函數(shù)極限和連續(xù)性（Word）

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)性內(nèi)容提要：1.函數(shù)實質(zhì)上是自變量與因變量之間按照一定法則的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的概念及各種性質(zhì)在考研數(shù)學(xué)中一般不作為直接的考點。但函數(shù)是微積分的基本研究對象，絕大多數(shù)知識點都直接或間接地與函數(shù)相關(guān)，相當大的一部分題目中也要直接或間接地用到函數(shù)的各種性質(zhì)。因此，在開始微積分的學(xué)習(xí)之前，重溫一遍函數(shù)的主要內(nèi)容是必要的。函數(shù)部分需要重點掌握的內(nèi)容有：復(fù)合函數(shù)，分段函數(shù)的運算，反函數(shù)的概念及計算，函數(shù)的奇偶性和有界性。2.極限是這一章的主要內(nèi)容，也是整個學(xué)科的理論基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)本章的核心任務(wù)是熟練掌握各種極限的計算方法，極限計算的方法牽涉到方方面面的理論，在后續(xù)很多章節(jié)都有涉及，總結(jié)起

2、來主要有：利用四則運算，利用兩個重要極限，利用等價無窮小替換，利用洛必達法則，利用變量替換，分別求左右極限，數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，利用夾逼原理，利用單調(diào)有界原理，利用泰勒公式，利用定積分的定義等。對于極限的計算需要大量的練習(xí)，以求熟能生巧，對各種方法融會貫通。無窮大量和無窮小量的概念是這一部分的另一重要內(nèi)容。它們既是對極限計算的應(yīng)用，又可以反過來幫助我們求極限。學(xué)習(xí)時，要理解無窮大量和無窮小量的概念及它們的關(guān)系，重點掌握無窮小量的比較方法，理解無窮小量的高階、同階、等價的概念并能用等價無窮小替換計算極限。3.函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，微積分中研究的函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)或僅在有限個點間斷的

3、函數(shù)。對函數(shù)連續(xù)性的考查也是考研數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，考題主要集中在連續(xù)性的討論及間斷點的分類上。對函數(shù)連續(xù)性的考查本質(zhì)上還是考查極限的計算。另外，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)也是需要考生有所了解的內(nèi)容。第一節(jié) 函數(shù)考點精講一基本概念1.函數(shù)：從實數(shù)集的子集到的一個映射稱之為函數(shù)，記作，稱為自變量，為因變量。函數(shù)的三要素：定義域、解析式和值域（也作二要素：定義域、解析式，因為這兩者可以決定值域）。其中，定義域是自變量的取值范圍；值域是因變量的取值范圍記作。函數(shù)由其解析式和定義域唯一確定，與符號的選取無關(guān)，如與是同一個函數(shù)。在沒有特別指定的情況下，函數(shù)的定義域取自然定義域，即使得函數(shù)運算有意義的自變量的取值

4、范圍。易知，人為指定的定義域必為自然定義域的子集。常見的函數(shù)的定義域如下：1 / 462.復(fù)合函數(shù)：設(shè)與為兩個函數(shù)，如果的值域包含于的定義域，則可以定義與的復(fù)合函數(shù)。類似地，還可以定義三個或更多函數(shù)的的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：）復(fù)合函數(shù)的運算滿足結(jié)合律，即（注意，復(fù)合函數(shù)不滿足交換律。例如令，則）；）如果單調(diào)性相同，則單調(diào)遞增；如果單調(diào)性相反，則單調(diào)遞減。3.反函數(shù)：函數(shù)是一個映射，如果該映射的逆映射存在，則稱該逆映射是函數(shù)的逆映射，記作。反函數(shù)的性質(zhì)：）函數(shù)存在反函數(shù)當且僅當對定義域內(nèi)任意兩點，有 ；）反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；）反函數(shù)與原函數(shù)的增減性相同。常見反函數(shù)：4.初等函數(shù)

5、：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次復(fù)合或四則運算得到的函數(shù)稱之為初等函數(shù)?；境醯群瘮?shù)包括如下五類函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)：；對數(shù)函數(shù)：；三角函數(shù)：等；反三角函數(shù)：等。5.分段函數(shù)：函數(shù)在的不同取值范圍內(nèi)有不同的解析式就稱之為分段函數(shù)。常見的分段函數(shù)：，二基本性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性：如果對函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的任意兩點都有（或），就稱函數(shù)在上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），相應(yīng)地稱是的一個單調(diào)增區(qū)間（或單調(diào)減區(qū)間）。如果對區(qū)間內(nèi)的任意兩點都有（或），我們就稱函數(shù)在上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）。函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：）如果都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。）如果是增函數(shù)，是減函數(shù)，則是增函數(shù)，是減函數(shù)。）如果是增

6、函數(shù)（或減函數(shù)），如果常數(shù)，則是增函數(shù)；如果常數(shù)，則是減函數(shù)。常見函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及單調(diào)減區(qū)間：2.函數(shù)的周期性：如果存在正數(shù)，使得對函數(shù)在其定義域內(nèi)的任意一點都有，就稱是一個周期函數(shù)，而是的一個周期。易知如果是的一個周期，那么對任意的正整數(shù)，都是的周期。在的所有周期中，我們把其中最小的稱為最小正周期。很多時候，我們往往也把最小正周期簡稱為周期。周期函數(shù)的性質(zhì)：）如果以為周期，則對任意的非零常數(shù)，仍然以為周期，以為周期。）如果都以為周期，則仍然以為周期（）。注意這時最小正周期有可能縮小，如都以為最小正周期，但以為最小正周期。常見周期函數(shù)的周期：3.函數(shù)的奇偶性：如果對其定義域內(nèi)的任意一點，（或

7、），就稱是一個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。奇偶函數(shù)的性質(zhì)：）偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；）如果都是奇函數(shù)（或偶函數(shù)），則對任意的常數(shù)，仍然是奇函數(shù)（或偶函數(shù)）； ）如果奇偶性相同，則為偶函數(shù)；如果奇偶性相反，則為奇函數(shù)；）對于任意定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)，、與都是偶函數(shù)；是奇函數(shù)。常見的奇函數(shù)：常見的偶函數(shù)：4.函數(shù)的有界性：設(shè)是一個函數(shù)，如果存在一個實數(shù)，使得對定義域內(nèi)任意的一點，都有，則稱函數(shù)有上界，并稱是函數(shù)的一個上界；如果存在一個實數(shù)，使得對定義域內(nèi)任意的一點，都有，則稱函數(shù)有下界，并稱是函數(shù)的一個下界。既有上界又有下界的函數(shù)稱為有界函數(shù)，也即函數(shù)有界當且僅當，存在實數(shù)與，

8、使得對定義域內(nèi)任意的一點，都有。注：有界函數(shù)還有一個等價的定義：存在實數(shù)，使得對定義域內(nèi)任意一點，都有。讀者可以嘗試自行證明這個結(jié)論。核心題型與思路總結(jié)題型一 函數(shù)的基本概念和重要性質(zhì)【例1】：判斷下列函數(shù)是否相同（1）與 （2）與（3）與分析：兩函數(shù)相等當且僅當兩函數(shù)定義域與對應(yīng)法則均一致，按照這兩個標準判斷即可。要注意的是利用何種字母表示函數(shù)與函數(shù)是否相同無關(guān)?！窘狻浚海?）是一對不同的函數(shù)。因為前者定義域為，而后者的定義域為。（2）是一對不同的函數(shù)，因為對應(yīng)法則不同。前者的解析式為，當時，二者的對應(yīng)法則不同。（3）是一對相同的函數(shù)。首先，二者的定義域同為。其次，在前一個函數(shù)中，有，因此后

9、一個函數(shù)實際上等價于。而函數(shù)相同與否與自變量的選取無關(guān)，因此這兩個函數(shù)相同?！纠?】：求下列函數(shù)的定義域（1） （2） 分析：根據(jù)基本初等函數(shù)的定義域計算：，。【解】：（1）因此函數(shù)的定義域為（2）因此函數(shù)的定義域為。【例3】：設(shè)，試求與分析：直接按定義代入【解】：按照定義有由定義域有因此有進一步還有【例4】：設(shè)試計算的反函數(shù)分析：把函數(shù)看作關(guān)于方程進行求解，分段函數(shù)分段求解，求反函數(shù)時要注意計算定義域，也即原函數(shù)的值域?！窘狻浚河山獾靡虼嗽瘮?shù)的反函數(shù)為【例5】：討論函數(shù)下列函數(shù)在其定義域內(nèi)的有界性，分析：按照定義，如果有界，一般通過不等式的放縮法得到上界和下界；如果無界，則說明函數(shù)值的絕對

10、值可以無限擴大?！窘狻浚旱亩x域為，由可得，因此，因此在定義域上有界。的定義域為。在其定義域上有，因此函數(shù)在定義域上有界的定義域為 ，令，則，由于可以取得任意地大，因此函數(shù)無界。第二節(jié) 極限考點精講一基本概念1.數(shù)列極限：2.函數(shù)極限：3.左（右）極限右極限的定義類似。3.無窮?。阂?為極限的量.也即，如果，則稱時為無窮小?！咀ⅰ浚簾o窮小量的重要性質(zhì)1）.有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量；2）.有限個無窮小量的和仍為無窮小量；3）.無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量。4.無窮大：在自變量的某一過程中，函數(shù)值無限增大的量【注】：無窮大量的重要性質(zhì)1）.無窮大實際上是極限不存在的情況，但極限不存在

11、的量并不一定都是無窮大量2）.無窮大量也是一個動態(tài)變化的過程，而不是一個實際存在的數(shù)。3）.無窮大量與無窮小量的關(guān)系：無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非0的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。5.無窮小量的比較設(shè)a.高階無窮小量與低階無窮小量：b.同階無窮小量c.等價無窮小量同階無窮小量的特殊情況，將定義中的C改為1即可，記作【注】：等價無窮小在計算極限中有重要的作用，需要記住的等價無窮小有二基本性質(zhì)1.極限的性質(zhì)1）.四則運算：設(shè)2數(shù)列極限的性質(zhì)及其收斂法則：a.性質(zhì)唯一性：有界性：（其逆不真）保序性：有兩個數(shù)列 若從某一項開始，以后所有項都有，則（注：把都改為結(jié)論不成立） 若有，則從某一項開始，以后所有項

12、都有（注：把都改為結(jié)論不成立）3.函數(shù)極限的性質(zhì)及其相關(guān)定理：a.唯一性：若存在，且有及，則。b.有界性：若存在，則存在正數(shù)，使得在內(nèi)有界c.保序性：若存在正數(shù)，對于任意滿足的都有，則 若有，存在正數(shù)，對于任意滿足的都有三重要公式與定理1.收斂準則：a.夾逼定理：若存在正數(shù)，對于任意滿足的都有，且,則. b.單調(diào)有界原理：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限；單調(diào)無界的數(shù)列極限為2.兩個重要極限a.b. 3.洛必達法則（型） 設(shè)滿足） ）在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)（點除外）且）則有（型）設(shè)滿足）存在一個正數(shù)X,當時有可導(dǎo)，且）則有（型）設(shè)滿足）在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)（點除外）且）則有（型）設(shè)

13、滿足）存在一個正數(shù)X,當時有可導(dǎo)，且）則有4.重要公式：a.幾種常見的無窮大量趨近于無窮的快慢比較：當時，以下各函數(shù)趨近于無窮的快慢當時，以下各數(shù)列趨近于無窮的快慢b.常用極限四計算極限的主要方法1.利用初等變換或變量替換利用極限的四則運算將極限變形，化為便于計算的形式。【注】：1.關(guān)于無窮大的運算法則2.如果出現(xiàn)等情況，則不能直接用公式計算需要應(yīng)用后面的方法計算。2.等價無窮小替換設(shè)在時，則有?！咀ⅰ浚?.等價無窮小替換在極限計算過程中一般起輔助的作用，它和洛必達法則連用可以簡化計算。 2.只有整個式子的乘除因子才能用等價無窮小替換，有加減時不能替換。如中的不能替換為。事實上，由洛必達法則可

14、知。3.洛必達法則洛必達法則是計算函數(shù)極限最常用的方法，使用時需要注意以下幾點a.如果，并不代表。如由夾逼原理可知時，而，因此。而如果運用洛必達法則的話，就會得到，而不存在。b.使用洛必達法則之前，先檢驗是否滿足所需條件；c.多次應(yīng)用時，注意在用完之后將式子整理化簡；d.與等價無窮小量結(jié)合使用通?？梢院喕嬎?；e.數(shù)列極限如果也想用洛必達法則計算的話可以通過變量替換轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限。f.當極限式中有積分號時，需要用到變限積分求導(dǎo)的公式：設(shè)函數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)，則有。4.利用兩個重要極限a.推廣：b. 推廣：或c.關(guān)于冪指數(shù)的三個公式）5.利用夾逼法夾逼法實質(zhì)上是對待求極限的數(shù)列或函數(shù)進行放大或縮小，進

15、行放縮的時候有兩個原則：1.盡量簡化計算；2.不改變極限值，優(yōu)先考慮第二條。6.利用單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理一般用于遞推形式的數(shù)列極限，也即數(shù)列以的形式給出的極限。思路是，先證明極限存在（一般要用到數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)有界），再對遞推式兩邊同時取極限得到，進而解出極限值。7.利用泰勒公式或中值定理a.泰勒公式設(shè)函數(shù)在點處有階導(dǎo)數(shù)則在的某鄰域內(nèi)有常見函數(shù)的泰勒公式特例：b.拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則存在，使得。8.利用定積分計算和式的極限每項提出或后，原和式可寫成或。利用定積分的定義，有或。核心題型與思路總結(jié)題型二 無窮小的比較解題思路：（1）兩個無窮小比較，可利用定義，即將

16、兩個無窮小量相除再求極限，求極限時通常會用到等價無窮小替換和洛必達法則。 （2）需要比較的無窮小較多時，一般先將各個無窮小分別化簡，化簡的方法有等價無窮小替換，或是求導(dǎo)（當出現(xiàn)積分號時）。需要注意的是，函數(shù)的排列次序，與導(dǎo)函數(shù)的排列次序是一致的?！纠?】：設(shè)則時：是的A. 高階無窮小量 B. 低階無窮小量C. 同階非等價無窮小量 D. 等價無窮小量分析：利用定義，將兩函數(shù)相除，再求極限?！窘狻浚嚎芍堑耐A非等價無窮小量，故選C【例7】：在時，下列無窮小量中與等價的是：A. B. C. D. 分析：利用常見的等價無窮小，將各無窮小替換成便于比較的形式【解】：利用等價無窮小可知，當時；，注意到，

17、因此有；。故選B.【例8】：試將排列起來，使得時前面是后面的高階無窮小。分析：利用等價無窮小替換和求導(dǎo)將各個無窮小量化成便于比較的形式。注意函數(shù)的排列次序與導(dǎo)函數(shù)一致?！窘狻浚寒敃r可知，導(dǎo)函數(shù)按從高階到低階的排列順序為；因此，函數(shù)按從高階到低階的排列順序為。題型三 未定式函數(shù)極限的計算1. 型未定式解題思路：（1）當極限式中有根式時，可以考慮利用根式有理化進行化簡，提出零因子。根式有理化公式：。（2）利用等價無窮小替換，考生應(yīng)該養(yǎng)成一個良好的習(xí)慣：再計算每一個極限前都檢查一下是否有可以通過等價無窮小替換簡化的部分。等價無窮小量替換一般和其他方法結(jié)合使用，在應(yīng)用時要注意被替換的部分一定要是整個極

18、限獨立的因子。設(shè)在時，則有。（3）洛必達法則是最常用的方法，運用時不要忘記對公式適用的條件進行檢驗，應(yīng)用前一般要通過等價無窮小替換，變量代換等方法對原式進行化簡。(4)另外還可以通過初等變換或變量代換對極限式進行化簡。一種常見的變量方法是倒代換或?！纠?】：求下列極限（1） （2）（3） （4）分析：先觀察可以進行哪些等價無窮小替換進行化簡，再利用洛必達法則計算。有根號的可以先進行根式有理化以提出零因子。【解】：（1）可知（2） （3）法一：法二：利用拉格朗日中值定理可得其中介于與之間。當時，有，因此原極限可化為之后同法一。（4）【例10】：計算極限 分析：此題為型的極限，但若用洛必達法則計算

19、則會得到。求導(dǎo)之后的極限反而比原式更復(fù)雜，因此需要先對極限進行處理。這里可以作倒代換，化為型的極限再用洛必達法則?！窘狻浚毫畹眠@樣由洛必達法則有【例11】：求下列極限（1） （2）分析：綜合運用計算極限的各種技巧?！窘狻浚海?） （2） 2. 型或型未定式解題思路：（1）直接利用洛必達法則計算；（2）通過根式有理化、變量代換等方法變?yōu)樾陀嬎?；?）等價無窮小替換；（4）如果極限過程是，而極限式中又有，等函數(shù)，一般要分別計算與時的極限?！纠?2】：求下列極限（1） （2）（3） （4）（5）分析：當極限式中含有變限積分時，一般考慮直接用洛必達法則；第（3）題的極限要分與的情況計算；第（4）題可用

20、等價無窮小替換；第（5）題分別計算左右極限?！窘狻浚海?）（2） 注：由于，所以可以使用洛必達法則。（3）分與的情況計算：（最后一步用到了）。由于，因此不存在。（4）（5）由于，可知由于，可知因此左右極限都存在并且都等于則?！纠?3】：求下列極限（1） （2）分析：綜合運用計算極限的各種技巧?！窘狻浚海?）（式中用到了）而是一個有界量，由于無窮小量乘以有界量仍為無窮小量，因此有 （2） 3. 型未定式解題思路：（1）通分化為型；（2）利用根式有理化或變量代換化為型；（3）利用等價無窮小替換；（4）利用泰勒公式?！纠?4】：求下列極限（1） （2）（3） （4）分析：（1）（2）直接通分；（3）

21、可以進行變量代換化為型，也可以直接利用泰勒公式計算；（4）根式有理化?！窘狻浚海?）（2） （3）法一：法二：由泰勒公式可知 代入極限式可得。（4）4. 型未定式解題思路：（1）利用對數(shù)恒等式進行變形，可以將型都變?yōu)樾?；?）對于型的極限還可以利用重要極限來計算：。考生可以將最后的結(jié)論記住，在計算時就可以把型的極限直接轉(zhuǎn)化為型極限。（3）等價無窮小替換；（4）如果極限過程是，而極限式中又有，等函數(shù)，一般要分別計算與時的極限?！纠?5】：求下列極限（1） （2）（3） （4）（5）分析：（1）（2）（3）都是型極限，用公式計算；（4）（5）先利用對數(shù)恒等式化簡。【解】：（1）（2）（3）（4）（

22、5）【例16】：求極限。分析：用型極限的方法求解【解】：另：極限還可以用等價無窮小替換計算。5. 雜例【例17】：求下列極限（1） （2）（3） （4）【解】：（1）分析：冪指函數(shù)可用對數(shù)恒等式處理。另：本題還可以用導(dǎo)數(shù)的定義計算。（2）分析：本題直接用洛必達法則計算會很麻煩。注意到，可以考慮給分子加減后再分成兩項計算。（3）分析：本題用洛必達法則求導(dǎo)很麻煩，等價無窮小替換也無法進行，因此可以考慮寫出各個函數(shù)的泰勒公式由泰勒公式可知，當時，有，代入原極限式可得（4）分析：含變限積分的極限應(yīng)該用洛必達法則求導(dǎo)消去積分號，求導(dǎo)之前先要對極限式進行化簡。因此?！纠?8】：設(shè)連續(xù)，求極限分析：積分式中

23、出現(xiàn)了變限積分，應(yīng)該用洛必達法則求導(dǎo)消去積分號。但注意到被積函數(shù)中出現(xiàn)了求導(dǎo)變量，因此在求導(dǎo)之前應(yīng)該先用換元法將求導(dǎo)變量換到積分限或是提到積分號外來?！窘狻浚河蓳Q元法得。因此原式 題型四 數(shù)列極限的計算1. 利用夾逼原理解題思路：通過放大或縮小找出兩邊數(shù)列的極限【例19】：設(shè)，試計算分析：利用可用對數(shù)恒等式處理。【解】：由已知條件可知而由夾逼原理的內(nèi)容可知注：本題的結(jié)論可以記為。這可以當做一個結(jié)論記下來，對以后的解題會有幫助。使用時要注意條件【例20】：計算下列極限（1） （2）分析：利用上題結(jié)論【解】：（1）函數(shù)的分段解析式請考生自己寫出。（2）。2. 利用單調(diào)有界原理解題思路：單調(diào)有界原理

24、主要用于數(shù)列是以遞推式的形式給出的極限，其解題過程一般可以歸納如下：對通項和遞推公式進行分析，證明數(shù)列單調(diào)有界，證明過程一般會用到數(shù)學(xué)歸納法；利用單調(diào)有界原理說明數(shù)列極限存在；設(shè)，并對遞推式兩邊同時取極限，得到，解該方程即可得到數(shù)列的極限?！纠?1】：（1）序列滿足， ，證明極限存在并求出該極限的值。（2）序列滿足， ，證明極限存在并求出該極限的值?！窘狻浚海?）先用數(shù)學(xué)歸納法證明容易檢驗；假設(shè)則由可知而此時有，因此單調(diào)遞減。因此，單調(diào)遞減且有下界，由單調(diào)有界原理可知存在。設(shè)并對兩邊同時取極限得，解得，因此。（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明容易檢驗；假設(shè)則由可知而此時有，因此單調(diào)遞增。因此，單調(diào)遞增且

25、有上界，由單調(diào)有界原理可知存在。設(shè)并對兩邊同時取極限得，解得，因此。3. 項和或項乘積的極限解題思路：（1）通過初等變換將極限式化簡； （2）利用夾逼原理將極限式放大縮小后找出兩邊數(shù)列的極限； （3）利用定積分的定義，將原極限式湊成或； （4）對于項乘積的極限，可以先取對數(shù)化為項的極限，再利用定積分的定義計算?！纠?2】：計算下列極限（1） （2）（3） （4）分析：（1）對分式進行拆分，消去中間項；（2）利用夾逼原理化簡；（3）（4）給連乘式乘上一個因子之后可發(fā)生連鎖反應(yīng)消去中間項?！窘狻浚海?）因此（2）首先根據(jù)極限式的特點，我們有。而；。由夾逼定理可知。（3）因此（因為，所以）。（4）則

26、?！纠?3】：計算下列極限（1） （2）（3） 分析：（1）（2）化為定積分；（3）先取對數(shù)化為連加再利用定積分。【解】：（1）（2）（3）對取對數(shù)得。而，因此?！纠?4】：計算極限。分析：先將極限式放大和縮小得到兩個極限，再利用定積分的定義計算?！窘狻浚河蓸O限式的特點有而；由夾逼原理可知。題型五 極限中常數(shù)的確定【例25】：設(shè)，則 ， 。分析：由于極限存在且不為零，極限式的分子又趨近于零，可知分母也趨近于零，由此可以確定常數(shù)。確定常數(shù)后，再計算出極限的值，進而確定常數(shù)?！窘狻浚河捎?，要是極限值不為零，必有，則。當時，有，可知?！纠?6】：若，則等于（ ）A、0 B、1 C、2 D、3分析：直

27、接計算出極限的值。【解】：，因此，故選C?！纠?7】：確定常數(shù)的值，使分析：由于極限存在且不為零，極限式的分子又趨近于零，可知分母也趨近于零，由此可以確定常數(shù)。確定常數(shù)后，注意到此時分母與同階，從而確定常數(shù)。最后再計算出極限的值，從而得到常數(shù)的值?！窘狻浚河捎冢菢O限值不為零，必有，由于被積函數(shù)滿足，因此要使，則只能有。再注意到，也即與同階。因此要使極限存在且不為零，則分母也必須和同階。而當時，有，要使和同階，則必有。此時有，因此。第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性考點精講一基本概念一基本概念1.函數(shù)的連續(xù)性a.在一點連續(xù)：b.左（右）連續(xù)c.在區(qū)間上連續(xù)2.函數(shù)的間斷點（函數(shù)不連續(xù)的點稱為間斷點）間斷點

28、的分類：第一類間斷點：左右極限都存在若左右極限相等但不等于函數(shù)值，則稱之為可去間斷點；若左右極限不相等則稱之為跳躍間斷點。第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在若左右極限中至少有一個為無窮大量，則稱之為無窮間斷點。二重要公式、定理1.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)a.四則運算：設(shè)均在某區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)，都在上連續(xù)b.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)均在其定義域上連續(xù)，且有，則是上的連續(xù)函數(shù)。c.反函數(shù)的連續(xù)性設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是它的反函數(shù)，則是上的連續(xù)函數(shù)。2初等函數(shù)的連續(xù)性a.初等函數(shù)：由函數(shù)，經(jīng)過有限次四則運算或是復(fù)合運算得到的函數(shù)。b.初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)都在其定義域上連續(xù)。3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：

29、a.有界性：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則存在正數(shù)，使得對任意的都有b.最值定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則在上能夠取到最大值與最小值，即c.介值定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，M和m分別為在上的最大值與最小值（聯(lián)系最值定理，最大值最小值必然存在且都能取到） 若C滿足m<C<M,則d.零點存在定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且有，則（此定理是介值定理的推論，常被用于證明方程有根）題型五 已知函數(shù)連續(xù)確定函數(shù)中的參數(shù)解題思路：（1）利用函數(shù)連續(xù)的定義：極限存在且等于函數(shù)值；（2）如果函數(shù)是分段函數(shù)或是計算極限需要區(qū)分左右極限的，則分別計算左右極限并且讓它們都等于函數(shù)值?！纠?8】：設(shè)函數(shù) 在處連續(xù)，則【解】：，因此。【例2

30、9】：設(shè)試補充定義，使得在上連續(xù)?！窘狻浚阂字簝H需讓函數(shù)在處左連續(xù)，也即。而對于后一個極限式，令可得。可知。題型六 確定間斷點的類型解題思路：（1）要確定間斷點的類型，先計算出函數(shù)在這一點的左右極限，再根據(jù)左右極限在這一點的存在與否或相等與否對號入座，確定其類型。（2）如果給出一個函數(shù)，要確定所有間斷點的類型，則先找出所有“可疑點”（分段點，分母為零的點），再一一判斷?！纠?0】：求函數(shù) 在內(nèi)的間斷點，并判斷其類型。分析：先找出所有“可疑點”，再一一判斷?！窘狻浚鹤⒁獾疆敃r，的分母為零；當時無定義，因此在內(nèi)，所有可能的間斷點有。下面再一一討論間斷點的類型在處，時，可知為無窮間斷點。同理也是無

31、窮間斷點。在處，因此函數(shù)在這一點的左右極限都存在且相等，則為可去間斷點。同理也為可去間斷點?！纠?1】：設(shè) ，求的間斷點及其類型。分析：先求出函數(shù)的解析式，在尋找可能的間斷點并一一判斷?！窘狻浚阂字摵瘮?shù)的定義域為。計算極限可得。因此，函數(shù)所有可能的間斷點為。對于，易知。也即函數(shù)在處左右極限都存在且相等，則為可去間斷點。而對于，易知必有一個為，因此它們都為無窮間斷點?！纠?2】：設(shè)函數(shù) 。問為何值的時候，在處連續(xù)；為何值的時候， 是的可去間斷點？分析：分別計算出函數(shù)在處的左右極限，再進行判斷?！窘狻浚?；。如果由可得，解得或。又由于當時，。因此時，在處連續(xù)。當時，。因此時，是的可去間斷點。題型七

32、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解題思路：將等式兩邊相減，即得到輔助函數(shù)。證明過程中經(jīng)常會用到最值定理和介值定理?！纠?3】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明：存在常數(shù)使得?！咀C明】：令，則是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。由已知條件可知。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在常數(shù)使得，也即?！纠?4】：證明：方程有無窮多個正根?！咀C明】：令，則是上的連續(xù)函數(shù)。易知，對任意的正整數(shù)，有。又由于在閉區(qū)間上連續(xù)，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在常數(shù)使得，也即為的正根。又由于可以為任意正整數(shù)，因此方程有無窮多個正根?！纠?5】：證明：設(shè)在上連續(xù)，且。證明：在上至少存在一個，使得?！咀C明】：令，則為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果，則本題的結(jié)論已經(jīng)成立，因此不妨設(shè)。當時，。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在常數(shù)使得，也即。