微積分復(fù)習(xí)資料_微積分公式運(yùn)算法則

1、微積分綜合復(fù)習(xí)資料、填空題1、11 n x,設(shè) f(x)二 1x，x 0,，則f (x)的定義域x 02、曲線y =x2ex在點(diǎn)(0, 1 )處的切線方程是3、設(shè)產(chǎn)量為Q時(shí)的成本為C =Q210,則產(chǎn)量Q=2時(shí)的平均成本邊際成本為x +1一1 蘭x 蘭14、 設(shè) f (x)，則 f(1)= f(0) = f (2 x-1,1vx 蘭3,5、 曲線y=xlnx在點(diǎn)(1，0)處的法線方程是：.6 f(x)dx =x3 C,則 f (x)dx 二1 7、設(shè) f(X) x 1，貝U f (x)的定義域 , f (x 1) =X 1&曲線y二一的水平漸近線為，鉛直漸近線為。1 +x9、設(shè)需求函數(shù)為 Q

2、=50-5P, P =2時(shí)的邊際收益為 10、 設(shè) f (x)丄_2，x -二，貝V f (x)的定義域, f (x2 二)二1 +x11、 曲線y =x4 1在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是 。12、設(shè)需求函數(shù)P =10 -Q,則銷售量Q =2時(shí)的邊際收益為 2二、選擇題1、下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()(a)f(x)=x2 sinx,x 0,1(b) f (x) = x2,x (-匕，：)(c) f (x) = xcosx, x (T,1)(d) f (x)二tan(1 x2), x (-：，：)2、下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是()旳 100$(a廣丄(b)n壬nn經(jīng)n0 /(c)(4)nn zi HoO

3、(d)、n 3、下列算式中不正確的是()(a)(xsinx) =sin x xcosx(b)(e2x): =e2x2d1(c)d(x二)=2xdx(d) ln(1 x)=dx1 + x4、下列函數(shù)中函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)是()2 2(a) f (x) = xsin x,x -1,1(b) f (x) = x , x (-：, ：)(c) f (x)二 xcosx, x (-1,1)2(d) f(x) =log4(1 +x ), x亡 Y,+)15、若 (4x k)dx =0，貝U k=()0(a) -1(b) 1 (c) 0 (d) 26下列算式中不正確的是()2(a)(x In x)=2xln

4、x x(b)(sin2x)：=2cos2x2d2 2x(c)d (x二)=xdx(d) ln(1 x )2dx1 +x7、下列函數(shù)對(duì)中是偶函數(shù)的是()(a) f (x) = Vx3(c) f (x)二 x sin xf(x) H42“、x + x(b) f (x)廠 cosx1 +x(d) f(x) = x x2x ： 1”,在X=1點(diǎn)連續(xù)，貝U k=(x 1(a) 4(b)3(c)2(d)19、下列極限中能用羅必達(dá)法則計(jì)算得出結(jié)果的是(b)limx -1x1 sin(x -1)(d)(c) lim d(b) f(x)dx = f(x)dx sinx xtx +sin x10、下列函數(shù)中既是偶

5、函數(shù)又是有界函數(shù)的是()2 2(a) f(x) =x ,x 0,1(b) f (x) = x ,x (：，：)(c) f (x)二 xcosx, x (T,1)1(d) f(x),x C)3x-k x 乞1 ”11、 f(x)二,在x=1 處連續(xù)，則 k=()lx+kx1(a) 0(b)1(c)2(d)312、 下列算式中不正確的是()(d) costdt = cosx dx*d22(c) (sin x ) dx = sin x C dx三、判斷題1、已知 f(x -1) = x1 21,則 f (x) = X 2x 2 ()2、如果極限lim f (x)存在，則函數(shù)f (x)在點(diǎn)a連續(xù)()3

6、、 已知邊際收益函數(shù)為R(p)=2p，則總收益函數(shù)為R( p) = p2 ()4、函數(shù)f (x) =sin(2x 1)是周期函數(shù)，也是有界函數(shù)()5、如果函數(shù)f (x)在點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)存在，則f (x)在點(diǎn)a連續(xù)。反過(guò)來(lái)也成立()16廣義積分一2dx是收斂的，無(wú)窮級(jí)數(shù)一2也是收斂的()+ x心 1 + n7、設(shè)L(Q) = R(Q)-C(Q)是某種產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)，則保本產(chǎn)量是使得利潤(rùn)為零的產(chǎn)量水平( )8 設(shè) f (x)二 x3，則對(duì)任意的實(shí)數(shù) a， f (a h)f (a) = 3a2 o(h)()9、 如果在區(qū)間(a,b)上函數(shù)(t)，貝U函數(shù)f(t)在(a,b)上是下凸函數(shù)，但是導(dǎo)函數(shù)f的單

7、 調(diào)性不能確定()10、 曲線y既有水平漸近線，也有垂直漸近線()1 -x11、設(shè)f (x) =(x2 -a2)g(x)，并且g(x)在點(diǎn)a的連續(xù)，則f (x)在點(diǎn)a可導(dǎo)()112、設(shè) f (ex) =1 e2x, f(0) =1,則 f(x)=x e2x ()2四、計(jì)算下列各題1、y = x2 -cos(x2 x) In 二,求 矽,dy。dx22、把函數(shù)f(x) =x2e展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)。e2、計(jì)算 xln xdx。14、y = 2x3 x23x,求3d ydx325、函數(shù) z .1 ex y x2 y2，求- , |.x2i7、 y = xln(1 x2) 亠,求y ,dy。1 +xx8

8、、求函數(shù)x2cos2x的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式。x9、設(shè) g(x) =x2 - tet,求g(x)的極值。010、y =xsin x ex cos ,求 dy, dy。3 dx111、求幕級(jí)數(shù)7 -2 (x 1)n的收斂區(qū)間。n呂n2212、設(shè) g(x) =e2x - g(x)dx,求 g(x)dx.00五、解下列各題1、 已知曲線y = f(x)上任意一點(diǎn)的切線的斜率為ex+2008x2007，且曲線過(guò)點(diǎn)(0，1)，求這 條曲線的方程。12、求由曲線y =右，直線x=1和x軸所圍成的在x_1的范圍內(nèi)的平面圖形的面積和該平面圖x形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。3、 知曲線y = f(x)上任意一點(diǎn)

9、的切線的斜率為4x3+s inx，且曲線過(guò)點(diǎn)(0，1)，求這條曲線 的方程。4、 求由直線y =x2,y二x,所圍成的平面有界圖形D的面積和D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的 體積。5、 已知某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總利潤(rùn) L (單位：元)與每天產(chǎn)量 Q (單位：t)的函數(shù)關(guān)系為L(zhǎng) =250Q -5Q2,求每天生產(chǎn)多少才能使利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？在最大利潤(rùn)生產(chǎn)規(guī)模生 產(chǎn)量基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一個(gè)單位，利潤(rùn)改變多少？6 求由直線y =0和曲線y二sinx,0,2二所圍成的平面圖形的面積及該圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。參考答案:、填空題1、設(shè)1 In x,f (x)二 1I x，x 0,，則 f (

10、x)的定義域(-：,0) 一(0, ：),x 02、曲線y = x2 ex在點(diǎn)(0,1 )處的切線方程是y = x 1 .3、設(shè)產(chǎn)量為Q時(shí)的成本為C二Q210,則產(chǎn)量Q=2時(shí)的平均成本dCC = 7邊際成本為=4dQ4、設(shè) f(X)=P 十1X-1,X，1,，則 f(1)=2 f(0) =1 f (2) =11 :： x _ 3,5、曲線y二xln x在點(diǎn)(1，0)處的法線方程是：y = 1 - x .326 f (x)dx = x C,則 f (x)dx = 3x C1 1 7、設(shè) f (x)x 1，則 f(x)的定義域-1,1)_. (1,二)，f(x 1)2 x .x-1 x&曲線y =

11、 L的水平漸近線為y = 1，鉛直漸近線為X - -1。1 +x dR9、設(shè)需求函數(shù)為 Q =50-5P, P =2時(shí)的邊際收益為20dP10、設(shè)譏=，則 f (x)的定義域二，：),f (x212 21 (x :)11、曲線y =x4 1在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是y=4x-2。12、設(shè)需求函數(shù)P =10 -Q,則銷售量Q =2時(shí)的邊際收益為 坐=8.2 二、選擇題1、c 2、a 3、b4、a 5、b 6、c7、b8、 b 9、b 10、d 11、b12、d三、判斷題1 V； 2、x； 3V； 4 V； 5、x； 6V； 7V； 8V； 9、x； 10V； 11V； 12、x0四、計(jì)算下列各

12、題22dy1、 y =x -cos(x x) ln 二,求 ,dy。dx解：y 二(x2 -cos(x2 x) ln 二)=2x (2x 1)sin( x2 x)；2dy =2 x (2 x 1)sin( x x)dx22、把函數(shù)f(x) =x2e*展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)。2解：f (x) =x2e 公oOn =0(-x2)n)Wn=on!n 2n-x ,X (：，：)e3、計(jì)算 xln xdx1解:2xx In xdx = In xd ()1 1 22x . In x2e e2x e 1dx =11 2444、y =2x3 x2 3x,求瞑。dx解:5、y =(2x3 x23x) = 6x2 2x

13、 3|l|川2y =(6x2 2x 3) =12x 2|l 川)4y =12|l 川)51把函數(shù)f (x) 一展開(kāi)成(x -1)的幕級(jí)數(shù)。2 x解:f(九一1 乞x 1 ：1,= 0ZX ：2川1|5八(x-i)nMH5n=06、函數(shù)z=1 ex y x2y2，求送，二.dy cy解、-2 2x2y|川3-y-2:Z -ex y -2xHl5-2y7、y =xln(1 x2) x -1二,求 dy ,dy。dx解:2x2化1山川51 x22x2”dy =(ln(1 x ) 2 1)dx|l|l()61 +xy = n(1 x2)8、求函數(shù)x2 cos2x的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:2(_1)2n(_1

14、)2n 2x cos2x=x Z x =X x5nd (2 n)!n衛(wèi)(2n)!-：:x ： ： II川 6x9、設(shè) g(x) = x?pdl 求g(x)的極值。0解：g(x)二 x(2 一 ex) = 0,得0, X2 = In 23x (-口0), g (x) ： 0, g(x)是遞減 函數(shù)， x (0,ln 2), g (x) 0, g( x)是 遞 增 函 數(shù)x (In 2, ：), g (x)0, g(x)是遞減函數(shù)。 所以，x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為g(0) =0; x=ln2是函數(shù)的極大值。9ln 2.9.極大值為g(ln 2) = In2 2- 0 ie dt= In2

15、2 -低七一d)ln20=ln22-2In 23|l川)610、-兀、dyy =xsin x - ex cos ,求 ,dy。3 dx解:” 1 - ” y =sinx xcosx2ex |I(I|I5x1 -dy =(sinx xcosx2exl|l6x11、求幕級(jí)數(shù)v -1r(x 1)n的收斂區(qū)間n絲n解：令x 1，考察級(jí)數(shù)tn的收斂區(qū)間n T n=limn.(n 1)212負(fù)缶11川川3t =T,t處級(jí)數(shù)分別是收斂的級(jí)數(shù)(_1)n 二 1、屮2川 n 壬 n n T naao .因此，級(jí)數(shù)v 4rtn的收斂區(qū)間為-1,1，原級(jí)數(shù)v .(x 1)n的收斂區(qū)間為-2,0川川62222 2解：

16、對(duì)等式 g(x)二 e2x - g(x)dx 兩邊積分得 g(x)dx 二 e2xdx- g(x)dxdx ,0000 02 e4 1 2 即 g(x)dx 二丁-2 g(x)dx川川40 2 024“-e 1g(x)dx 二0 6五、解下列各題1、已知曲線y= f(x)上任意一點(diǎn)的切線的斜率為ex+2OO8x2007，且曲線過(guò)點(diǎn)(0, 1),求這 條曲線的方程。解：f (x)二 ex 2OO8x200711 (川 1二 f (x) = (ex 2OO8x2007)dx 二 ex x2008 C|”31=f (0) =1 C= C =0|l 川 |4-f(x) =ex - x2008512、

17、求由曲線，直線x=1和x軸所圍成的在x_1的范圍內(nèi)的平面圖形的面積和該平面圖x形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。pQod 11解：面積a= f冷dx =)=1山113勺 X2x 1體積A二n 一 3 -XTL 3-H3X-X3、 已知曲線y = f (x)上任意一點(diǎn)的切線的斜率為4x +si nx，且曲線過(guò)點(diǎn)(0，1)，求這條曲 線的方程。f (x) =4x3 sin x川 l| |1解二 f(x) = J(4x3+sinx)dxH川|2=x4 -cosx C川 1|)41 二 f (0)= C =2, f(x) =x4 -cosx 2川|16*4、 求由直線y =x2,y二x,所圍成的平面有界圖形D的面積和D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的 體積。解、體積 V 二 1 二(x2 -x4)dx50155、 已知某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總利潤(rùn)L (單位：元)與每天產(chǎn)量 Q (單位：t)的函數(shù)關(guān)系為 L =250Q -5Q2,求每天生產(chǎn)多少才能使利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？在最大利潤(rùn)生產(chǎn)規(guī)模生產(chǎn)量基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一個(gè)單位，利潤(rùn)改變多少？解：L =250 _10Q =0二 Q =25,L = _10 ：0|川|3因此，產(chǎn)量規(guī)模為每