曲線擬合實驗資料報告材料

1、數(shù)值分析課程設(shè)計報告學(xué)生學(xué)生學(xué)號所在班級 指導(dǎo)教師成績評定一、課程設(shè)計名稱函數(shù)逼近與曲線擬合二、課程設(shè)計目的及要求實驗?zāi)康模簩W(xué)會用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式，并應(yīng)用算法于實際問題。學(xué)會基本的矩陣運算，注意點乘和叉乘的區(qū)別。實驗要求：編寫程序用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式，并求平方誤差，做出離散函數(shù)和擬合函數(shù)的圖形；用MATLAB勺部函數(shù)polyfit 求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及平方誤差，并用MATLA的部函數(shù)plot作出其圖形，并與（1）結(jié)果進(jìn)行比較。三、課程設(shè)計中的算法描述用最小二乘法多項式曲線擬合，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點，并不要求這條曲線精確的經(jīng)過這些點，而是擬合曲線無限逼近離散

2、點所形成的數(shù)據(jù)曲線思路分析：從整體上考慮近似函數(shù)p(x)同所給數(shù)據(jù)點(Xi,y)誤差即誤差向量的ri p(Xi) y的大小，常用的方法有三種：一是誤差rip(xj y絕對值的最大值maxi，即誤差向量的無窮數(shù)；二是誤差絕對值的和m數(shù)；三是誤差平方和ri2的算術(shù)平方根，即類似于誤差向量的 2數(shù)。前兩種方i 0法簡單、自然，但不便于微分運算，后一種方法相當(dāng)于考慮 2數(shù)的平方，此次采 用第三種誤差分析方案。算法的具體推導(dǎo)過程:1.設(shè)擬合多項式為:2. 給點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和:n於=y技：-s +引八+叫冊3. 為了求得到符合條件的a的值，對等式右邊求忙偏導(dǎo)數(shù)，因而我們得到了:4. 將

3、等式左邊進(jìn)行一次簡化，然后應(yīng)該可以得到下面的等式nit旬11十引工勺十十珂i - 1i - 1nnn引 Qi + 幻f i = 1i = 1i 1引工心+比J ； 1 4 - + % 丫淬i - Li - 1i = 15. 把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：nXii 1nXii 1n2Xi 1nkXii 1nk 1Xi 1a。aiyiyinkXii 1nk 1Xii 12kxakyi6. 將這個德蒙得矩陣化簡后得到1 %1 X2kX1kX2a。aiyiY21XnkXnakYn7. 因為X* A Y,那么A 丫/X,計算得到系數(shù)矩陣，同時就得到了擬合曲線。四、課程設(shè)計容實驗環(huán)境：

4、MATLAB2010實驗容：給定的數(shù)據(jù)點（叫兒）00.50.60.70.80.91.011.751.962.192.442.713.001）用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式；2）用MATLAB?函數(shù)polyfit函數(shù)進(jìn)行擬合實驗步驟1）首先根據(jù)表格中給定的數(shù)據(jù)，用 MATLAB件畫出數(shù)據(jù)的散點圖（圖1）。2）觀察散點圖的變化趨勢，近似于二次函數(shù)。則用二次多項式進(jìn)行擬合，取一組基函數(shù)Ph并令fdW +夠+旳，其中珂是待定系數(shù)（"123）1。3）用MATLAB?序作線性最小二乘法的多項式擬合，求待定系數(shù)算法實現(xiàn)代碼如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.7

5、5 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=(x.A2)' x' on es(7,1);A=Ry'4) 用MATLAB?序計算平均誤差。算法實現(xiàn)代碼如下：y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;z=(y-y1).A2;sum(z)5) 作出擬合曲線和數(shù)據(jù)圖形(圖 2)。6) 用MATLA的部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及平方誤差。算法實現(xiàn)代碼如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1

6、.96 2.19 2.44 2.71 3.00;A=polyfit(x,y,2);% 二次多形式擬合 %z=polyval(A,x);Ad=sum(z-y)42)7) 繪制使用 polyfit 函數(shù)實現(xiàn)的擬合圖形。(圖 3)五、程序流程圖圖 5-1 用最小二乘法求多項式擬合曲線流程圖圖 5-2 用 polyfit 函數(shù)求多項式擬合曲線流程圖六、實驗結(jié)果3282 62828020.60 7*2.2G.60.30 9圖6-2.最小二乘法實現(xiàn)的擬合曲線圖6-1表中數(shù)據(jù)的散點圖實弱埶採點的故點EJ+ 數(shù)將點JiyO實醱數(shù)抿點的敲點圖及擬合曲趺+數(shù)據(jù)點 擬合曲線第1問系數(shù)為A = 1.00001.000

7、01.0000則多項式的方程為平方誤差和為ans =1.9722e-031實驗數(shù)擔(dān)點的霰點團(tuán)從擬合曲線+數(shù)據(jù)點擬合曲線00.1020 30.40 50.S07 0J 0.9圖6-3. polyfit函數(shù)實現(xiàn)的擬合函數(shù)第2問系數(shù)為A = 1.00001.00001.0000則多項式的方程為對+ K十1平方誤差和為ans = 1.9722e-031七、實驗結(jié)果分析編寫程序用最小二乘法求擬合曲線的多項式的過程中， 求出的數(shù)據(jù)和擬合函 數(shù)的平方誤差很小， 達(dá)到了很高的精度要求， 以及通過散點求得的擬合曲線比較 光滑。而用MATLAB勺部函數(shù)求polyfit 求解的曲線擬合多項式和平方誤差與程 序求得的

8、相同，還有就是雖然求解過程簡單了，但用MATLAB勺部函數(shù)做出的圖形由明顯的尖點，不夠光滑。此次實驗數(shù)據(jù)較少，而且數(shù)據(jù)基本都是可靠數(shù)據(jù)。但是在應(yīng)用實際問題中， 數(shù)據(jù)會很龐雜， 此時對于最小為乘法的算法就需要進(jìn)一步的細(xì)化。 例如在進(jìn)行數(shù) 據(jù)采集時， 由于數(shù)據(jù)采集器 （各種傳感器） 或機(jī)器自身的原因及其外部各種因素 的制約， 導(dǎo)致數(shù)據(jù)偶爾會有大幅度的波動， 及產(chǎn)生一些偏差極大的數(shù)據(jù)， 不能真 實反映數(shù)據(jù)的可靠性， 所以會對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選或修正。 而此時就可應(yīng)用曲線擬合 的最小二乘法的進(jìn)行處理。八、實驗心得體會在日常的學(xué)習(xí)和生活中， 我們可能會遇到各種方面的跟數(shù)據(jù)有關(guān)的問題， 并 不是所有的數(shù)據(jù)都是有

9、用， 必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚?然后找出數(shù)據(jù)之間的關(guān) 系，然后進(jìn)行分析得出結(jié)果。此次實驗結(jié)果基本沒有大的區(qū)別，可是MATLA提供給我們一個特別簡潔的辦法， 應(yīng)用一個函數(shù)即可實現(xiàn)相同的結(jié)果。 雖然很方便， 但是對于初學(xué)者來說， 我覺得打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵， 對于一個知識點， 應(yīng)該掌握其 最基本的原理，然后在將它應(yīng)用于實際。通過這個實驗我也理解到了， 數(shù)值分析是一個工具學(xué)科， 它教給了我們分析 和解決數(shù)值計算問題得方法， 使我從中得到很多關(guān)于算法的思想， 從中受益匪淺。附錄：源代碼散點圖：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71

10、 3.00;plot(x,y,'r*')title(' 實驗數(shù)據(jù)點的散點圖 ');legend(' 數(shù)據(jù)點( xi,yi )');xlable('x');ylable('y');最小二乘擬合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=(x.A2)' x' on es(7,1);A=Ry'x1=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;plot(x1,y1,'k+',x,y,'r')title(' 實驗數(shù)據(jù)點的散點圖及擬合曲線 ');z=(y-y1).A2;sum(z)Polyfit 函數(shù)擬合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1