圓錐曲線的起源

1、起源編輯2000多年前，古希臘數(shù)學家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行圓錐的高的平面截取,可得到雙曲線的一邊;以圓錐頂點做對稱圓錐,那么可得到雙曲線1 。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線，把雙曲線叫做“超曲線，把拋物線叫做“齊曲線。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數(shù)學中關于圓錐曲線的全部性質和結果。定義編輯幾何觀點用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線coni

2、c sections。通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：1) 當平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結果為拋物線。2) 當平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結果退化為一條直線。3) 當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。4) 當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，并與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。5) 當平面只與圓錐面一側相交，且過圓錐頂點，并與圓錐面的對稱軸垂直，結果為一點。6) 當平面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線的一支另一支為此圓錐面的對頂圓錐面與平面的交線。7) 當平面與圓錐面兩側都相交

3、，且過圓錐頂點，結果為兩條相交直線。代數(shù)觀點在笛卡爾平面上，二元二次方程 的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。焦點-準線觀點嚴格來講，這種觀點下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質。給定一點P，一直線L以及一非負實常數(shù)e，那么到P的距離與L距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。根據(jù)e的范圍不同，曲線也各不相同。具體如下：1) e=0，軌跡為圓；2) e=1即到P與到L距離相同，軌跡為拋物線2 ；3) 0<e<1，軌跡為橢圓；4) e>

4、;1，軌跡為雙曲線。3概念編輯以下以純幾何方式表達主要的圓錐曲線通用的概念和性質，由于大局部性質是在焦點準線觀點下定義的，對于更一般的退化情形，有些概念可能不適用?？紤]焦點-準線觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數(shù)即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學中又稱為正焦弦。圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。類似圓，與圓錐曲線交于兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦；過焦點

5、的弦稱為焦點弦。對于同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點準線的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有一個焦點和一條準線。圓錐曲線關于過焦點與準線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對于橢圓和雙曲線，還關于焦點連線的垂直平分線對稱。Pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等于該點到相應準線的距離乘以離心率。Pascal定理：圓錐曲線的內接六邊形，假設對邊兩兩不平行，那么該六邊形對邊延長線的交點共線。對于退化的情形也適用Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。4定理編輯由比利時數(shù)學家G.F.Dan

6、delin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義的等價性。即有一以Q為頂點的圓錐蛋筒，有一平面'你也可以說是餅干與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點，拋物線只有一個或者另一個在無窮遠處，那么切點為焦點。又球與圓錐之交為圓，設以此圓所在平面與'之交為直線d曲線為圓時d為無窮遠線，那么d為準線。圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點為焦點，d為準線。證：假設P為曲線上一點，聯(lián)線PQ交圓O于E。設平面與的交角為，圓錐的母線如PQ與平面的交角為。設P到平面 的垂足為H，H到直線d的

7、垂足為R，那么PR為P到d的垂線三垂線定理，而PRH=。因為PE、PF同為圓球之切線，得PE=PF。如此那么有：PR·sin=PE·sin=PF·sin=PH其中：PF/PR=sin/sin為常數(shù)。5歷史編輯對于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說紛紜。有人說，古希臘數(shù)學家在求解“立方倍積問題時，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設x、y為a和2a的比例中項，即 ，那么，從而求得。又有人說，古希臘數(shù)學家在研究平面與圓錐面相截時發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積問題中一致的結果。還有認為，古代天文學家在制作日晷時發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當太陽光照在日晷上，桿影

8、的移動可以計時。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的創(chuàng)造在古代就已失傳。早期對圓錐曲線進行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數(shù)學家阿波羅尼Apollonius，前262前190。他與歐幾里得是同時代人，其巨著?圓錐曲線?與歐幾里得的?幾何原本?同被譽為古代希臘幾何的登峰造極之作。在?圓錐曲線?中，阿波羅尼總結了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此根底上，又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致后代學者幾乎沒有插足的余地達千余年。我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、

9、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個點，如圖1所示。在此，我們僅介紹阿波羅尼關于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點A，那么過A且沿圓周移動的一條直線生成一個雙錐面。這個圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸未畫出，軸未必垂直于底。設錐的一個截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P，PP未必是圓錐曲線的軸，PPM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ。現(xiàn)作AFPM，交BM于F，再在截面上作PL

10、PM。如圖3，PLPP對于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，那么滿足，對于橢圓、雙曲線有QV=PV·VR，對于拋物線有QV=PV·PL，這是可以證明的兩個結論。在這兩個結論中，把QV稱為圓錐曲線的一個縱坐標線，那么其結論說明，縱坐標線的平方等于PL上作一個矩形的面積。對于橢圓來講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線、“超曲線和“齊曲線。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個結論，也很容易用現(xiàn)代數(shù)學符號來表示：趨向無窮

11、大時，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的?圓錐曲線?問世后的13個世紀里，整個數(shù)學界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展。11世紀，阿拉伯數(shù)學家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀起，圓錐曲線經阿拉伯傳入歐洲，但當時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一是德國天文學家開普勒Kepler,15711630繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行的事實；二是意大利物理學家伽利略Galileo,15641642得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動

12、的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，1579年蒙蒂Guidobaldo del Monte,15451607橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質的研究推進并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀初，在當時關于一個數(shù)學對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都

13、可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只須考慮焦點的各種移動方式。譬如，橢圓有兩個焦點F1、F2，如圖4，假設左焦點F1固定，考慮F2的移動，當F2向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)1與F2重合時即為圓；當F2向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無窮遠處時即為拋物線；當F2從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當F2繼續(xù)向右移動，F(xiàn)2又與F1重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個符合邏輯的直觀根底。隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國的三位數(shù)學家笛沙格Desar

14、gue15911661、帕斯卡Pascal，16231662和拉伊爾Phailippe de La Hire，16401718得出了一些關于圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。而當法國另外兩位數(shù)學家笛卡兒和費馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向開展，即通過建立坐標系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而到達抽象化的目標，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。到18世紀，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標系之外又建立極坐標系，并能把這兩種坐標系相互轉換。在這種情況

15、下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標準形式，或者引進曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了?分析引論?，這是解析幾何開展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經典之作。在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程出發(fā)，圓錐曲線的各種情形，經過適當?shù)淖鴺俗儞Q，總可以化以下標準形式之一：繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地開展起來，由圓錐曲線導出了許多重要的曲面，諸如圓柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等?？偠灾瑘A錐曲線無論在數(shù)學以及其他科學技術領域，還是在我們的實際生活中都占有重要的地位，人們對它的研究也不斷深化，其研究成果又廣泛地得到應用。這正好反映了人們認識

16、事物的目的和規(guī)律。6性質編輯橢圓文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個小于1的正常數(shù)e。平面內一個動點到兩個定點焦點的距離和等于定長2a的點的集合設動點為P，兩個定點為F1和F2，那么PF1+PF2=2a。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率。標準方程：1、中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標準方程：其中，。2、中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標準方程：其中，。參數(shù)方程：；為參數(shù)，02)雙曲線文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)e;平面內一個動點到兩個定點焦點的距離差等于定長2a的點的集合設動點為P，兩個定點

17、為F1和F2，那么PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。標準方程：1、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標準方程：其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標準方程：其中a>0，b>0，c²=a²+b².參數(shù)方程：x=asec；y=btan 為參數(shù) )拋物線文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是等于1。定點是拋物線的焦點，定直線是拋物線的準線。參數(shù)方程x=2pt² y=2pt (

18、t為參數(shù) t=1/tantan為曲線上點與坐標原點確定直線的斜率特別地，t可等于0直角坐標y=ax²+bx+c 開口方向為y軸，a0 x=ay²+by+c 開口方向為x軸，a0 )離心率橢圓，雙曲線，拋物線這些圓錐曲線有統(tǒng)一的定義：平面上，到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。且當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。這里的參數(shù)e就是圓錐曲線的離心率，它不僅可以描述圓錐曲線的類型，也可以描述圓錐曲線的具體形狀，簡言之，離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個圓錐曲線，只要確定了離心率，形狀就確定了。特別的，因為

19、拋物線的離心率都等于1，所以所有的拋物線都是相似圖形。極坐標方程1、在圓錐中，圓錐曲線極坐標方程可表示為：其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率；2、在平面坐標系中，圓錐曲線極坐標方程可表示為：其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。3 焦半徑圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點為F1、F2，其上任意一點為P(x,y，那么焦半徑為：橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+exP在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey

20、|PF2|=a+ey拋物線|PF|=x+p/2切線方程圓錐曲線上一點P ， 的切線方程：以 代替 ，以 代替 ；以 代替 ，以 代替即得橢圓： ；雙曲線： ；拋物線：焦準距圓錐曲線的焦點到準線的距離p，叫圓錐曲線的焦準距，或焦參數(shù)。橢圓：雙曲線：拋物線：p焦點三角形橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形。設F、F分別為橢圓或雙曲線的兩個焦點，P為橢圓或雙曲線上的一點且PFF能構成三角形。假設FPF=，那么橢圓焦點三角形的面積為 ；雙曲線焦點三角形的面積為通徑圓錐曲線中，過

21、焦點并垂直于軸的弦稱為通徑。橢圓的通徑：雙曲線的通徑：拋物線的通徑：2p比照圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標準方程x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)y²=2px (p>0)范圍x-a,ay-b,bx(-，-aa,+)yRx0,+)yR對稱性關于x軸，y軸，原點對稱關于x軸，y軸，原點對稱關于x軸對稱頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(c,0),(-c,0)【其中c

22、8;=a²-b²】(c,0),(-c,0)【其中c²=a²+b²】(p/2,0)準線x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2漸近線y=±(b/a)x4 離心率e=c/a,e0,1)e=c/a,e1,+e=1焦半徑PF=a+exPF=a-exPF=ex+aPF=ex-aPF=x+p/2焦準距p=b²/cp=b²/cp通徑2b²/a2b²/a2p參數(shù)方程x=a·cosy=b·sin，為參數(shù)x=a·secy=b·

23、tan，為參數(shù)x=2pt²y=2pt,t為參數(shù)過圓錐曲線上一點(x0,y0的切線方程x0·x/a²+y0·y/b²=1x0x/a²-y0·y/b²=1y0·y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx±(a²·k²+b²)y=kx±(a²·k²-b²)y=kx+p/2k中點弦問題圓錐曲線內一點為圓錐曲線的一弦中點，求該弦的方程：1、聯(lián)立方程法。用點斜式設出該弦的方程斜率不存在的情況需要另外考慮，與圓錐曲線方

24、程聯(lián)立求得關于x的一元二次方程和關于y的一元二次方程，由韋達定理得到兩根之和的表達式，在由中點坐標公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。2、點差法代點相減法設出弦的兩端點坐標x，y和x，y)，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運用平方差公式得(x+x)(x-x)/a²+(y+y)(y-y)/b²=0由斜率為y-y)/(x-x，可以得到斜率的取值使用時注意判別式的問題統(tǒng)一方程平面直角坐標系內的任意圓錐曲線可用如下方程表示：其中，0,2)，p>0，e0。e=1時，表示以F(g,h)為焦點，p為焦點到準線距離的拋物線。其中 與極軸夾角A為拋物線頂點。0

25、<e<1時，表示以F1(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的橢圓。其中 與極軸夾角。e>1時，表示以F2(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的雙曲線。其中 與極軸夾角。e=0時，表示點F(g,h)。五點法求平面內圓錐曲線可以采用該統(tǒng)一方程。代入五組有序實數(shù)對，求出對應參數(shù)。注：此方程不適用于圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。附：當e0時，F(xiàn)(g,h)對應準線方程：7判別法編輯設圓錐曲線的方程為Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0|A B D|= |B C E| , =|A B| , S=A+C

26、, 稱為二次曲線不變量(=b²-4ac)|D E F| |B C|>0=0有一實點的相交虛直線>00S<0橢圓>00S>0虛橢圓<0=0相交直線<00雙曲線=00拋物線=0=0D²+E²-AF-CF>0平行直線=0=0D²+E²-AF-CF=0重合直線=0=0D²+E²-AF-CF<0平行虛直線8CGY-EH定理編輯CGY-EH定理又稱圓錐曲線硬解定理5 是一套求解橢圓雙曲線與直線相交時、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦長的簡便算法

27、.定理內容假設曲線 與直線A+By+C=0相交于E、F兩點,那么:其中  為一與同號的值， 。定理說明應用該定理于橢圓 時,應將 代入。應用于雙曲線 時,應將 代入,同時 不應為零,即不為零。求解y1+y2與 y1*y2只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知與'的值不會因此而改變。定理補充聯(lián)立曲線方程與y=kx+ 是現(xiàn)行高考中比聯(lián)立Ax+By+C=0“更為普遍的現(xiàn)象。其中聯(lián)立后的二次方程是標準答案中必不可少的一項，x1+x2，x1x2都可以直接通過該方程與韋達定理求得，唯獨弦長的表達式需要大量

28、計算。這里給出一個CGY-EH的斜率式簡化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。假設曲線 與直線y=kx+ 相交于E、F兩點,那么:這里的 既可以是常數(shù)，也可以是關于k的代數(shù)式。由這個公式我們可以推出：假設曲線 為橢圓 ,那么假設曲線 為雙曲線 ,那么由于在高考中CGY-EH定理不可以直接應用，所以學生如此解答才可得全步驟分省略號的內容需要考生自己填寫：聯(lián)立兩方程得二次式子*所以x1+x2=，x1x2=；所以|x1-x2|=x1+x22-4x1x2=此時代入、式得到一個大式子，但不必化簡化簡得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化簡)下面就可求弦長 了。定理簡證設曲線x2/m+y2/n=1與直線 A+By+C=0相交于E、F兩點，聯(lián)立式可得最終的二次方程：(A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0應用韋達定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n)x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n)=4mnB2 (-C2)對于等價的一元二次方程的數(shù)值不唯一,且 的意義僅在于其與零的關系,故由4B2>0恒成立,那么可取與同號的'=mn(-C2)作為的值。3 由|EF|=(x_1-x_2)2+(y_1-y