大值與最小值從圖311可以看出，若函數(shù)的最小值在區(qū)間a，b的內(nèi)部間取得，

13、則必在極小值點(diǎn)取得；若函數(shù)的最大值在區(qū)間a，b的內(nèi)部取得，則必在極大值點(diǎn)取得最大值與最小值也可能在端點(diǎn)取得，而在極值的討論中，我們可以看出，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，極值點(diǎn)可能在使的點(diǎn)x處取得因此，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，它的最大值與最小值若在區(qū)間的內(nèi)部取得，只可能在使得的點(diǎn)取得根據(jù)以上分析，若f（x）在a，b上連續(xù)且可導(dǎo)，則求f（x）在a，b上的最大值與最小值的步驟為：（2）將f（a）,f（b），進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值思路啟迪因?yàn)樗o函數(shù)在3，4上可導(dǎo)，所以，只需把的點(diǎn)與端點(diǎn)的值比較而可得出比較可得，函數(shù)f（x）在x4取得它在3，4上的最大值f（4）142；在x1取得它在3，4上的最小值f（1）7對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題而言，如果在（a，b）內(nèi)部的根只有一個(gè)，而從實(shí)際含義分析知在（a，b）內(nèi)一定有最大值或最小值存在那么一般來(lái)說(shuō)，就是所要求的最大值或最小值例