小波的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)及常見(jiàn)的小波基介紹

1、小波的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)及常見(jiàn)的小波基介紹本篇是這段時(shí)間學(xué)習(xí)小波變換的一個(gè)收尾，了解一下常見(jiàn)的小波函數(shù)，混個(gè) 臉熟，知道一下常見(jiàn)的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，有個(gè)印象即可，這里就當(dāng)是先作一個(gè)備忘錄，以后若有需要再深入研究。一、小波基選擇標(biāo)準(zhǔn)小波變換不同于傅里葉變換，根據(jù)小波母函數(shù)的不同，小波變換的結(jié)果也不盡 相同。現(xiàn)實(shí)中到底選擇使用哪一種小波的標(biāo)準(zhǔn)一般有以下幾點(diǎn)：1、支撐長(zhǎng)度小波函數(shù) 屮、屮(3 )、尺度函數(shù) $ 和$ ( 3 )的支撐區(qū)間，是當(dāng)時(shí)間 或頻率趨向于無(wú)窮大時(shí)，屮 、屮(3 )、$ 和$ ( 3 )從一個(gè)有限值收斂到 0的長(zhǎng)度。 支撐長(zhǎng)度越長(zhǎng)，一般需要耗費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間，且產(chǎn)生更多高幅值的小波系數(shù)。大部分應(yīng)用

2、 選擇支撐長(zhǎng)度為59之間的小波，因?yàn)橹伍L(zhǎng)度太長(zhǎng)會(huì)產(chǎn)生邊界問(wèn)題，支撐長(zhǎng)度太短消失矩太低，不利于信號(hào)能量的集中。這里常常見(jiàn)到“緊支撐”的概念，通俗來(lái)講，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0,那么這個(gè)函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)，而這個(gè)0附近的取值范圍就叫做緊支撐集?？偨Y(jié)為一句話就是“除在一個(gè)很小的區(qū)域外，函數(shù)為零，即函數(shù)有速降性”。2、對(duì)稱性具有對(duì)稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因?yàn)樵撔〔?對(duì)應(yīng)的濾波器具有線性相位的特點(diǎn)。3、消失矩在實(shí)際中，對(duì)基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對(duì)還要施加所謂的消失 矩(Vani shi

3、 ng Mome nts)條件，使盡量多的小波系數(shù)為零或者產(chǎn)生盡量少的非零小波系數(shù)， 這樣有利于數(shù)據(jù)壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數(shù)為零。但在一般情況下， 消失矩越高，支撐長(zhǎng)度也越長(zhǎng)。所以在支撐長(zhǎng)度和消失矩上，我們必須要折衷處理。小波的消失矩的定義為，若r評(píng)屮df二0其中，屮為基本小波，0<=p<2則稱小波函數(shù)具有 N階消失矩。從上式還可以得出，同 任意n-1階多項(xiàng)式正交。在頻域內(nèi)表示就是 W( 3)在3 =0處有高階零點(diǎn)(一階零點(diǎn)就是容 許條件)。4、正則性在量化或者舍入小波系數(shù)時(shí)，為了減小重構(gòu)誤差對(duì)人眼的影響，我們必須盡 量增大小波的光滑性或者連續(xù)可微性。因?yàn)槿搜?/p>

4、對(duì)“不規(guī)則”(irregular) 誤差比“平滑”誤差更加敏感。換句話說(shuō)，我們需要強(qiáng)加“正則性” (regularity) 條件。也就是說(shuō)正則性好 的小波，能在信號(hào)或圖像的重構(gòu)中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺(jué)影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長(zhǎng)度就長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間也就越大。 因此正則性和支撐長(zhǎng)度上， 我們也要有所權(quán)衡。消失矩和正則性之間有很大關(guān)系，對(duì)很多重要的小波(比如，樣條小波， Daubechies小波等)來(lái)說(shuō)，隨著消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，并不能說(shuō)隨著 小波消失矩的增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。5、相似性選擇和信號(hào)波形相似的小波，這對(duì)于壓縮和消噪是有參

5、考價(jià)值的。二、常見(jiàn)的小波基以下列出的15種小波基是 Matlab中支持的15種。小波函數(shù)HaarDaubechiesBiorthogo nalCoiflet sSymletsMorletMexica nHatMeyer小波縮寫名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表示形式haardb NbiorNr.Ndcoif Nsym Nmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr正交性有有無(wú)有有無(wú)無(wú)有雙正交性有有有有有無(wú)無(wú)有緊支撐性有有有有有無(wú)無(wú)無(wú)連續(xù)小波變換可以可以可以可以可以可以可以可以離散小波變換可以可以可以可以可以不可以

6、不可以可以但無(wú)FWT支撐長(zhǎng)度12N-1重構(gòu):2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長(zhǎng)度有限長(zhǎng)度有限長(zhǎng)度濾波器長(zhǎng)度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4, 4-5, 5-8, 8對(duì)稱性對(duì)稱近似對(duì)稱不對(duì)稱近似對(duì)稱近似對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)1NNr-12NN-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-2N-1-"""小波函數(shù)GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspSha n小波縮寫名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspsha n表示形式gaus NdmeyrbioNr.Ndcgau Ncmorfbspsha n舉例g

7、aus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbspsha n緊支撐正交性無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)緊支撐雙正交性無(wú)無(wú)有無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)連續(xù)小波變換可以不可以可以不可以不可以不可以不可以離散小波變換不可以可以可以不可以不可以不可以不可以對(duì)稱性對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)-尺度函數(shù)-Nr-1- -消失矩階數(shù)1、Haar小波Haar, 一般音譯為“哈爾”。Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù),簡(jiǎn)單的一個(gè)小波函數(shù)，它是支撐域在t 0,1范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波。Haar小波在時(shí)域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。在Matlab中輸入命令waveinfo('h

8、aar')可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactlysupportedwavelet, the oldest and the simplestwavelet.scali ng function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise.wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1o n 0.5 1 and 0 otherwise.也是最FamilyShort n ameHaarhaarExamplesOrthogo nalBiorthogo nalCompact supporthaar is

9、 the same as db1yesyesyesDWTpossibleCWTpossibleSupport widthFilters len gthRegularityhaar is not con ti nu ousyesSymmetryNumber of vani shi ng mome nts for psi2、Daubechies(dbN)小波(緊支集正交小波)Daubechies，一般音譯為"多貝西”。Daubechies小波是由世界著明的小波分析學(xué)者In grid Daubechies( 一般音譯dbN小波為英格麗多貝西)構(gòu)造的小波函數(shù)，我們一般簡(jiǎn)寫成dbN, N是小波

10、的階數(shù)。小波函數(shù)¥ (t) 和尺度函數(shù)$ (t)中的支撐區(qū)為2N-1，屮(t)的消失矩為No dbN小波具有較好的正則性，即 該小波作為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察覺(jué)，使得信號(hào)重構(gòu)過(guò)程比較光滑。的特點(diǎn)是隨著階次(序列 N)的增大消失矩階數(shù)越大，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化能力就越強(qiáng)，頻帶的劃分效果越好，但是會(huì)使時(shí)域緊支撐性減弱，同時(shí)計(jì)算量大大增加，實(shí)時(shí)性變差。另外，除 N=1外，dbN小波不具有對(duì)稱性(即非線性相位)，即在對(duì)信 號(hào)進(jìn)行分析和重構(gòu)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的相位失真。dbN沒(méi)有明確的表達(dá)式(除了 N=1外，N=1時(shí)即為Haar小波)。在Matlab中輸入命令wave

11、in fo('db') 可得到如下信息: Gen eral characteristics: Compactlysupported wavelets with extremal phase and highest nu mber of vanishing mome nts for a give n support width. Associated scali ng filtersareminimu m-phase filters.FamilyShort n ameOrder NExamplesOrthogo nalBiorthogo nalCompact supportDWT

12、CWTSupport widthFilters len gthRegularitySymmetryNumber of vani shi ngmome nts for psidbDaubechiesN strictly positive in teger db1 or haar, db4, db15yesyesyespossiblepossible2N-12Nabout 0.2 N for large Nfar from3、Symlet(symN)小波(近似對(duì)稱的緊支集正交小波)Symlet小波函數(shù)是IngridDaubechies提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì)db函數(shù)的一種改進(jìn)。Symlet

13、小波系通常表示為symN (N=2,3,8)。symN小波的支撐范圍為2N-1，消失矩為N,同時(shí)也具備較好的正則性。該小波與dbN小波相比，在連續(xù)性、支集長(zhǎng)度、濾波器長(zhǎng)度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對(duì)稱性，即一定程度上能夠減少對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和重構(gòu)時(shí)的相位失真。在Matlab中輸入命令waveinfo('sym')可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactlysupported wavelets withleast asymmetry and highest nu mber ofva nishing mome ntsfo

14、r a give n support width.Associated scali ng filters are n earl in ear-phase filters.FamilySymletsShort n amesymOrder NN = 2, 3,.Examplessym2, sym8Orthogo nalyesBiorthogo nalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleFilters len gthRegularitySymmetry2Nn ear from4、Coiflet(coifN)小波Number of vani shi n

15、g mome nts for psi根據(jù)R.Coifman的要求，Daubechies構(gòu)造了 Coiflet 小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)這一系列。Coiflet的小波函數(shù) Y(t)的2N階矩為零，尺度函數(shù)$ (t)的2N-1階矩為零。Y (t)和$ (t)的支撐長(zhǎng)度為6N-1。Coiflet 的屮(t)和$ (t)具有比dbN 更好的對(duì)稱性。在Matlab中輸入命令waveinfo('coif)可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactlysupportedwavelets with highest nu mber of

16、vanishingmome nts for both phi and psi for a give nsupport width.FamilyCoifletsShort n amecoifOrder NN = 1,2, ., 5Orthogo nalyesBiorthogo nalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width6N-1Filters length6NRegularitySymmetryn ear fromNumber of vani shi ngmome nts for psi2NNumber of vani s

17、hi ngmome nts for phi2N-15、Biorthogonal(biorNr.Nd) 小波為了解決對(duì)稱性和精確信號(hào)重構(gòu)的不相容性，弓i入了雙正交小波，稱為對(duì)偶 的兩個(gè)小波分別用于信號(hào)的分解和重構(gòu)。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由于它有線性相位特性，所以主要應(yīng)用在信號(hào)與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函婁進(jìn)行重構(gòu)。雙正交小波與正交小波的區(qū)別在于正交小波滿足j,k , Y l,m >= S j,k S l,m，也就是對(duì)小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的基函數(shù)完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為<Yj,k , Y l,m >= S

18、 j,k，也就是對(duì)不同尺度伸縮下的小波函數(shù)之間有正交性，而同尺度之間通過(guò)平移得到的小波函數(shù)系之間沒(méi)有正交性，所以用于分解與重構(gòu)的小波不是同一個(gè)函數(shù)，相應(yīng)的濾波器也不能由同一個(gè)小波生成。該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時(shí)也是緊支 撐的，其重構(gòu)支撐范圍為2Nr+1，分解支撐范圍為2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表現(xiàn)在具有線性相位特性。一般來(lái)說(shuō)為了獲得線性相位，需要降低對(duì)于正交性的局限，為此該雙正交小波降低了對(duì)于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。在Matlab中輸入命令waveinfo('bior')

19、可得到如下信息：Gen eral characteristics: Compactly supportedbiorthog onal spli ne wavelets for whichsymmetry and exact recon struct ion are possiblewithFIR filters (in orthogo nal case it isimpossible except for Haar).FamilyBiorthogo nalShort namebiorOrderNr,NdNr = 1 , Nd = 1,3,r forrec on structio nNr = 2

20、 , Nd = 2, 4, 6,8d fordecompositi onNr = 3 , Nd = 1,3, 5,7, 95Nr = 4 , Nd = 4Nr = 5 , Nd = 5Nr = 6 , Nd = 8Examplesbior3.1,bior5.5Orthogo nalBiorthogo nalCompact supportDWTCWTSupport widthFilters len gthbiorNr.Ndlrlen gtheffective len gthLo_Dbior1.12bior1.3noyesyespossiblepossible2Nr+1 forrec., 2Nd+

21、1 for dec.max(2Nr,2Nd)+2 but esse ntially ldeffectiveofof Hi_Dbior1.510bior2.21317bior2.43bior2.63bior2.8bior3.1bior3.34bior3.54bior3.74bior3.94bior4.47bior5.511bior6.81112162017Regularity forpsirec.SymmetryNumberof vanishing mome nts for psi dec.NrNr-1 and Nr-2 at theknotsyesRemark: bior 4.4,5.5 an

22、d 6.8 are such that recon structio n anddecomposition functions and filters are close in value.6、ReverseBior 小波由Biorthogonal 而來(lái)，因此兩者形式很類似。在Matlab中輸入命令waveinfo('bior')可得到如下信息:FamilyShort nameOrderNd,Nrr forrec on structio n d fordecompositi onExamplesOrthogo nalBiorthogo nalCompact supportrbi

23、o3.1,rbio5.5noyesyesGen eral characteristics: Compactly supportedbiorthog onal spli ne wavelets for which symmetry and exact recon struct ion are possiblewithFIR filters (in orthogo nal case it isimpossible except for Haar).Biorthogo nal rbioNd = 1 , Nr = 1,3, 5Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8Nd = 3 , Nr = 1

24、,3, 5,7, 9Nd = 4 , Nr = 4Nd = 5 , Nr = 5Nd = 6 , Nr = 8DWTpossibleCWTpossiblelen gthHi_DSupport widthFilters len gthrbioNd.Nrldeffective len gthrbio1.12rbio1.32rbio1.52rbio2.23rbio2.43rbio2.63rbio2.82Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec. max(2Nd,2Nr)+2 but esse ntially lreffectiveofof Lo_D2610591317rbio3.384

25、rbio3.5124rbio3.7164rbio3.9204rbio4.497rbio6.81711Regularity forpsirec.Nd-1 and Nd-2 at thek notsSymmetryyesNumberof vanishingmome nts for psi dec.NdRemark: rbio 4.4,5.5 and 6.8 are such that recon struct ion and decompositi on functions and filters are close in value.7、Meyer 小波Meyer小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻

26、率域中進(jìn)行定義的，它不是緊支 撐的，但它的收斂速度很快。在Matlab中輸入命令waveinfo('meyr')可得到如下信息：Gen eral characteristics: Infini tely regular orthogo nal wavelet.MeyerFamilyyesOrthogo nalCompact supportDWTFWTCWTnoFIR based approximati on providespossibleSupport widthEffective supportRegularitySymmetry8 Dmeyer小波infinite-8 8

27、in defi nitely derivableyesDmeyer即離散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速離 散小波變換的計(jì)算。在Matlab中輸入命令waveinfo('dmey')可得到如下信息：Defin iti on: FIR based approximati on of theMeyer Wavelet.FamilyShort n ameDMeyerdmeyyesOrthogo nalyesBiorthogo nalCompact supportyesDWTCWT9、Gaussian 小波possiblepossibleGaussian小

28、波是高斯密度函數(shù)的微分形式，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒(méi)有尺度函數(shù)。在Matlab中輸入命令waveinfo('gaus')可得到如下信息：Definition: derivatives of the Gaussianprobability den sity fun cti on.gaus(x ,n) = Cn * diff(exp(-xA2), n) wherediff deno tes the symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gaus(x ,n) = 1.FamilyShort n a

29、meGaussia ngausWavelet n amegaus"n"Orthogo nalnoCompact supportDWTnonoCWTpossibleSupport widthEffective supportSymmetryinfinite-5 5yesn even => Symmetryn odd => An ti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波Mexican Hat函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。因數(shù)它的形狀像墨西哥帽的截面，所以我們稱這個(gè)函數(shù)為墨西哥草帽函數(shù)。它在時(shí)域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數(shù)，所以此

30、小波函數(shù)不具有正交性。在Matlab中輸入命令waveinfo('mexh')可得到如下信息：Definition: second derivative of theGaussianprobability den sity fun cti on mexh(x) = c * exp(-xA2/2) * (1-xA2)where c = 2/(sqrt(3)*piA1/4)FamilyMexica n hatOrthogo nalnoBiorthogo nalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossibleSupport widthinfin iteEffec

31、tive support-5 511、SymmetryyesMorlet小波是非正交分解。Morlet小波是高斯包絡(luò)下的單頻率正弦函數(shù)，沒(méi)有尺度函數(shù),在Matlab中輸入命令waveinfo('morl')可得到如下信息：Defin iti on:morl(x) = exp(-xA2/2) * cos(5x)FamilyMorletnoOrthogo nalBiorthogo nalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossibleSupport widthinfiniteEffective support-4 4Symmetryyes12、ComplexG

32、aussian 小波屬于一類復(fù)小波，沒(méi)有尺度函數(shù)。在Matlab中輸入命令waveinfo('cgau')可得到如下信息：Definition: derivatives of the complexGaussianfun ctio ncgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-xA2), n) where diff deno testhe symbolic derivative and where Cn is aeon sta ntFamilyComplex Gaussia ncgauShort n ameOrthogo nalBiorthogo na

33、lCompact supportDWTnonononopossibleComplex CWTSupport widthinfin iteSymmetryyesn even => Symmetryn odd => An ti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets : shan在Matlab中輸入命令waveinfo('shan')可得到如下信息：Defin iti on: a complex Shannon wavelet issha n(x) =FbA0.5*s in c(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)depe ndin

34、g on two parameters:Fb is a ban dwidth parameterFc is a wavelet cen ter freque ncyThe con diti on Fc > Fb/2 is sufficie nt toe nsure thatzero is not in the freque ncy support in terval.FamilyShort n ameComplex Shannon sha nsha n"Fb"-"Fc"Wavelet n ameOrthogo nalBiorthogo nalCompact supportDWTcomplex CWTnonononopossibleinfiniteSupport width14、ComplexFrequency B-Spl