函數(shù)的奇偶性與周期性(理作業(yè))（Word）

1、限時(shí)作業(yè)6函數(shù)的奇偶性與周期性一、選擇題1.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)=2x-2,則f(lo6)的值等于().A.-B.-C.D.-2.(2011湖北武漢模擬)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的表達(dá)式為().A.-x+1B.-x-1C.x+1D.x-13.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)4.定義

2、兩種運(yùn)算:ab=log2(a2-b2),ab=,則函數(shù)f(x)=為().A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.奇函數(shù)且為偶函數(shù)D.非奇且非偶函數(shù)5.(2011福建福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是(-,+)上的偶函數(shù),若對(duì)于x0,都有f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(2 009)+f(-2 010)的值為().A.-2B.-1C.1D.26.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則().A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函數(shù)二、填空題7.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意xR,都有f(x

3、+8)=f(x)+f(4),且x0,4時(shí),f(x)=4-x,則f(2 011)的值為. 8.(2012浙江金華十校聯(lián)考)若存在常數(shù)p>0,使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(xR),則f(x)的一個(gè)正周期為. 9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=-f(x),且在-1,0上是增函數(shù),下面關(guān)于f(x)的判斷:2 / 6f(x)是周期函數(shù);f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱;f(x)在0,1上是增函數(shù);f(x)在1,2上是減函數(shù);f(4)=f(0).其中判斷正確的序號(hào)是. 三、解答題10.(2012湖北黃岡普通高中聯(lián)考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小

4、正周期4,且x(0,2)時(shí),f(x)=.求f(x)在-2,2上的解析式.11.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b).且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立,f(3)=-3.(1)證明:函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù);(2)證明:函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);(3)試求函數(shù)y=f(x)在m,n(m,nN*)上的值域.12.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x+2)=-f(x).若f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x,求使f(x)=-在0,2 009上的所有x的個(gè)數(shù).參考答案一、選擇題1.C2.B3.C4.A5.C6.D解析:由y

5、=f(x+1)為奇函數(shù)知f(x+1)=-f(-x+1),y=f(x-1)為奇函數(shù)知f(x-1)=-f(-x-1),由得f(-x)=-f(2+x);由得f(-x)=-f(x-2),f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x).函數(shù)y=f(x)是以4為周期的函數(shù).由知,f(x-1+4)=-f(-x-1+4).f(x+3)=-f(-x+3),函數(shù)f(x+3)是奇函數(shù).二、填空題7.18.9.解析:f(x+1)=-f(x)f(x+2)=f(x),故f(x)是周期函數(shù).又f(x)=f(-x),所以f(x+2)=f(-x),故f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,因?yàn)閒(x+4)=f(x+2)=f(-x),

6、故f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱.由此可得正確.三、解答題10.解:當(dāng)-2<x<0時(shí),0<-x<2,f(-x)=,又f(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=-.當(dāng)x=0時(shí),由f(-0)=-f(0)f(0)=0,又f(x)的最小正周期為4,f(-2)=f(-2+4)=f(2)f(-2)=f(2)=0.綜上,f(x)=11.解:(1)證明:設(shè)任意x1,x2R,且x1<x2,f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1).x2-x1>0,f(x2-x1)<0.f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1),故f(x)是R上的減函數(shù)

7、.(2)證明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,可令a=-b=x,則有f(x)+f(-x)=f(0).又令a=b=0,則有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.從而任意的xR,f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函數(shù).(3)由于y=f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),y=f(x)在m,n上也是減函數(shù),故f(x)在m,n上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).由于f(n)=f1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1),同理f(m)=mf(1).又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1.f(m)=-m,f(n)=-n.因

8、此函數(shù)y=f(x)在m,n上的值域?yàn)?n,-m.12.解:當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x,設(shè)-1x0,則0-x1,f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函數(shù),f(-x)=-f(x).-f(x)=-x,即f(x)=x.故f(x)=x(-1x1).又設(shè)1<x<3,則-1<x-2<1.f(x-2)=(x-2).又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2=-f(-x)=-f(x),-f(x)=(x-2).f(x)=-(x-2)(1<x<3).f(x)=由f(x)=-,解得x=-1.又f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),f(x)是以4為周期的周期函數(shù).