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1、§1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的; 則它必定存在反函數(shù):y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D當(dāng)x1x2時,若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加( );若f(x1
2、)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( ); 若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( );若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性:D(f)關(guān)于原點對稱 偶函數(shù):f(-x)=f(x) 奇函數(shù):f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性: 周期函數(shù):f(x+T)=f(x), x(-,+) 周期:T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性: |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù): y=c , (c為常數(shù))2.冪函數(shù): y=xn , (n為實數(shù))3.指數(shù)函數(shù): y=ax , (a0、a1)4.對數(shù)函數(shù): y=loga x ,(a0
3、、a1)5.三角函數(shù): y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù):y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù): y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù):由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算(加、減、乘、除)和復(fù)合所構(gòu)成的,并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)。二、 例題分析例1. 求下列函數(shù)的定義域:解:對于有: 0 解得: ±1對于有: 0 2的定義域: 解:由得:,解得: 由 得: 0 , 2的定義域:
4、f(x)的定義域為(-1,1)則f(x+1) 的定義域為 A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.0,2 解:-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定義域為: x(-2,0)應(yīng)選A.例3.下列f(x)與g(x)是相同函數(shù)的為A. , B. , C. ,D. , 解:A. ,B. , 應(yīng)選BC. ,D. ,例4.求,的反函數(shù)及其定義域。解:,在(-3,+)內(nèi),函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù):例5.設(shè)則其反函數(shù)。解: 在內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的 又取 即: (應(yīng)填)例6.設(shè)函數(shù)和是定義在同一區(qū)間上的兩個偶函數(shù),則為函數(shù)。解:設(shè) =是偶函數(shù) (應(yīng)填“偶”)例7. 判斷的奇偶性。解: 為奇函
5、數(shù) 例8.設(shè),則的周期為。解法一: 設(shè)的周期為T, = 而 , 解法二: (應(yīng)填)例9. 指出函數(shù)那是由些簡 單函數(shù)復(fù)合而成的?解:令 , 則 , 則 , 則 是由:,復(fù)合而成的。例10. 已知,則等于 A. , B. , C. , D. 解: 或 (應(yīng)選A)例11. 已知求的表達(dá)式。解:解得 §1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限:當(dāng)時,的極限:當(dāng)時,的極限: 左極限: 右極限:函數(shù)極限存的充要條件:定理:無窮大量和無窮小量1 無窮大量: 稱在該變化過程中為無窮大量。X再某個變
6、化過程是指:2 無窮小量: 稱在該變化過程中為無窮小量。3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系:定理:4 無窮小量的比較:若,則稱是比較高階的無窮小量;若 (c為常數(shù)),則稱與同階的無窮小量;若,則稱與是等價的無窮小量,記作:;若,則稱是比較低階的無窮小量。定理:若:則:兩面夾定理1 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則: 設(shè): (n=1、2、3) 且: 則: 2 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則: 設(shè):對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點 (點x0除外)有: 且: 則:極限的運算規(guī)則 若: 則: 推論:兩個重要極限 1 或 2二、 例題分析例1 求數(shù)列的極限。解:例2計算 解:誤解:=0例3 下列極限存在的是A. B. C. D.
7、 解:A.B. 不存在C. 應(yīng)選CD. 不存在例4.當(dāng)時,與是等價無窮小量, 則。解: (應(yīng)填2)例5.計算 (n=1,2,3,)解: (n=2,3,) 又: 由兩面夾定理可得:例6.計算下列極限解:解:解法一: 共軛法解法二: 變量替換法 設(shè): 當(dāng)時,解法一:共軛法解法二:變量替換法 設(shè): 當(dāng)時,解法一:解法二:解:設(shè): 當(dāng)時,結(jié)論:解法一: 又 解法二:解法三:應(yīng)用羅必塔法則解法一:解法二: 設(shè)當(dāng)時,解法三:例7.當(dāng)時,若與為等價無窮小量,則必有。解: (應(yīng)填)結(jié)論:例8.若,則。解: (應(yīng)填)例9.已知,求的值。解:由當(dāng)時,原式成立。例10.證明:當(dāng)時,與是等價無窮小量。證:只要證明 成
8、立,即可。 設(shè): 當(dāng)時,結(jié)論:§1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在處連續(xù):在的鄰域內(nèi)有定義, 1o 2o左連續(xù):右連續(xù):2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件: 定理:在處連續(xù)在處極限存在3. 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件: 定理:4. 函數(shù)在上連續(xù):在上每一點都連續(xù)。 在端點和連續(xù)是指: 左端點右連續(xù); 右端點左連續(xù)。 a+ 0 b- x5. 函數(shù)的間斷點:若在處不連續(xù),則為的間斷點。間斷點有三種情況: 1o在處無定義; 2o不存在;3o在處有定義,且存在, 但。 兩類間斷點的判斷: 1o第一類間斷點:特點:和都存在??扇ラg斷點:存在,但,或在處無定義。 2o第二類間斷點:特點:
9、和至少有一個為, 或振蕩不存在。無窮間斷點:和至少有一個為函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算: 設(shè), 1o 2o 3o2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性: 則:3. 反函數(shù)的連續(xù)性:函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理:在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M0 a b x2. 有界定理:在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理:在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點,使得:, 其中: y y M f(x) C f(x)0 ab x m0 a12b x 推論:在上連續(xù),且與異號在內(nèi)至少存在一點,使得:。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性: 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)
10、都是連續(xù)的。三、 例題分析例1. 分段函數(shù),在處是否連續(xù)?解: 由函數(shù)連續(xù)的充要條件定理可知:在 處連續(xù)。例2設(shè)函數(shù),試確定常數(shù)k的值,使在定義域內(nèi)連續(xù)。解:的定義域為: 當(dāng)時,是初等函數(shù),在有定義不論k為何值,在內(nèi)都是連續(xù)的。 當(dāng)時,是初等函數(shù),在有定義不論k為何值,在內(nèi)都是連續(xù)的。 當(dāng)時,(無窮小量乘以有界函數(shù)還等于無窮小量)只有當(dāng)時,在處連續(xù),只有當(dāng)時,在定義域內(nèi)連續(xù)。例3證明方程至少有一個根在1與2之間。證:設(shè),在 上連續(xù)滿足介值定理推論的條件。由定理可得:在內(nèi)至少存在一點,使得; 即:在1與2之間至少有一個根。例4 討論函數(shù)的間斷點。解:的定義域為:在處無定義;是函數(shù)的間斷點。若補充
11、定義:,則函數(shù)在連續(xù);函數(shù)的可去間斷點。例5.討論函數(shù)的間斷點。解:的定義域為: 當(dāng)時,函數(shù)無定義,是函數(shù)的間斷點; 若補充定義:,則函數(shù)在處連續(xù);是可去間斷點。是無窮間斷點。 第二章 一元函數(shù)微分學(xué)§2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念 1導(dǎo)數(shù):在的某個鄰域內(nèi)有定義, 2左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù): 定理:在的左(或右)鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo),且極限存在; 則: (或:)3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件: 定理:在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件: 定理:存在, 且存在。5.導(dǎo)函數(shù): 在內(nèi)處處可導(dǎo)。 y 6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì):是曲線上點處切線的斜率。 o x0 x求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式: 2
12、.導(dǎo)數(shù)的四則運算: 1o 2o 3o 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,或 注意與的區(qū)別:表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo);表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù): 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念 1.微分:在的某個鄰域內(nèi)有定義, 其中:與無關(guān),是比較高 階的無窮小量,即: 則稱在處可微,記作: 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價關(guān)系: 定理:在處可微在處可導(dǎo),且: 3.微分形式不變性: 不論u是自變量,還是中間變量,函數(shù)的微分都具有相同的形式。二、 例題分析例1.設(shè)存在,且, 則等于A.1, B.0, C.2, D. . 解: (應(yīng)選D)例2設(shè)其中在處連續(xù);求。解:誤解:結(jié)果雖然相同,但步驟是錯的。因為已
13、知條件并沒說可導(dǎo),所以不一定存在。例3設(shè)在處可導(dǎo),且,求:解:設(shè) 當(dāng)時,例4設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù),且, 則等于:A. , B. , C. , D. . 解:(應(yīng)選A)(結(jié)論:可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù); 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。)例5設(shè)在處是否可導(dǎo)?解法一:在處連續(xù)在處可導(dǎo)。解法二:在處連續(xù)當(dāng)時,在處可導(dǎo)。例6設(shè) 求a,b的值,使處處可導(dǎo)。解:的定義域: 當(dāng)時, 是初等函數(shù),在內(nèi)有定義,不論a和b為何值,在內(nèi)連續(xù); 當(dāng)時,是初等函數(shù),在內(nèi)有定義,不論a和b為何值,在內(nèi)連續(xù); 只有當(dāng)時,在處連續(xù);當(dāng)時,處處連續(xù); 當(dāng)時, 只有當(dāng)時,在處可導(dǎo);當(dāng),處處可導(dǎo)。例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:解:解: ( 為常數(shù)
14、)解法一:解法二:解法一:解法二:設(shè)解法一:解法二:設(shè)解:(對數(shù)法)解法一:(對數(shù)法)解法二:(指數(shù)法)解法一:(對數(shù)法)設(shè)解法二:(指數(shù)法)解法一:解法二:設(shè)例8已知,求。解:設(shè)例9求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解:解法一:解法二:例10設(shè),求:。解:結(jié)論:對于,若,則例11設(shè),求。解:例12求下列函數(shù)的微分解法一:解法二:解法一:解法一:§2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅爾定理:滿足條件:y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理:滿足條件:羅必塔法則:( 型未定式)定理:和滿足條件:1o;2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo),且;3o 則:注意:1o法則的意義:把
15、函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件,不能使用法則。 即不是型或型時,不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時,要分別對分子、分母 求導(dǎo),而不是對整個分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件, 可以繼續(xù)使用法則,即: 5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變 形,化成或型;若是型可 采用對數(shù)或指數(shù)變形,化成或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程:設(shè):切線方程:法線方程:2 曲線的單調(diào)性: 3.函數(shù)的極值:極值的定義:設(shè)在內(nèi)有定義,是內(nèi)的一點;若對于的某個鄰域內(nèi)的任意點,都有:則稱是的一個極大值(或極小值),稱為的極大值點(或極小值點)。極值存在的必要條件:定理:稱為的駐點極值存在的充分條件: 定理
16、一:當(dāng)漸增通過時,由(+)變(-);則為極大值; 當(dāng)漸增通過時,由(-)變(+);則為極小值。定理二: 若,則為極大值; 若,則為極小值。注意:駐點不一定是極值點,極值點也不一定是駐點。 4曲線的凹向及拐點:若;則在內(nèi)是上凹的(或凹的),();若;則在內(nèi)是下凹的(或凸的),(); 5。曲線的漸近線:水平漸近線:鉛直漸近線:二、例題分析例1 函數(shù)在-1,0上是否滿足羅爾定理的條件?若滿足,求出的值。解:是初等函數(shù),在-1,0上有定義;在-1,0上連續(xù)。在(-1,0)內(nèi)有定義;在(-1,0)內(nèi)可導(dǎo)。 又 滿足羅爾定理的條件。由定理可得: 解得:不在(-1,0)內(nèi),舍去;例2。證明:當(dāng)時,不等式成立
17、。證法一:(采用中值定理證明)設(shè):是初等函數(shù) ,在0,x上有定義,在0,x上連續(xù)。 在(0,x)內(nèi)有定義在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)。滿足拉格朗日定理的條件,由定理可得:; 證畢。證法二:(采用函數(shù)的單調(diào)性證明)設(shè):即:;證畢。例3證明:證:設(shè):;證畢。例4證明:當(dāng)時,。解:設(shè):,; 證畢。例5求下列極限:解:解:解:令:當(dāng)時,;解法一:解法二:解:解:解法一: (對數(shù)法)設(shè):解法二:(指數(shù)法)解法一:設(shè):解法二:解法三:設(shè): 解:例6解:設(shè):例7解:例8設(shè):,求a、b的值。解:() 代入()式,得:當(dāng)時,原式成立。例9求曲線在點(1,2)處的切線方程和法線方程。解:切線方程: 即: 法線方程: 即:
18、例10曲線的切線在何處與直線平行?解:的切線與平行所要求的點為:例11求曲線上任意點處的切線與坐標(biāo)軸組成的三角形的面積。解:求切線方程: 切線方程為: (1) 求A、B的坐標(biāo):A: 代入(1)式,得: B: 代入(1)式,得:求三角形的面積:例12求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間 和極值。解:的定義域: 令,解得: 當(dāng)時,無定義,是間斷點 列表如下:(-,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+) + 0 - - 0 + 極大值 極小值 當(dāng)時, 為極大值; 當(dāng)時,為極大值。單調(diào)減少區(qū)間為:(-1,0),(0,1)單調(diào)增加區(qū)間為:(-,-1),(1,+)例13作函數(shù)的圖形解:的定義域:令:,解得
19、:無一階導(dǎo)數(shù)不存在的點。令:,解得:是水平漸近線列表如下:x ( -,1) 1 (1,2) 2 ( 2,+) + 0 - - - - 0 + 極大值拐點 例14求下列曲線的漸近線解:的定義域:是水平漸近線。 解:的定義域:是水平漸近線。是鉛直漸近線。例15設(shè),求在上的最大值和最小值。解: 令:,解得: 舍去。 為極小值;為最大值,為最小值.結(jié)論:若連續(xù)函數(shù)在內(nèi)只有一個極?。ɑ虼螅┲担鵁o極大(或?。┲?, 則此極小(或大)值就是在內(nèi)的最?。ɑ虼螅┲怠@?6欲圍一個面積為150m2的矩形場地。正面所用材料造價為6元/m,其余三面所用材料的造價為3元/m,求場地的長、寬各為多少米時,所用材料費最少?
20、解:設(shè):場地的正面長為x米,則:場地的側(cè)面長為米所用材料費為y元 令:,解得:(舍負(fù))為極小值點函數(shù)y在(0,+)內(nèi)連續(xù),并只有一個極小值,而無極大值,函數(shù)y在處取得最小值。當(dāng)場地的正面長為10米,側(cè)面長為15米時,所用材料費最少。 第三章 一元函數(shù)積分學(xué)§3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì):1原函數(shù):設(shè): 若: 則稱是的一個原函數(shù), 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分: 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體, 稱為函數(shù)的不定積分;記作: 其中:稱為被積函數(shù);稱為被積表達(dá)式;稱為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì): 或: 或:分項積分法(k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式:
21、換元積分法:第一換元法:(又稱“湊微元”法) 常用的湊微元函數(shù)有: 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法:第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù), 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換: 1o (當(dāng)被積函數(shù)中有時) 2o(當(dāng)被積函數(shù)中有時) 3o(當(dāng)被積函數(shù)中有時) 4o(當(dāng)被積函數(shù)中有時)分部積分法: 1. 分部積分公式: 2.分部積分法主要針對的類型: 其中: (多項式) 3.選u規(guī)律:在三角函數(shù)乘多項式中,令, 其余記作dv;簡稱“三多選多”。在指數(shù)函數(shù)乘多項式中,令, 其余記作dv;簡稱“指多選多”。在多項式乘對數(shù)函數(shù)中,令, 其余記作dv;簡稱“多對選對”。在多項
22、式乘反三角函數(shù)中,選反三角函數(shù) 為u,其余記作dv;簡稱“多反選反”。在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中,可任選一函數(shù) 為u,其余記作dv;簡稱“指三任選”。簡單有理函數(shù)積分: 1. 有理函數(shù): 其中是多項式。 2. 簡單有理函數(shù):二、例題分析:例1 解: 上式兩邊同時對x求積分:A和B選項是錯的。 (應(yīng)選C) 而D選項是錯的。例2若,則等于 解:由原函數(shù)和不定積分的定義可得: (應(yīng)選B)例3.設(shè)是的一個原函數(shù), 則等于 解法一:由已知條件得: (應(yīng)選B)解法二:由已知條件得:例4.若,且;則。解:注意:稱為初始條件。由此可以確 定不定積分中的任意常數(shù)C。例5. 。解法一:解法二:解發(fā)三例6已知:在點的切
23、線斜率為,且過(1,1)點,則此曲線方程是A., B. , C. , D. , 解:在點的切線斜率為過點(1,1)曲線方程為: (應(yīng)選D)例7用換元法計算下列不定積分1.解:2.解:3.解:4解:5解:6解:令7. 解:令8解:令t x9解:令 1 x例8用分部積分法計算不定積分1(三多選多)解:令 則2解:3解:4解法一:設(shè)循環(huán)積分公式:若:則:解法二:解法三:5.解法一:解法二:1.解:2.解 :3.解: y§3.2定積分 f(x)一 主要內(nèi)容(一).重要概念與性質(zhì)1. 定積分的定義: O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x定積分含四步:分割、近似、求和、取極限
24、。定積分的幾何意義:是介于x軸,曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號, yx 軸下方的面積取負(fù)號。 + + a 0 - b x2. 定積分存在定理: 若:f(x)滿足下列條件之一:若積分存在,則積分值與以下因素?zé)o關(guān):3. 牛頓萊布尼茲公式:*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理,其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理:5. 定積分的性質(zhì): y y y f(x) g(x) 1 f(x)0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m0 a b x 0 ab x(二)定積分的計算:1. 換元積分2. 分部積分3. 廣義積分4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式(三)定積分的應(yīng)用1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x). 求出曲線的交點,畫出草圖; . 確定積分變量,由交點確定積分上
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